Простые уравнения с модулем

Введение

Представь, что ты играешь в игру, где нужно найти сокровище 🏴‍☠️. Тебе говорят: “Сокровище находится на расстоянии 5 шагов от большого дуба”. Где оно может быть? Правильно - либо в 5 шагах влево от дуба, либо в 5 шагах вправо!

Точно так же работают уравнения с модулем. Когда мы видим |x - 2| = 5, это означает: “найди такие числа x, которые находятся на расстоянии 5 единиц от числа 2”.

[МЕДИА: image_01] Описание: Координатная прямая с точкой 2 и двумя точками на расстоянии 5 от неё Промпт: “mathematical coordinate line illustration, point at 2, two points at distance 5 from center point, arrows showing distance, clear numbers, educational style, white background”

Что такое уравнение с модулем?

Уравнение с модулем - это уравнение, где неизвестное x спрятано под знаком модуля |x|. Например:

• |x| = 3
• |x - 5| = 2
• |2x + 1| = 7

Модуль показывает расстояние от нуля (или от другой точки) на числовой прямой. И главное правило: модуль всегда неотрицателен! ✅

Основное правило решения

Когда мы видим уравнение вида |выражение| = число, то:

Если число ≥ 0, то выражение под модулем может равняться этому числу или противоположному ему:

• |x| = 5 → x = 5 или x = -5
• |x - 3| = 4 → (x - 3) = 4 или (x - 3) = -4

Если число < 0, то решений нет! (модуль не может быть отрицательным)

[МЕДИА: image_02] Описание: Схема раскрытия модуля с примером |x-3|=4 Промпт: “educational diagram showing absolute value equation |x-3|=4 splitting into two cases: x-3=4 and x-3=-4, with solutions x=7 and x=-1, clear arrows and text”

Решаем простейшие уравнения

Пример 1: |x| = 6

Думаем: какие числа находятся на расстоянии 6 от нуля?

• x = 6 (проверяем: |6| = 6 ✅)
• x = -6 (проверяем: |-6| = 6 ✅)

Ответ: x = 6 или x = -6

Пример 2: |x - 4| = 3

Это значит: расстояние от x до 4 равно 3.

• x - 4 = 3 → x = 7
• x - 4 = -3 → x = 1

Проверка:

• |7 - 4| = |3| = 3 ✅
• |1 - 4| = |-3| = 3 ✅

Пример 3: |2x + 6| = 10

Составляем два уравнения:

• 2x + 6 = 10 → 2x = 4 → x = 2
• 2x + 6 = -10 → 2x = -16 → x = -8

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация решения уравнения с модулем по шагам Промпт: “animated sequence showing step-by-step solution of absolute value equation, mathematical transformations, clear text and arrows, educational animation for students”

Когда модуль равен переменной

Иногда справа от модуля стоит не число, а выражение с переменной. Например: |3x - 1| = 2x

🚨 Важно: Правая часть должна быть ≥ 0! Иначе решений нет.

Пример: |3x - 1| = 2x

1. Условие: 2x ≥ 0, значит x ≥ 0

2. Составляем два уравнения:

   • 3x - 1 = 2x → x = 1
   • 3x - 1 = -2x → 5x = 1 → x = 0.2

3. Проверяем условие x ≥ 0:

   • x = 1 ✅ (подходит)
   • x = 0.2 ✅ (подходит)

Ответ: x = 1 или x = 0.2

Когда обе части - модули

Уравнение вида |A| = |B| означает, что A и B находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Это возможно в двух случаях:

1. A = B (числа одинаковые)
2. A = -B (числа противоположные)

Пример: |x + 3| = |2x - 1|

Составляем два уравнения:

1. x + 3 = 2x - 1 → -x = -4 → x = 4
2. x + 3 = -(2x - 1) → x + 3 = -2x + 1 → 3x = -2 → x = -2/3

[МЕДИА: image_03] Описание: Графическое представление решения уравнения с двумя модулями Промпт: “mathematical illustration showing two absolute value expressions on coordinate plane, intersection points marked, clear labels and grid, educational diagram”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Реши уравнение |x| = 8

💡 Подсказка

Какие два числа находятся на расстоянии 8 от нуля?

✅ Ответ

x = 8 или x = -8

Задание 2: Реши уравнение |x - 5| = 2

💡 Подсказка

Составь два уравнения: x - 5 = 2 и x - 5 = -2

✅ Ответ

x = 7 или x = 3

Задание 3: Реши уравнение |x| = -4

💡 Подсказка

Может ли модуль равняться отрицательному числу?

✅ Ответ

Решений нет (модуль всегда неотрицателен)

Средний уровень 🟡

Задание 4: Реши уравнение |2x + 3| = 7

💡 Подсказка

Составь два уравнения: 2x + 3 = 7 и 2x + 3 = -7

✅ Ответ

x = 2 или x = -5

Задание 5: Реши уравнение |x - 1| = |x + 3|

💡 Подсказка

Используй правило: |A| = |B| значит A = B или A = -B

✅ Ответ

x = -1

Задание 6: Реши уравнение |3x| - 5 = 4

💡 Подсказка

Сначала перенеси -5 в правую часть, получишь |3x| = 9

✅ Ответ

x = 3 или x = -3

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Реши уравнение |2x - 5| = 3x

💡 Подсказка

Не забудь условие: 3x ≥ 0, то есть x ≥ 0

✅ Ответ

x = 5 или x = 1

Задание 8: Реши уравнение |x² - 4| = 0

💡 Подсказка

Если модуль равен нулю, то выражение под модулем тоже равно нулю

✅ Ответ

x = 2 или x = -2

Задание 9: Реши уравнение |x + 1| = |2x - 3|

💡 Подсказка

Рассмотри два случая: x + 1 = 2x - 3 и x + 1 = -(2x - 3)

✅ Ответ

x = 4 или x = 2/3

Задание 10: При каких x уравнение |x - 3| = |x| - 3 имеет решение?

💡 Подсказка

Попробуй различные значения x и посмотри, когда равенство выполняется

✅ Ответ

x ≤ 0

[МЕДИА: image_04] Описание: Сводная таблица основных типов уравнений с модулем и способов их решения Промпт: “educational reference table showing different types of absolute value equations with solution methods, clear formatting, examples, suitable for student reference”

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забывают, что модуль может равняться отрицательному числу ✅ Правильно: Если |x| = -5, то решений нет 💡 Почему важно: Модуль - это расстояние, а расстояние не бывает отрицательным

❌ Ошибка 2: При решении |выражение| = число находят только одно решение ✅ Правильно: Обычно получается два решения (если число > 0) 💡 Почему важно: На одинаковом расстоянии от точки могут быть два разных числа

❌ Ошибка 3: Не проверяют найденные корни ✅ Правильно: Всегда подставляй найденные значения в исходное уравнение 💡 Почему важно: Не все найденные значения могут быть корнями исходного уравнения

❌ Ошибка 4: При уравнении |A| = выражение забывают условие неотрицательности ✅ Правильно: Если |A| = B(x), то B(x) ≥ 0 💡 Почему важно: Иначе можешь получить лишние корни

❌ Ошибка 5: Путают схемы для разных типов уравнений ✅ Правильно: |A| = число и |A| = |B| решаются по-разному 💡 Почему важно: Неправильная схема приведёт к неверному ответу

Главное запомнить

✅ Модуль всегда неотрицателен: |выражение| ≥ 0 ✅ |выражение| = a (где a > 0) даёт два решения: выражение = a или выражение = -a
✅ |выражение| = a (где a < 0) решений не имеет ✅ |A| = |B| означает: A = B или A = -B ✅ Всегда проверяй найденные корни подстановкой в исходное уравнение ✅ При уравнениях с переменной справа добавляй условие неотрицательности