Решение уравнений с несколькими модулями

Введение

Представь, что ты играешь в видеоигру, где нужно пройти лабиринт с несколькими развилками 🎮. Каждая развилка — это модуль в уравнении, и на каждом участке пути правила меняются. Вот так же работают уравнения с несколькими модулями!

Когда в уравнении один модуль — всё просто. Два модуля — уже интереснее. А вот когда модулей три и больше… тут легко запутаться и пропустить какой-то случай! 😅

[МЕДИА: image_01] Описание: Координатная прямая разделенная на промежутки точками перехода модулей Промпт: “mathematical coordinate line with multiple interval divisions, colored sections showing different regions, clear markings for transition points, educational style, clean design, white background”

Основная часть

Метод интервалов - наш главный помощник

Когда модулей много, используем метод интервалов (или метод промежутков). Суть простая:

1️⃣ Находим точки перехода - места, где выражения под модулем равны нулю 2️⃣ Делим координатную прямую на промежутки этими точками
3️⃣ На каждом промежутке решаем обычное уравнение (без модулей!) 4️⃣ Проверяем, попадает ли найденный корень в свой промежуток

Пример: |x - 5| - |x| = 1

Шаг 1: Находим точки перехода

• Для |x - 5|: x - 5 = 0 → x = 5
• Для |x|: x = 0 → x = 0

Шаг 2: Отмечаем на прямой и получаем промежутки:

• x < 0
• 0 ≤ x < 5
• x ≥ 5

[МЕДИА: image_02] Описание: Координатная прямая с отмеченными точками 0 и 5, разделенная на три промежутка Промпт: “coordinate line showing points 0 and 5 marked, three distinct colored intervals, arrows indicating ranges, mathematical notation, educational illustration”

Шаг 3: Решаем на каждом промежутке

🔴 Промежуток x < 0: Здесь x отрицательный, значит x - 5 тоже отрицательный

• |x - 5| раскрывается как -(x - 5) = -x + 5
• |x| раскрывается как -x

Уравнение: (-x + 5) - (-x) = 1 -x + 5 + x = 1 5 = 1 ❌

Нет решений на этом промежутке.

🟡 Промежуток 0 ≤ x < 5: Здесь x ≥ 0, но x - 5 < 0

• |x - 5| раскрывается как -(x - 5) = -x + 5
• |x| раскрывается как x

Уравнение: (-x + 5) - x = 1 -2x + 5 = 1 -2x = -4 x = 2 ✅

Проверяем: 2 входит в промежуток [0; 5)? Да!

🟢 Промежуток x ≥ 5: Здесь и x ≥ 0, и x - 5 ≥ 0

• |x - 5| раскрывается как x - 5
• |x| раскрывается как x

Уравнение: (x - 5) - x = 1 -5 = 1 ❌

Нет решений.

Ответ: x = 2

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация раскрытия модулей на разных промежутках Промпт: “animated sequence showing modulus expressions being opened on different intervals of coordinate line, step-by-step transformation, mathematical notation appearing and changing, educational animation style”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Реши уравнение |x - 1| + |x + 1| = 4

💡 Подсказка

Точки перехода: x = 1 и x = -1. Получится три промежутка.

✅ Ответ

x = -2 и x = 2

Задание 2: Найди корни уравнения |x| + |x - 2| = 3

💡 Подсказка

Точки перехода: x = 0 и x = 2

✅ Ответ

x = -0,5 и x = 2,5

Задание 3: |x + 3| - |x - 1| = 0

💡 Подсказка

Это значит |x + 3| = |x - 1|. Расстояния равны!

✅ Ответ

x = -1

Средний уровень 🟡

Задание 4: Реши |2x - 1| + |2x + 3| = 8

💡 Подсказка

Точки перехода: 2x - 1 = 0 и 2x + 3 = 0, откуда x = 0,5 и x = -1,5

✅ Ответ

x = -2,5 и x = 1,5

Задание 5: |x - 4| + |x + 2| - |x| = 6

💡 Подсказка

Три модуля дают точки: x = 4, x = -2, x = 0. Четыре промежутка для проверки.

✅ Ответ

x = -4 и x = 8

Задание 6: |x - 1| - 2|x + 1| = 3

💡 Подсказка

Не забудь про коэффициент 2 перед вторым модулем!

✅ Ответ

x = -2

Сложный уровень 🔴

Задание 7: |x| + |x - 3| + |x - 6| = 9

💡 Подсказка

Точки перехода: 0, 3, 6. Проверь все четыре промежутка внимательно!

✅ Ответ

x ∈ [0; 6]

Задание 8: |3x - 2| + |x + 1| = 2x + 7

💡 Подсказка

В правой части не только число, но и переменная x

✅ Ответ

x = -2 и x = 4

Задание 9: ||x - 1| - 2| = 3

💡 Подсказка

Модуль в модуле! Сначала реши |x - 1| - 2 = 3 и |x - 1| - 2 = -3

✅ Ответ

x = -4, x = -2, x = 4, x = 6

Задание 10: |2x + 1| + |x - 2| + |x + 3| = 10

💡 Подсказка

Три модуля создают много случаев. Будь предельно внимателен с арифметикой!

✅ Ответ

x = -4 и x = 2

[МЕДИА: image_03] Описание: Схема решения уравнения с тремя модулями по шагам Промпт: “step-by-step diagram showing solution process for equation with three modulus expressions, flowchart style, clear arrows and decision points, mathematical notation, educational infographic”

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забывают проверить, входит ли найденный корень в рассматриваемый промежуток ✅ Правильно: Всегда проверяй принадлежность корня к промежутку 💡 Почему важно: Корень может быть “правильным” математически, но не подходить для данного случая

❌ Ошибка 2: Путают знаки при раскрытии модулей ✅ Правильно: Если выражение под модулем отрицательно, модуль раскрывается со знаком минус 💡 Почему важно: Один неправильный знак — и всё решение неверно

❌ Ошибка 3: Не рассматривают все промежутки
✅ Правильно: Каждый промежуток между точками перехода нужно проверить 💡 Почему важно: Можно пропустить корни уравнения

❌ Ошибка 4: Неправильно определяют точки перехода ✅ Правильно: Точка перехода — это когда выражение под модулем равно нулю 💡 Почему важно: От этого зависит вся разбивка на промежутки

Главное запомнить

✅ Метод интервалов — лучший способ для уравнений с несколькими модулями ✅ Точки перехода находим из условия: выражение под модулем = 0
✅ На каждом промежутке модули раскрываются по определённым правилам ✅ Обязательно проверяем принадлежность корня к промежутку ✅ Чем больше модулей, тем больше случаев нужно рассмотреть