Неравенства с модулем: метод интервалов

Введение

Представь, что ты играешь в мобильную игру, где нужно собирать монеты на разных уровнях 🎮. На каждом уровне действуют свои правила - где-то монеты появляются чаще, где-то реже. Точно так же работают неравенства с несколькими модулями - на разных участках числовой прямой модули “ведут себя” по-разному!

Когда в неравенстве есть два или больше модулей, самый эффективный способ их решения - метод интервалов. Это как разбить сложную игру на уровни и пройти каждый отдельно! 🎯

Основная часть

Алгоритм решения неравенств с модулем

Шаг 1: Найди критические точки Приравняй каждое подмодульное выражение к нулю и реши уравнения.

Шаг 2: Отметь точки на прямой Расставь найденные точки в порядке возрастания - они разбивают прямую на промежутки.

Шаг 3: Определи знаки на каждом промежутке На каждом промежутке подмодульные выражения сохраняют свой знак.

Шаг 4: Реши неравенство на каждом промежутке Раскрой модули с учетом знаков и найди решение.

Шаг 5: Объедини решения Найди пересечение полученного решения с рассматриваемым промежутком.

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема метода интервалов для неравенств с модулем Промпт: “educational diagram showing interval method for inequalities with absolute values, number line with critical points, arrows showing sign changes, mathematical symbols, clean minimalist style, blue and orange colors, white background”

Разберем на примере

Допустим, тебе нужно решить неравенство: |x - 3| + |2x + 1| < 8

Шаг 1: Находим критические точки x - 3 = 0 → x = 3 2x + 1 = 0 → x = -0.5

Шаг 2: Отмечаем на прямой: -0.5 и 3 Получаем три промежутка: (-∞; -0.5), (-0.5; 3), (3; +∞)

[МЕДИА: image_02] Описание: Числовая прямая с отмеченными критическими точками -0.5 и 3 Промпт: “number line with marked critical points -0.5 and 3, three intervals highlighted in different colors, arrows and labels, educational mathematical illustration, simple clean style”

Шаг 3-5: Решаем на каждом промежутке

На промежутке (-∞; -0.5):

• x - 3 < 0, поэтому |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x
• 2x + 1 < 0, поэтому |2x + 1| = -(2x + 1) = -2x - 1

Неравенство: (3 - x) + (-2x - 1) < 8 Упрощаем: 2 - 3x < 8 Получаем: x > -2

Пересекаем с промежутком (-∞; -0.5): получаем (-2; -0.5)

На промежутке (-0.5; 3):

• x - 3 < 0, поэтому |x - 3| = 3 - x
• 2x + 1 > 0, поэтому |2x + 1| = 2x + 1

Неравенство: (3 - x) + (2x + 1) < 8 Упрощаем: 4 + x < 8 Получаем: x < 4

Пересекаем с промежутком (-0.5; 3): получаем (-0.5; 3)

На промежутке (3; +∞):

• x - 3 > 0, поэтому |x - 3| = x - 3
• 2x + 1 > 0, поэтому |2x + 1| = 2x + 1

Неравенство: (x - 3) + (2x + 1) < 8 Упрощаем: 3x - 2 < 8 Получаем: x < 10/3 ≈ 3.33

Пересекаем с промежутком (3; +∞): получаем (3; 10/3)

Ответ: (-2; -0.5) ∪ (-0.5; 3) ∪ (3; 10/3) = (-2; 10/3)

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация процесса решения неравенства с модулем по шагам Промпт: “animated step-by-step solution of absolute value inequality, showing interval method, critical points appearing, sign analysis, solution regions highlighting, educational math animation, 5-7 seconds”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Реши неравенство |x - 1| + |x + 2| < 5

💡 Подсказка

Критические точки: x = 1 и x = -2. Рассмотри три промежутка.

✅ Ответ

(-2; 1)

Задание 2: Найди решение неравенства |x| + |x - 3| ≤ 4

💡 Подсказка

Критические точки: x = 0 и x = 3. Не забудь про знак "равно".

✅ Ответ

[-0.5; 3.5]

Задание 3: Реши |2x - 4| + |x| < 6

💡 Подсказка

Найди, при каких x подмодульные выражения равны нулю: 2x - 4 = 0 и x = 0.

✅ Ответ

(-2; 10/3)

Средний уровень 🟡

Задание 4: Реши неравенство |3x + 6| + |x - 4| ≥ 10

💡 Подсказка

Критические точки: x = -2 и x = 4. Помни про знак "больше или равно".

✅ Ответ

(-∞; -4] ∪ [6; +∞)

Задание 5: Найди все x, для которых |x + 1| + |2x - 3| > 7

💡 Подсказка

После нахождения решений на каждом промежутке объедини их в один ответ.

✅ Ответ

(-∞; -5) ∪ (3; +∞)

Задание 6: Реши |x - 2| + |x + 3| ≤ 8

💡 Подсказка

Геометрический смысл: сумма расстояний от x до точек 2 и -3 не больше 8.

✅ Ответ

[-4.5; 3.5]

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Реши неравенство |2x + 1| + |3x - 6| + |x| < 12

💡 Подсказка

Три модуля дают четыре промежутка. Критические точки: x = -0.5, x = 0, x = 2.

✅ Ответ

(-13/6; 11/4)

Задание 8: Найди решение |x - 5| + |2x + 4| ≥ |x - 1|

💡 Подсказка

Перенеси |x - 1| в левую часть и рассматривай как неравенство с тремя модулями.

✅ Ответ

(-∞; -10/3] ∪ [0; +∞)

Задание 9: Реши систему: |x + 2| + |x - 3| < 7 и |x| ≤ 4

💡 Подсказка

Сначала реши каждое неравенство отдельно, затем найди пересечение решений.

✅ Ответ

[-4; 4]

Задание 10: При каких значениях a неравенство |x - 1| + |x + 2| ≤ a имеет решения?

💡 Подсказка

Найди минимальное значение функции f(x) = |x - 1| + |x + 2|.

✅ Ответ

a ≥ 3

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забывают найти пересечение решения с рассматриваемым промежутком ✅ Правильно: Всегда проверяй, принадлежит ли полученное решение текущему промежутку 💡 Почему важно: Иначе в ответ попадут “лишние” значения

❌ Ошибка 2: Неправильно определяют знак подмодульного выражения на промежутке ✅ Правильно: Подставь любое число из промежутка в подмодульное выражение и проверь знак 💡 Почему важно: От знака зависит, как раскрывается модуль

❌ Ошибка 3: Забывают объединить решения со всех промежутков ✅ Правильно: В финальный ответ включай решения с каждого промежутка 💡 Почему важно: Иначе потеряешь часть правильного ответа

❌ Ошибка 4: Путают строгие и нестрогие неравенства при объединении ✅ Правильно: Внимательно следи за скобками: ( ) для строгих, [ ] для нестрогих неравенств 💡 Почему важно: Это влияет на то, включается ли граничная точка в решение

Главное запомнить

✅ Метод интервалов - универсальный способ для неравенств с несколькими модулями ✅ Критические точки разбивают прямую на промежутки знакопостоянства
✅ На каждом промежутке модули раскрываются определенным образом ✅ Обязательно находи пересечение решения с текущим промежутком ✅ Финальный ответ - объединение всех найденных решений