Квадратные корни и уравнения с модулем

Введение

Представь, что в твоей любимой игре нужно найти размер квадратной площадки, если её площадь равна 16 квадратным метрам 🎮. Какая будет сторона этого квадрата? Правильно, 4 метра! Но есть одна хитрость - математически существует ещё один ответ: -4. Сегодня мы научимся решать такие задачи правильно!

Основная часть

Что происходит при извлечении корня из уравнения?

Когда у нас есть уравнение вида x² = 16, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей. Но тут нас ждёт сюрприз!

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема извлечения квадратного корня из уравнения x² = 16, показывающая переход к уравнению с модулем Промпт: “mathematical diagram showing equation x squared equals 16, arrow pointing to square root extraction, resulting in absolute value equation, colorful educational style, clean background”

Когда мы извлекаем корень из x², получаем не просто x, а |x| (модуль x). Это происходит потому, что √(x²) = |x| по определению квадратного корня.

Пошаговое решение

Рассмотрим уравнение x² = 16:

1️⃣ Извлекаем корень из обеих частей: √(x²) = √16

2️⃣ Применяем правило: √(x²) = |x| |x| = 4

3️⃣ Решаем уравнение с модулем: Это означает, что x = 4 или x = -4

[МЕДИА: image_02] Описание: Визуализация решения уравнения с модулем, показывающая два случая Промпт: “educational illustration showing modulus equation solution, two branches x=4 and x=-4, number line representation, bright colors, student-friendly design”

Важно помнить! ⚠️

Из правой части всегда извлекаем арифметический (положительный) корень. Если бы мы написали |x| = -4, то уравнение не имело бы решений, ведь модуль не может быть отрицательным!

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация показывающая, почему модуль не может равняться отрицательному числу Промпт: “animated educational sequence showing absolute value concept, positive and negative numbers on number line, highlighting that absolute value is always non-negative, 8 seconds duration”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Реши уравнение 2x² = 18

💡 Подсказка

Сначала раздели обе части на 2, потом извлеки корень!

✅ Ответ

x² = 9, |x| = 3, значит x = 3 или x = -3

Задание 2: Найди корни уравнения x² = 64

💡 Подсказка

Какое число в квадрате даёт 64? Не забудь про отрицательный корень!

✅ Ответ

|x| = 8, значит x = 8 или x = -8

Задание 3: Реши уравнение 5x² = 45

💡 Подсказка

Упрости уравнение, разделив на 5

✅ Ответ

x² = 9, |x| = 3, значит x = 3 или x = -3

Средний уровень 🟡

Задание 4: Реши уравнение (x + 3)² = 16

💡 Подсказка

Извлеки корень из обеих частей, получишь уравнение с модулем

✅ Ответ

|x + 3| = 4, значит x + 3 = 4 или x + 3 = -4, откуда x = 1 или x = -7

Задание 5: Найди корни: x² - 7 = 42

💡 Подсказка

Перенеси -7 в правую часть, потом извлеки корень

✅ Ответ

x² = 49, |x| = 7, значит x = 7 или x = -7

Задание 6: Реши уравнение (x - 1)² = 25

💡 Подсказка

После извлечения корня получишь |x - 1| = 5

✅ Ответ

x - 1 = 5 или x - 1 = -5, значит x = 6 или x = -4

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Реши уравнение 3(x + 2)² - 12 = 0

💡 Подсказка

Сначала перенеси 12 в правую часть, затем раздели на 3

✅ Ответ

3(x + 2)² = 12, (x + 2)² = 4, |x + 2| = 2, значит x = 0 или x = -4

Задание 8: Найди корни: 2x² + 8 = 58

💡 Подсказка

Приведи к виду x² = число, потом извлеки корень

✅ Ответ

2x² = 50, x² = 25, |x| = 5, значит x = 5 или x = -5

Задание 9: Реши уравнение (2x - 1)² = 9

💡 Подсказка

После извлечения корня получишь |2x - 1| = 3

✅ Ответ

2x - 1 = 3 или 2x - 1 = -3, значит x = 2 или x = -1

Задание 10: Найди все решения: x² = 0.36

💡 Подсказка

0.36 = (0.6)² Не забудь про отрицательный корень!

✅ Ответ

|x| = 0.6, значит x = 0.6 или x = -0.6

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Писать √(x²) = x вместо √(x²) = |x| ✅ Правильно: Всегда помни, что √(x²) = |x| 💡 Почему важно: Иначе потеряешь отрицательные корни!

❌ Ошибка 2: Извлекать отрицательный корень из правой части ✅ Правильно: √16 = 4, а не ±4 💡 Почему важно: Арифметический корень всегда неотрицательный

❌ Ошибка 3: Забывать про второе решение уравнения с модулем ✅ Правильно: |x| = 5 даёт x = 5 И x = -5 💡 Почему важно: Модуль “убирает” знак, поэтому нужно рассмотреть оба случая

❌ Ошибка 4: Не проверять ответы подстановкой ✅ Правильно: Всегда проверяй найденные корни 💡 Почему важно: Легко поймать вычислительные ошибки

Главное запомнить

✅ При извлечении корня из x² получаем |x|, а не x ✅ Уравнение |x| = a имеет два корня: x = a и x = -a (если a ≥ 0) ✅ Арифметический корень всегда неотрицательный ✅ Всегда проверяй решения подстановкой в исходное уравнение