Понятие функции: математическая машина для преобразования данных

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты разработчик мобильных игр 🎮. Тебе нужно запрограммировать, как здоровье персонажа зависит от урона: получил 10 единиц урона — здоровье уменьшилось на 10. Или как в Instagram фильтры преобразуют твоё фото: каждый пиксель исходного изображения превращается в новый пиксель с изменёнными параметрами.

А ещё функции везде вокруг нас: 📱 Приложения: GPS вычисляет время в пути по расстоянию и скорости 💰 Банкинг: размер комиссии зависит от суммы перевода
🌡️ Погода: температура по Фаренгейту = температура по Цельсию × 1.8 + 32

📚 История вопроса

В XVII веке Готфрид Лейбниц придумал слово “функция” (от латинского “functio” — исполнение). Но саму идею использовали намного раньше! Древние вавилоняне составляли таблицы: “если год урожайный, то налог такой-то”. Это уже были функции, просто они не знали математического названия! 😄

💡 Интуиция

Функция — это математическая “машина” 🤖, которая по определённому правилу превращает одно число в другое.

Представь автомат с газировкой:

• Ты вставляешь монету (это аргумент x)
• Автомат выдаёт бутылку газировки (это значение функции f(x))
• У каждой монеты есть строго определённый результат

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема функции как машины преобразования с входом x и выходом f(x) Промпт: “educational illustration showing function as transformation machine, input x on left side, processing box in middle labeled f, output f(x) on right side, arrows showing data flow, modern tech style, blue and orange colors”

Главное правило функции: одному входу соответствует только один выход. Если вставил монету номиналом 50 рублей, то всегда получишь бутылку колы, а не то колу, то воду!

📐 Формальное определение

Функция — это правило, которое каждому элементу x из множества X ставит в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Записывается: f: X → Y или y = f(x)

Где:

• x — аргумент (независимая переменная)
• f(x) — значение функции (зависимая переменная)
• X — область определения D(f)
• Y — область значений E(f)

Ключевое условие: каждому x соответствует ровно одно y!

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Функция f(x) = 2x + 3

Это линейная функция. Давайте её “протестируем”:

• При x = 1: f(1) = 2·1 + 3 = 5
• При x = 0: f(0) = 2·0 + 3 = 3
• При x = -2: f(-2) = 2·(-2) + 3 = -1

Область определения: все действительные числа ℝ (подставить можно любое число) Область значений: все действительные числа ℝ

Пример 2: Функция стоимости такси

f(x) = 150 + 25x, где x — количество километров

• Посадка стоит 150 рублей (константа)
• Каждый километр добавляет 25 рублей
• При поездке на 10 км: f(10) = 150 + 25·10 = 400 рублей

Область определения: x ≥ 0 (отрицательные километры не имеют смысла) Область значений: y ≥ 150 (минимальная стоимость — посадка)

[МЕДИА: image_02] Описание: График линейной функции такси с подписанными осями и ключевыми точками Промпт: “graph of taxi fare function, linear line starting at point (0,150), x-axis labeled kilometers, y-axis labeled rubles, clear grid, educational mathematical style, real-world application visualization”

Пример 3: Квадратичная функция f(x) = x²

Классическая парабола:

• При x = 2: f(2) = 4
• При x = -2: f(-2) = 4 (важно: одному y соответствуют два разных x!)
• При x = 0: f(0) = 0

Область определения: ℝ Область значений: y ≥ 0

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Для функции f(x) = 3x - 7 найди f(2), f(0), f(-1)

💡 Подсказка

Подставь значения вместо x и вычисли

✅ Ответ

f(2) = 3·2 - 7 = -1; f(0) = -7; f(-1) = 3·(-1) - 7 = -10

Задание 2: Является ли соответствие “каждому человеку — его рост” функцией?

✅ Ответ

Да, у каждого человека единственный рост

Задание 3: А соответствие “каждому росту — человек с таким ростом”?

✅ Ответ

Нет, людей с одинаковым ростом может быть много

Задание 4: Найди область определения функции f(x) = √(x - 5)

💡 Подсказка

Под корнем должно быть неотрицательное число

✅ Ответ

x - 5 ≥ 0, откуда x ≥ 5

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Функция f(x) задана таблицей: x: -2 -1 0 1 2 f(x): 5 2 1 2 7 Найди f(-1) + f(2)

✅ Ответ

f(-1) = 2, f(2) = 7, поэтому f(-1) + f(2) = 9

Задание 6: Придумай формулу для функции: “площадь квадрата зависит от длины его стороны”

✅ Ответ

f(x) = x², где x — длина стороны

Задание 7: У функции f(x) = |x - 3| найди область значений

💡 Подсказка

Модуль всегда неотрицателен, минимальное значение в точке x = 3

✅ Ответ

E(f) = [0; +∞), так как |x - 3| ≥ 0

Задание 8: При каких значениях a функция f(x) = √(ax + 12) имеет область определения x ≥ -3?

✅ Ответ

ax + 12 ≥ 0 при x ≥ -3, откуда a·(-3) + 12 = 0, следовательно a = 4

Челлендж 🔴

Задание 9: Функция f(x) удовлетворяет условию f(x + 1) = 2f(x) для всех x. Если f(0) = 3, найди f(3)

💡 Подсказка

Используй рекуррентное соотношение пошагово

✅ Ответ

f(1) = 2f(0) = 6; f(2) = 2f(1) = 12; f(3) = 2f(2) = 24

Задание 10: Может ли функция принимать одно и то же значение в бесконечном количестве точек? Приведи пример.

✅ Ответ

Да, например f(x) = sin(x). Значение sin(x) = 0 в точках x = πn, где n — любое целое число

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: “График окружности x² + y² = 1 — это график функции” ✅ Правильно: Это НЕ функция, так как одному x соответствует два значения y 💡 Почему: Проведи вертикальную линию x = 0.5 — она пересечёт окружность в двух точках!

❌ Ошибка: “f(2x) = 2f(x) всегда” ✅ Правильно: Это верно только для линейных функций вида f(x) = kx
💡 Почему: Для f(x) = x² получаем f(2x) = 4x², а 2f(x) = 2x²

❌ Ошибка: Путать область определения и область значений ✅ Правильно: Область определения — допустимые x, область значений — получающиеся y 💡 Почему: Для f(x) = x² можем подставить любое x (D(f) = ℝ), но получаем только y ≥ 0

🎓 Главное запомнить

✅ Функция — это правило соответствия: каждому входу — единственный выход ✅ Запись: f: X → Y или y = f(x)
✅ Применяется везде: от игр до банковских приложений

🔗 Связь с другими темами

🔙 Откуда пришли: Из буквенных выражений (урок 39) — теперь y зависит от x по правилу 🔜 Куда ведёт: К графикам функций, производным, интегралам 🌐 Связано с: Уравнениями (функция f(x) = 0), системами, программированием