Формулы суммы и разности синуса и косинуса

🎯 Зачем это нужно?

Представь: ты настраиваешь эквалайзер в своих наушниках 🎧. Смешиваешь басы на частоте 60 Гц с высокими на 2000 Гц. Результирующий звук — это не простая сумма двух волн! В акустике и радиосвязи постоянно складывают и вычитают колебания разных частот, и тут без формул суммы синусов никуда не деться.

В программировании игр формулы суммы помогают создавать плавные анимации поворотов 🎮, а в GPS-навигации они нужны для расчёта координат по сигналам спутников 📍.

📚 История вопроса

В XVI веке математик Франсуа Виет работал над проблемами астрономии — нужно было точно рассчитывать положения планет. Проблема в том, что планеты движутся по сложным траекториям, и их координаты описываются суммами углов. Виет первым догадался, что sin(α + β) ≠ sin α + sin β, и вывел точные формулы!

💡 Интуиция

Почему sin(30° + 45°) не равен sin 30° + sin 45°? Давайте проверим:

• sin 75° ≈ 0,966
• sin 30° + sin 45° = 0,5 + 0,707 ≈ 1,207

Получается больше 1, а синус не может быть больше 1! 🤯

Дело в том, что при сложении углов происходит “поворот поворота” — это не арифметическая операция, а геометрическая.

[МЕДИА: image_01] Описание: Единичная окружность с векторами, показывающими геометрический смысл формул сложения Промпт: “unit circle with vectors showing geometric interpretation of sine and cosine addition formulas, angle α and β marked, resulting angle α+β, educational style, clear labels, bright colors”

📐 Формальные определения

Основные формулы:

Косинус суммы и разности:

• cos(α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
• cos(α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Синус суммы и разности:

• sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
• sin(α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β

Мнемоническое правило 🧠

Косинус: “Косинусы дружат, синусы враждуют” (произведения косинусов складываем, произведения синусов вычитаем при сумме углов) Синус: “Синус любит разнообразие” (всегда произведения разных функций: sin на cos и cos на sin)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: cos 75°

cos 75° = cos(45° + 30°) = cos 45° · cos 30° - sin 45° · sin 30°

cos 75° = (√2/2) · (√3/2) - (√2/2) · (1/2) = (√6/4) - (√2/4) = (√6 - √2)/4

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое вычисление cos 75° с использованием формулы суммы Промпт: “step-by-step calculation of cos 75 degrees using sum formula, clear mathematical notation, colored steps, educational diagram style”

Пример 2: Упростить sin(x + π/4) + sin(x - π/4)

sin(x + π/4) = sin x · cos(π/4) + cos x · sin(π/4) = sin x · (√2/2) + cos x · (√2/2)

sin(x - π/4) = sin x · cos(π/4) - cos x · sin(π/4) = sin x · (√2/2) - cos x · (√2/2)

Складываем: sin(x + π/4) + sin(x - π/4) = 2 · sin x · (√2/2) = √2 · sin x

Пример 3: Доказать тождество cos(90° - α) = sin α

cos(90° - α) = cos 90° · cos α + sin 90° · sin α = 0 · cos α + 1 · sin α = sin α ✅

Вот откуда берутся формулы приведения!

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Вычисли точно cos 15°

Задание 2: Найди sin 105°

Задание 3: Упрости cos(α + β) + cos(α - β)

Задание 4: Вычисли sin 7π/12

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Докажи, что sin(α + β) · sin(α - β) = sin²α - sin²β

Задание 6: Реши уравнение cos(x + π/3) = sin(x - π/6)

Задание 7: Упрости выражение (cos(α + β) - cos(α - β))/(sin(α + β) + sin(α - β))

Задание 8: Найди все x из [0; 2π], для которых sin(x + π/4) = cos(x - π/4)

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи формулу: cos 3α = 4cos³α - 3cos α

Задание 10: В треугольнике с углами α, β, γ докажи, что sin(α + β) = sin γ

Задание 11: Найди наибольшее значение функции f(x) = sin(x + π/6) + cos(x - π/3)

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: sin(α + β) = sin α + sin β ✅ Правильно: sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β 💡 Почему: Синус суммы — это не арифметическая, а тригонометрическая операция

❌ Ошибка: cos(α - β) = cos α · cos β - sin α · sin β (неправильный знак!) ✅ Правильно: cos(α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β 💡 Почему: При вычитании углов знак у произведения синусов меняется на противоположный

❌ Ошибка: Путают формулы для sin и cos ✅ Правильно: У косинуса произведения “одинаковых” функций, у синуса — “разных” 💡 Почему: Запомни мнемонику: “косинусы дружат, синусы любят разнообразие”

🎓 Главное запомнить

✅ Формулы суммы выражают тригонометрические функции суммы/разности через произведения функций отдельных углов ✅ cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β, sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
✅ Применяются в физике (колебания), программировании (повороты), навигации (координаты)

🔗 Связь с другими темами

Формулы суммы — основа для вывода формул двойного угла, формул произведения и многого другого. Они понадобятся при интегрировании тригонометрических функций в 11 классе и будут активно использоваться в высшей математике при изучении рядов Фурье.