Формулы сложения ➕

Давай сразу проверим одну гипотезу. Чему равен $\sin(30° + 60°)$? Если ты (как почти каждый на первом знакомстве с темой) мысленно сложил $\sin 30°$ и $\sin 60°$, получилось $\frac12 + \frac{\sqrt3}2 \approx 1{,}366$. А правильный ответ — $\sin 90° = 1$. Тригонометрические функции не линейны, и складывать углы внутри синуса и косинуса нельзя так же просто, как складывать сами числа. Нужны отдельные формулы — и именно они называются формулами сложения.

Это не просто ещё одна порция формул для заучивания. Формулы сложения — это генератор всей остальной тригонометрии. Формулы приведения из прошлого урока (которые ты уже умеешь применять к любому «страшному» углу) на самом деле являются их частным случаем. Формулы двойного и половинного угла из следующих двух уроков выводятся из них в одну строчку. А в прикладном мире формулы сложения оказываются буквально тем, что происходит внутри матрицы поворота в компьютерной графике, внутри RoPE — механизма позиционного кодирования в LLaMA, Qwen и других современных языковых моделях, и внутри любой задачи, где складываются или сравниваются направления: навигация, робототехника, обработка сигналов.

Представь, что ты умеешь точно (без калькулятора, без округлений) считать синус, косинус и тангенс только для угла $30°$, $45°$, $60°$ и $90°$ — это твой «алфавит». Формулы сложения — это грамматика, которая позволяет из букв алфавита собирать точные значения для куда большего числа углов: $75° = 45° + 30°$, $15° = 45° - 30°$, $105°$, $165°$ и так далее. И заодно эта же грамматика позволяет сворачивать и упрощать выражения, доказывать тождества и решать простейшие уравнения — то есть делать ровно то, ради чего тригонометрию вообще изучают.

В этом уроке мы выведем все шесть формул сложения из одного простого геометрического факта — скалярного произведения двух единичных векторов (да, того самого, что считает косинусную близость эмбеддингов), разберём точные вычисления «некрасивых» углов, научимся сворачивать выражения вида $A\sin x + B\cos x$ в одну гармонику и увидим, как ровно те же формулы прячутся внутри матрицы поворота и позиционного кодирования трансформеров.

🎯 Ты узнаешь:

• Как вывести формулу $\cos(\alpha - \beta)$ из скалярного произведения векторов — и получить из неё все остальные пять формул почти бесплатно
• Как точно вычислять синус, косинус и тангенс «некрасивых» углов вроде $75°$, $15°$, $105°$, представляя их как сумму или разность табличных углов
• Как сворачивать выражения вида $A\sin x + B\cos x$ в единую гармонику $R\sin(x+\varphi)$ — приём, на котором держится анализ сигналов
• Почему матрица поворота $R(\theta)$ — это буквально формулы сложения, записанные в виде таблицы чисел, и как из этого следует, что $R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha+\beta)$
• Как эти же формулы обеспечивают ключевое свойство RoPE — позиционного кодирования, которое использует относительное расстояние между токенами вместо их абсолютных номеров

История: откуда это взялось?

Самое раннее известное применение формул сложения — это не алгебра, а таблицы хорд. Во II веке нашей эры александрийский астроном Клавдий Птолемей в своём трактате «Альмагест» построил таблицу длин хорд окружности для углов от $0°$ до $180°$ с шагом в пол-градуса — по сути, прообраз таблицы синусов, нужный ему для расчёта движения планет. Чтобы вычислить хорду для «некрасивого» угла, Птолемей использовал теорему, которая сегодня называется теоремой Птолемея: в четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Если аккуратно применить эту теорему к четырёхугольнику, вершины которого расставлены под углами $\alpha$ и $\beta$, получается ровно формула $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ — только записанная на языке хорд, а не синусов. Формулы сложения старше самого слова «синус» на несколько веков.

Дальше эстафету приняли индийские и исламские математики. Индийский астроном Арьябхата (V век) уже работал с таблицами синусов в современном смысле, а расцвет пришёлся на исламский Золотой век: персидский математик Абу-ль-Вафа аль-Бузджани в X веке дал чёткую формулировку и доказательство формулы синуса суммы, использовал её для построения точных тригонометрических таблиц с шагом в четверть градуса — невероятная точность для эпохи без калькуляторов. Именно через арабские трактаты формулы сложения попали в средневековую Европу, где были переоткрыты и переформулированы в алгебраическом виде, близком к тому, что ты видишь в учебнике сегодня.

А мостик в XXI век выглядит неожиданно прямым. В 1748 году Леонард Эйлер связал тригонометрию с показательной функцией комплексного переменного; произведение $(\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta)$ по правилам умножения комплексных чисел раскладывается ровно в $\cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta)$ — формулы сложения оказались спрятаны внутри арифметики комплексных чисел. А в 2021 году авторы механизма RoPE (Rotary Position Embedding) — который сегодня стоит внутри LLaMA, Qwen, Mistral и десятков других языковых моделей — использовали эту же самую алгебру, чтобы закодировать позицию токена поворотом вектора на угол, пропорциональный его номеру. Формулы, доказанные для таблиц хорд две тысячи лет назад, оказались именно тем механизмом, который заставляет трансформер понимать, что токен номер 100 находится на пять позиций правее токена номер 95 — вне зависимости от того, где вообще начинается текст.

Косинус разности — фундамент, из которого выводится всё остальное

Интуиция

Представь единичную окружность и на ней две точки: $A$, задающая угол $\alpha$ от положительного направления оси $Ox$, и $B$, задающая угол $\beta$. Их координаты — это в точности $A = (\cos\alpha, \sin\alpha)$ и $B = (\cos\beta, \sin\beta)$, а длина каждого из радиус-векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ равна единице.

Угол между этими двумя векторами — это ровно $\alpha - \beta$ (или $\beta - \alpha$, косинусу это безразлично, потому что косинус — чётная функция). А теперь вспомни формулу скалярного произведения из линейной алгебры — ту самую, на которой держится косинусная близость эмбеддингов:

Это первый способ посчитать скалярное произведение — через геометрию. Но есть и второй способ — через координаты, покомпонентно:

Оба выражения считают одно и то же число, просто разными путями. Приравняв их, мы получаем формулу без единого лишнего допущения — только определение косинуса, синуса и скалярного произведения:

Определение:

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$

Обрати внимание: это ровно тот же трюк, которым в уроке про радианную меру мы находили угол между эмбеддингами через arccos косинусной близости. Формула сложения для косинуса — не абстрактная алгебра, а прямое следствие того, как устроено скалярное произведение единичных векторов.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): вычисли $\cos(60° - 30°)$ по формуле сложения и сравни с $\cos 30°$.

Решение:

Шаг 1. Подставляем $\alpha = 60°$, $\beta = 30°$ в формулу:

Шаг 2. Подставляем табличные значения:

Проверим наш ответ: $60° - 30° = 30°$, а $\cos30° = \dfrac{\sqrt3}2$ — числа совпали идеально ✅

Ответ: $\cos(60°-30°) = \dfrac{\sqrt3}2$.

Пример 2 (средний): дано $\cos\alpha = \dfrac35$, $\sin\alpha = \dfrac45$ (угол $\alpha$ в первой четверти) и $\cos\beta = \dfrac{12}{13}$, $\sin\beta = \dfrac5{13}$ (угол $\beta$ тоже в первой четверти). Найди $\cos(\alpha-\beta)$.

Решение:

Шаг 1. Применяем формулу напрямую, никаких дополнительных вычислений синусов и косинусов не требуется — они уже даны:

Шаг 2. Подставляем:

Ответ: $\cos(\alpha-\beta) = \dfrac{56}{65} \approx 0{,}8615$.

Пример 3 (сложный): выведи, чему равен $\cos(\alpha - \alpha)$ и $\cos(\alpha - 0)$ по формуле сложения, и убедись, что оба результата совпадают со здравым смыслом.

Решение:

Шаг 1. Подставим $\beta = \alpha$:

Шаг 2. По основному тригонометрическому тождеству (урок 95) это выражение тождественно равно $1$ при любом $\alpha$. А с другой стороны, $\alpha - \alpha = 0$, и $\cos 0 = 1$. Совпало ✅ — заодно мы заново «открыли» основное тригонометрическое тождество как частный случай формулы сложения.

Шаг 3. Подставим теперь $\beta = 0$:

Тоже логично: вычесть из угла ноль — ничего не изменить.

Ответ: в обоих случаях формула сложения даёт результат, совпадающий с очевидным геометрическим фактом — это хороший способ проверять формулу «на вшивость».

Почему это важно

Формула $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ — не просто первая в списке из шести, она единственная, которую действительно нужно вывести и понять, а не запомнить. Все остальные пять получаются из неё за пару строк алгебры, и мы это сделаем прямо сейчас. А в прикладном смысле именно эта формула — рабочая лошадка: это она стоит внутри cosine_similarity для эмбеддингов, внутри вычисления угла между градиентами при анализе сходимости оптимизатора, внутри любой задачи, где нужно понять, «насколько по-разному» направлены два вектора.

Косинус и синус суммы — та же формула, только другой знак

Интуиция

Формулу для суммы получать заново с нуля незачем — достаточно одного наблюдения из урока про формулы приведения: косинус — чётная функция ($\cos(-x) = \cos x$), а синус — нечётная ($\sin(-x) = -\sin x$). Тогда сумму $\alpha + \beta$ можно представить как разность $\alpha - (-\beta)$ и подставить в уже готовую формулу:

Знак у $\sin\beta$ поменялся на минус — просто потому, что синус нечётный. Вот и вся хитрость: у косинуса знак в формуле всегда противоположен знаку в исходном угле. Было «плюс» в $\cos(\alpha+\beta)$ — в формуле стоит «минус» перед произведением синусов. Было «минус» в $\cos(\alpha-\beta)$ — в формуле «плюс».

Формулы синуса выводятся другим путём — через формулы приведения (урок 96), а именно через тождество $\sin x = \cos\!\left(\dfrac{\pi}2 - x\right)$:

Раскрываем по уже известной формуле $\cos(\alpha-\beta)$, где роль «$\alpha$» играет $\left(\dfrac{\pi}2-\alpha\right)$:

(мы снова воспользовались формулами приведения: $\cos\left(\tfrac{\pi}2-\alpha\right) = \sin\alpha$ и $\sin\left(\tfrac{\pi}2-\alpha\right)=\cos\alpha$). А формула для $\sin(\alpha-\beta)$ получается той же заменой $\beta \to -\beta$, что и для косинуса.

Определение (все четыре формулы разом):

$$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$$

$$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \qquad \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$$

📌 Мнемоника, которая реально работает: у косинуса знаки противоположны (плюс в угле даёт минус в формуле, и наоборот), у синуса знаки совпадают (плюс в угле даёт плюс в формуле). Запомни эти два слова — «противоположны» и «совпадают» — и не перепутаешь никогда.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): вычисли $\sin(45° + 30°)$.

Решение:

Шаг 1. Знаки в формуле синуса совпадают со знаком в угле — берём формулу суммы со знаком «плюс»:

Шаг 2. Подставляем табличные значения:

Шаг 3. Численно: $\dfrac{2{,}449+1{,}414}4 \approx 0{,}9659$.

Проверим наш ответ: $45°+30°=75°$, а $\sin75° \approx 0{,}9659$ — по таблицам синусов совпадает ✅

Ответ: $\sin75° = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4 \approx 0{,}9659$.

Пример 2 (средний): дано $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$, угол $\alpha$ во второй четверти; $\cos\beta = \dfrac{4}{5}$, угол $\beta$ в первой четверти. Найди $\cos(\alpha+\beta)$.

Решение:

Шаг 1. Нужны все четыре значения — сначала найдём недостающие через основное тригонометрическое тождество (урок 95).

Шаг 2. Для $\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$, откуда $\cos\alpha = \pm\dfrac{12}{13}$. Во второй четверти косинус отрицателен, значит $\cos\alpha = -\dfrac{12}{13}$.

Шаг 3. Для $\beta$: $\sin^2\beta = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac9{25}$, откуда $\sin\beta = \pm\dfrac35$. В первой четверти всё положительно, значит $\sin\beta = \dfrac35$.

Шаг 4. Подставляем в формулу косинуса суммы (знак «минус», как мы запомнили):

Шаг 5. Считаем:

Ответ: $\cos(\alpha+\beta) = -\dfrac{63}{65} \approx -0{,}9692$.

Пример 3 (сложный): докажи, что $\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta$, и с помощью этого тождества вычисли $\sin75° + \sin15°$ без прямого использования формул сложения к каждому слагаемому по отдельности.

Решение:

Шаг 1. Складываем левые части формул синуса суммы и разности:

Шаг 2. Слагаемые $\cos\alpha\sin\beta$ и $-\cos\alpha\sin\beta$ взаимно уничтожаются, остаётся:

Тождество доказано.

Шаг 3. Теперь используем его в обратную сторону: $75° = \alpha+\beta$, $15° = \alpha-\beta$ при $\alpha = 45°$, $\beta = 30°$ (решаем систему $\alpha+\beta=75, \alpha-\beta=15$: сложив уравнения, $2\alpha=90$, $\alpha=45$; тогда $\beta=30$).

Шаг 4. Подставляем:

Проверим наш ответ: $\sin75°\approx0{,}9659$, $\sin15°\approx0{,}2588$, сумма $\approx1{,}2247$ ✅

Ответ: $\sin75°+\sin15° = \dfrac{\sqrt6}2 \approx 1{,}2247$.

Наблюдение: формула, которую мы только что вывели, называется формулой перехода от суммы к произведению — с ней ты подробно встретишься в уроке 100, и вывели мы её буквально за два шага прямо из формул сложения.

Почему это важно

Формулы синуса и косинуса суммы — это ровно то, что происходит внутри матрицы поворота при повороте вектора (мы разберём это чуть ниже подробно), внутри складывающихся фаз при интерференции волн в физике и акустике, и внутри любой задачи навигации, где нужно пересчитать курс после поворота на дополнительный угол. А приём «доказать вспомогательное тождество и применить его в обратную сторону», как в примере 3, — это ровно тот стиль мышления, который тебе понадобится в уроке 100, когда мы соберём из таких тождеств полноценный набор формул суммы-в-произведение.

Тангенс суммы и разности

Интуиция

Тангенс — это отношение синуса к косинусу, так что формулу для $\tan(\alpha+\beta)$ логично получать делением уже готовых формул синуса и косинуса суммы друг на друга:

Выражение неудобное — в нём смешаны синусы и косинусы обоих углов. Разделим числитель и знаменатель на одно и то же выражение $\cos\alpha\cos\beta$ (это законно, если оно не равно нулю — оно просто «сократится» само с собой):

Каждая дробь в числителе после сокращения даёт либо $\tan\alpha$, либо $\tan\beta$ (второй множитель сокращается), а в знаменателе появляется $1$ и произведение тангенсов. Формула разности получается точно так же из формул синуса и косинуса разности.

Определение:

$$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}, \qquad \tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

Формулы определены только тогда, когда $\cos\alpha \neq 0$, $\cos\beta \neq 0$ и знаменатель дроби не равен нулю.

⚠️ Ловушка: знак в знаменателе у тангенса устроен «наоборот» по сравнению с косинусом — для суммы в знаменателе минус, для разности плюс. Это прямое следствие того, что мы делили на $\cos\alpha\cos\beta$ формулу косинуса, где знаки как раз обратные знаку самого угла.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): вычисли $\tan(45°+30°)$.

Решение:

Шаг 1. $\tan45°=1$, $\tan30°=\dfrac1{\sqrt3}$. Подставляем в формулу суммы:

Шаг 2. Домножим числитель и знаменатель на $(\sqrt3+1)$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

Проверим наш ответ: численно $2+\sqrt3\approx3{,}732$ — совпадает с табличным значением $\tan75°$ ✅

Ответ: $\tan75° = 2+\sqrt3 \approx 3{,}732$.

Пример 2 (средний): дано $\tan\alpha = \dfrac23$, $\tan\beta=\dfrac15$. Найди $\tan(\alpha-\beta)$.

Решение:

Шаг 1. Формула разности:

Шаг 2. Числитель: $\dfrac23-\dfrac15 = \dfrac{10}{15}-\dfrac3{15}=\dfrac7{15}$.

Шаг 3. Знаменатель: $1+\dfrac23\cdot\dfrac15 = 1+\dfrac2{15}=\dfrac{17}{15}$.

Шаг 4. Делим дробь на дробь:

Ответ: $\tan(\alpha-\beta) = \dfrac7{17} \approx 0{,}4118$.

Пример 3 (сложный): при каком условии на $\alpha$ и $\beta$ выражение $\tan(\alpha+\beta)$ не определено, даже если $\tan\alpha$ и $\tan\beta$ существуют по отдельности? Приведи конкретный числовой пример.

Решение:

Шаг 1. Формула $\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ не определена, когда знаменатель равен нулю: $1-\tan\alpha\tan\beta=0$, то есть $\tan\alpha\tan\beta=1$.

Шаг 2. Это не случайность формулы, а отражение реального факта: если $\tan\alpha\tan\beta=1$, то сам угол $\alpha+\beta$ равен $\dfrac{\pi}2+\pi k$ — а тангенс от такого угла действительно не существует.

Шаг 3. Числовой пример: пусть $\alpha=30°$, тогда нужно $\tan\beta = \dfrac1{\tan30°} = \sqrt3$, то есть $\beta=60°$. Проверим: $\alpha+\beta=90°$, а $\tan90°$ — классический случай неопределённости (косинус обнуляется).

Ответ: формула ломается при $\tan\alpha\tan\beta=1$; например, при $\alpha=30°,\ \beta=60°$, где $\alpha+\beta=90°$ и тангенс суммы действительно не существует.

Почему это важно

Формула тангенса суммы реже применяется напрямую в вычислениях «в лоб», но её вывод — division trick с делением на $\cos\alpha\cos\beta$ — крайне полезный приём мышления: он же используется при упрощении множества других тригонометрических выражений. А условие $\tan\alpha\tan\beta \neq 1$ — это ранний пример того, как алгебраическая формула сама «сигналит» о точке разрыва функции; такое явление в куда более общем виде встретится тебе, когда дойдёшь до анализа функций и производных (урок 133 и далее).

Точные значения «некрасивых» углов

Интуиция

Твой «алфавит» табличных углов — это $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ (а по формулам приведения из урока 96 — ещё и все их отражения в других четвертях). Формулы сложения превращают этот алфавит в куда более богатый словарь: любой угол, который можно представить как сумму или разность двух табличных углов, вычисляется точно, без калькулятора.

Алгоритм простой:

1. Подбери два табличных угла из набора $\{0°,30°,45°,60°,90°\}$, сумма или разность которых даёт нужный угол

2. Подставь их в соответствующую формулу сложения

3. Подставь табличные значения синуса и косинуса и упрости выражение

Самые ходовые разложения стоит держать в голове: $15° = 45°-30°$, $75°=45°+30°$, $105°=60°+45°$, $105°=135°-30°$ (тоже работает — способ подбора не единственный), $165°=180°-15°$ или $135°+30°$.

Определение: угол $\gamma$ называется разложимым по табличным углам, если найдутся табличные $\alpha,\beta \in \{0°,30°,45°,60°,90°,\ldots\}$ такие, что $\gamma=\alpha+\beta$ или $\gamma=\alpha-\beta$. Для такого $\gamma$ значения $\sin\gamma$, $\cos\gamma$, $\tan\gamma$ вычисляются точно по формулам сложения.

📌 Заметь: разложение не единственно, и разные пути должны давать один и тот же ответ — это отличный способ проверять себя.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): вычисли $\sin75°$, представив угол как $45°+30°$.

Решение:

Шаг 1. $\sin(45°+30°) = \sin45°\cos30°+\cos45°\sin30°$.

Шаг 2. Подставляем: $\dfrac{\sqrt2}2\cdot\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac{\sqrt2}2\cdot\dfrac12 = \dfrac{\sqrt6}4+\dfrac{\sqrt2}4 = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4$.

Ответ: $\sin75° = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4 \approx 0{,}9659$.

Пример 2 (средний): вычисли $\cos105°$, представив угол как $60°+45°$, и объясни знак результата.

Решение:

Шаг 1. $\cos(60°+45°) = \cos60°\cos45°-\sin60°\sin45°$.

Шаг 2. Подставляем: $\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt2}2 - \dfrac{\sqrt3}2\cdot\dfrac{\sqrt2}2 = \dfrac{\sqrt2}4-\dfrac{\sqrt6}4 = \dfrac{\sqrt2-\sqrt6}4$.

Шаг 3. Так как $\sqrt6 > \sqrt2$, числитель отрицателен: $\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}4 \approx \dfrac{1{,}414-2{,}449}4 \approx -0{,}2588$.

Шаг 4. Знак согласуется с геометрией: $105°$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен ✅

Ответ: $\cos105° = \dfrac{\sqrt2-\sqrt6}4 \approx -0{,}2588$.

Пример 3 (сложный): вычисли $\tan75°$ через разложение $45°+30°$ и сверь результат с $-\tan105°$, вычисленным как $\tan(180°-105°)$ по формуле приведения.

Решение:

Шаг 1. По формуле сложения (как в примере 1 предыдущего раздела):

Шаг 2. Теперь другим путём: $105° = 180°-75°$, а по формуле приведения (урок 96) $\tan(180°-x) = -\tan x$, значит $\tan105° = -\tan75°$.

Шаг 3. Подставим уже найденное значение: $\tan105° = -(2+\sqrt3) = -2-\sqrt3 \approx -3{,}732$.

Шаг 4. Проверим независимо, через прямое разложение $105°=60°+45°$: $\tan105° = \dfrac{\tan60°+\tan45°}{1-\tan60°\tan45°} = \dfrac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3}$. Домножим на $(1+\sqrt3)$: $\dfrac{(\sqrt3+1)(1+\sqrt3)}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)} = \dfrac{(\sqrt3+1)^2}{1-3} = \dfrac{4+2\sqrt3}{-2} = -2-\sqrt3$ ✅ Оба пути совпали.

Ответ: $\tan75°=2+\sqrt3$, $\tan105°=-2-\sqrt3$ — три независимых способа подтверждают друг друга.

Почему это важно

Умение раскладывать угол на табличные слагаемые — это ровно тот навык, который отличает «вызубрил таблицу» от «понимаю, откуда берутся значения». В инженерных расчётах, где калькулятора может не быть под рукой (или где нужно быстро прикинуть порядок величины перед тем, как доверять результату компьютерной программы), эта техника экономит время. А для программиста это ещё и хорошая проверка: если твой код вычисляет $\sin75°$ и выдаёт что-то, заметно отличающееся от $0{,}9659$, — значит, где-то баг, и ты это мгновенно заметишь, потому что умеешь получить эталонное значение вручную.

Гармоническое сложение: $A\sin x + B\cos x$ как одна синусоида

Интуиция

Формулы сложения работают и в обратную сторону: если тебе встретилось выражение вида $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$, ты сразу узнаёшь в нём $\sin(\alpha+\beta)$ и сворачиваешь два слагаемых в одно. Это невероятно полезный приём — и он же лежит в основе куда более общей задачи: любую комбинацию $A\sin x + B\cos x$ (с одной и той же частотой $x$, но разными коэффициентами $A$ и $B$) можно свернуть в одну-единственную синусоиду с изменённой амплитудой и сдвигом фазы.

Идея: подбираем такое $R$ и такой угол $\varphi$, чтобы $A = R\cos\varphi$ и $B=R\sin\varphi$ — то есть чтобы $(A,B)$ были координатами точки на окружности радиуса $R$. Тогда

— и это в точности формула синуса суммы, применённая в обратную сторону. Осталось понять, как находить $R$ и $\varphi$ по известным $A$ и $B$. Раз $A=R\cos\varphi$, $B=R\sin\varphi$, то

(снова основное тригонометрическое тождество), откуда $R=\sqrt{A^2+B^2}$. А угол $\varphi$ находится из $\tan\varphi = B/A$ с учётом знаков $A$ и $B$ для определения четверти.

Определение:

$$A\sin x + B\cos x = R\sin(x+\varphi), \quad \text{где } R=\sqrt{A^2+B^2},\ \cos\varphi=\frac AR,\ \sin\varphi=\frac BR$$

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): сверни $\sin20°\cos10°+\cos20°\sin10°$ в одно значение.

Решение:

Шаг 1. Узнаём формулу синуса суммы «наоборот»: $\sin(20°+10°)$.

Шаг 2. $20°+10°=30°$, а $\sin30°=\dfrac12$.

Ответ: $\dfrac12$.

Пример 2 (средний): представь $\sin x + \cos x$ в виде $R\sin(x+\varphi)$.

Решение:

Шаг 1. Здесь $A=1$, $B=1$. Находим амплитуду: $R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$.

Шаг 2. Находим фазу: $\cos\varphi = \dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2$, $\sin\varphi=\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2$ — это в точности $\varphi=\dfrac{\pi}4$ (оба положительны, значит первая четверть).

Шаг 3. Итого:

Проверим наш ответ при $x=0$: слева $\sin0+\cos0=0+1=1$; справа $\sqrt2\sin\dfrac{\pi}4=\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}2=1$ ✅

Ответ: $\sin x+\cos x = \sqrt2\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}4\right)$.

Пример 3 (сложный): докажи тождество $\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}3\right)+\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}3\right) = \sin x$.

Решение:

Шаг 1. Раскроем оба слагаемых по формулам синуса суммы и разности:

Шаг 2. Складываем — слагаемые с $\cos x\sin\frac{\pi}3$ взаимно уничтожаются:

Шаг 3. $\cos\dfrac{\pi}3 = \dfrac12$, значит $2\sin x\cdot\dfrac12 = \sin x$.

Ответ: тождество доказано; ключевой шаг — взаимное уничтожение членов с $\cos x$, которое возможно именно потому, что мы одновременно взяли и сумму, и разность одного и того же угла $\frac{\pi}3$.

Почему это важно

Свёртка $A\sin x+B\cos x = R\sin(x+\varphi)$ — это стандартный приём в обработке сигналов и в электротехнике: любая гармоника, заданная как сумма синусной и косинусной компонент (именно так её выдаёт дискретное преобразование Фурье), физически означает одну волну с определённой амплитудой $R$ и фазовым сдвигом $\varphi$. В контексте данных ровно этот же приём объясняет, почему циклические признаки (час суток, день недели) кодируют парой $(\sin,\cos)$: линейный слой нейросети способен сам «подобрать» коэффициенты $A$ и $B$, то есть научиться под капотом сдвигать фазу на любую нужную величину — именно потому, что произвольный сдвинутый по фазе синус раскладывается в линейную комбинацию базовых $\sin$ и $\cos$.

Формулы сложения — это буквально матрица поворота

Интуиция

Вернёмся к самому первому выводу этого урока — координатам точки на окружности. Если у тебя есть вектор $(x,y)$ и ты поворачиваешь его на угол $\theta$ против часовой стрелки, получается новый вектор $(x',y')$, и формулы для его координат — это не что иное, как формулы сложения, только записанные для конкретного случая, когда исходный вектор сам задан своим углом $\alpha$: $x=\cos\alpha$, $y=\sin\alpha$. После поворота на $\theta$ новый угол — это $\alpha+\theta$, и

В матричной форме это записывают компактно через матрицу поворота:

Определение:

$$R(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = R(\theta)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

Из этого прямо следует ключевое свойство: поворот на $\alpha$, а затем ещё на $\beta$, должен быть эквивалентен одному повороту на $\alpha+\beta$. Проверим это через матричное умножение — и увидим, что каждый элемент произведения матриц оказывается в точности формулой сложения:

Верхний левый элемент — это $\cos(\alpha+\beta)$, нижний левый — $\sin(\alpha+\beta)$, ровно по формулам, которые мы вывели выше. То есть

Композиция двух поворотов есть поворот на сумму углов — и это дословно формулы сложения, просто оформленные как таблица $2\times2$.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): проверь определение матрицы поворота, применив $R(45°)$ к вектору $(1,0)$.

Решение:

Шаг 1. По определению: $R(45°)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos45°\cdot1-\sin45°\cdot0\\ \sin45°\cdot1+\cos45°\cdot0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos45°\\ \sin45°\end{pmatrix}$.

Шаг 2. Подставляем табличные значения: $\left(\dfrac{\sqrt2}2, \dfrac{\sqrt2}2\right) \approx (0{,}707,\ 0{,}707)$.

Ответ: вектор $(1,0)$ после поворота на $45°$ переходит в $\left(\dfrac{\sqrt2}2, \dfrac{\sqrt2}2\right)$ — как и должно быть, точка съехала на биссектрису первой четверти.

Пример 2 (средний): вычисли произведение матриц $R(20°)R(25°)$ и сравни результат с $R(45°)$.

Решение:

Шаг 1. По только что доказанному свойству $R(20°)R(25°) = R(45°)$ — проверим это напрямую через элементы.

Шаг 2. Верхний левый элемент произведения: $\cos20°\cos25° - \sin20°\sin25°$. Это в точности $\cos(20°+25°) = \cos45° = \dfrac{\sqrt2}2 \approx 0{,}7071$ по формуле косинуса суммы — вычислять $\cos20°$, $\sin20°$, $\cos25°$, $\sin25°$ по отдельности не требуется, свойство гарантирует результат.

Шаг 3. Нижний левый элемент: $\sin20°\cos25°+\cos20°\sin25° = \sin(20°+25°)=\sin45°=\dfrac{\sqrt2}2$.

Ответ: $R(20°)R(25°) = R(45°) = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt2}2 & -\frac{\sqrt2}2\\ \frac{\sqrt2}2 & \frac{\sqrt2}2\end{pmatrix}$ — свойство подтверждается для любых конкретных углов, не только для «круглых».

Пример 3 (сложный): в RoPE вектор запроса на позиции $m$ и вектор ключа на позиции $n$ поворачивают на углы $m\theta$ и $n\theta$ соответственно (для фиксированной базовой частоты $\theta$), после чего считают их скалярное произведение. Покажи, что это произведение зависит только от разности позиций $m-n$, а не от $m$ и $n$ по отдельности, и вычисли его для $\theta=0{,}5$ рад, $m=3$, $n=1$, взяв исходный вектор $(1,0)$.

Решение:

Шаг 1. Повёрнутые векторы: $q_m = R(m\theta)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$, $k_n = R(n\theta)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$. Их скалярное произведение через геометрический смысл — это косинус угла между ними, а угол между повёрнутыми векторами равен разности углов поворота: $m\theta - n\theta = (m-n)\theta$. Значит

Выражение зависит только от $(m-n)$ — это и есть ключевое свойство RoPE: модель «видит» не абсолютные позиции токенов, а их взаимное расстояние.

Шаг 2. Проверим численно. $q_3 = R(3\cdot0{,}5)(1,0)^T = R(1{,}5)(1,0)^T = (\cos1{,}5,\ \sin1{,}5) \approx (0{,}0707,\ 0{,}9975)$.

Шаг 3. $k_1 = R(0{,}5)(1,0)^T = (\cos0{,}5,\ \sin0{,}5) \approx (0{,}8776,\ 0{,}4794)$.

Шаг 4. Скалярное произведение напрямую: $0{,}0707\cdot0{,}8776 + 0{,}9975\cdot0{,}4794 \approx 0{,}0620+0{,}4782 \approx 0{,}5403$.

Шаг 5. Сверим по формуле через разность: $(m-n)\theta = (3-1)\cdot0{,}5=1$, $\cos(1) \approx 0{,}5403$ ✅ Совпало, как и предсказывала формула сложения.

Ответ: $q_m\cdot k_n = \cos((m-n)\theta)$; для данных чисел это $\cos(1) \approx 0{,}5403$ — вычислено двумя независимыми способами.

Почему это важно

То, что композиция поворотов складывает углы, — не техническая деталь, а причина, по которой RoPE вообще работает как позиционное кодирование: модель обучается «видеть» относительное расстояние между токенами, а не их абсолютные номера, и эта относительность геометрически гарантирована формулами сложения. В компьютерной графике и робототехнике то же свойство $R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)$ позволяет складывать повороты объекта или камеры простым перемножением матриц вместо пересчёта углов вручную, а его трёхмерное обобщение — кватернионы Гамильтона — устроено ровно по тому же принципу.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Вычисли $\cos75°$, представив угол как $45°+30°$.

Задание 2: Вычисли $\sin15°$, представив угол как $45°-30°$.

Задание 3: Вычисли $\tan105°$, представив угол как $60°+45°$.

Задание 4: Дано $\sin\alpha=\dfrac35$, $\cos\alpha=\dfrac45$ (первая четверть) и $\sin\beta=\dfrac{12}{13}$, $\cos\beta=\dfrac5{13}$ (первая четверть). Найди $\cos(\alpha+\beta)$.

Задание 5: Упрости $\sin40°\cos20°+\cos40°\sin20°$.

Задание 6: Упрости $\cos50°\cos20°+\sin50°\sin20°$.

Задание 7: Дано $\tan\alpha=\dfrac13$, $\tan\beta=\dfrac12$. Найди $\tan(\alpha+\beta)$.

Задание 8: Упрости $\cos80°\cos35°+\sin80°\sin35°$.

Задание 9: Вычисли $\sin105°$, представив угол как $60°+45°$.

Задание 10: Вычисли $\tan15°$, представив угол как $45°-30°$.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Дано $\sin\alpha=\dfrac45$ ($\alpha$ в первой четверти), $\cos\beta=-\dfrac5{13}$ ($\beta$ во второй четверти). Найди $\sin(\alpha+\beta)$.

Задание 12: Докажи тождество $\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta) = \sin^2\alpha-\sin^2\beta$.

Задание 13: Дано $\tan\alpha=2$, $\tan\beta=3$. Найди $\tan(\alpha-\beta)$.

Задание 14: Сигнал задан как $x(t) = 3\sin t + 4\cos t$. Представь его в виде $R\sin(t+\varphi)$.

Задание 15: Единичный вектор $\vec a$ задан координатами $\cos\alpha=0{,}8$, $\sin\alpha=0{,}6$, единичный вектор $\vec b$ задан координатами $\cos\beta=-0{,}6$, $\sin\beta=0{,}8$. Найди угол между векторами.

Задание 16: В упрощённой модели RoPE вектор $(1,0)$ поворачивают на угол $0{,}5$ рад для позиции $m$ и на угол $0{,}2$ рад для позиции $n$. Вычисли скалярное произведение повёрнутых векторов напрямую по координатам и сверь с формулой $\cos(m\theta-n\theta)$.

Задание 17: Упрости выражение $\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}6\right)+\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}6\right)$.

Задание 18: Дано $\sin\alpha=-\dfrac45$, $\cos\alpha=-\dfrac35$ ($\alpha$ в третьей четверти), $\sin\beta=-\dfrac5{13}$, $\cos\beta=-\dfrac{12}{13}$ ($\beta$ в третьей четверти). Найди $\sin(\alpha+\beta)$.

Задание 19: Вычисли $\cos\dfrac{\pi}{12}$ (то есть $\cos15°$), представив угол как $\dfrac{\pi}4-\dfrac{\pi}6$.

Задание 20: Дано $\tan x=\dfrac13$. Найди $\tan\!\left(x+\dfrac{\pi}4\right)$.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Выведи формулу $\sin2x$ из формулы синуса суммы, применённой к $x+x$, и проверь её при $x=30°$.

Задание 22: Выведи формулу $\cos2x$ из формулы косинуса суммы, применённой к $x+x$, и проверь её при $x=30°$.

Задание 23: Докажи, что $\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = \tan\alpha+\tan\beta$ (при $\cos\alpha\neq0$, $\cos\beta\neq0$).

Задание 24: Вычисли произведение матриц $R(30°)R(60°)$ поэлементно и проверь, что оно совпадает с $R(90°)$. Примени результат к вектору $(1,0)$.

Задание 25: Дано $\sin\alpha=-\dfrac7{25}$ ($\alpha$ в третьей четверти), $\tan\beta=\dfrac{24}7$ ($\beta$ в первой четверти). Найди $\cos(\alpha-\beta)$.

Задание 26: Докажи тождество $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) = \cos^2\alpha-\sin^2\beta$.

Задание 27: Реши уравнение $\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}3\right)=\cos x$ на промежутке $[0;2\pi)$.

Задание 28: Признак «час суток со сдвигом» кодируют как $\sin\!\left(\dfrac{2\pi(t+\Delta)}T\right)$. При $T=24$, $\Delta=6$, $t=3$ вычисли значение напрямую и через разложение по формуле сложения на базовые $\sin\!\left(\dfrac{2\pi t}T\right)$ и $\cos\!\left(\dfrac{2\pi t}T\right)$.

Задание 29: Используя правило умножения комплексных чисел $(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)$, проверь формулы сложения для $\alpha=30°$, $\beta=60°$, вычислив произведение напрямую и сравнив с $\cos90°+i\sin90°$.

Задание 30: Докажи классическое тождество $\arctan\dfrac12+\arctan\dfrac13=\dfrac{\pi}4$, используя формулу тангенса суммы.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: считать, что $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta$

Неправильно: $\sin(30°+60°) = \sin30°+\sin60° = \dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2 \approx 1{,}366$.

Правильно: $\sin(30°+60°) = \sin90° = 1$, а по формуле — $\sin30°\cos60°+\cos30°\sin60° = \dfrac12\cdot\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}2\cdot\dfrac{\sqrt3}2 = \dfrac14+\dfrac34=1$.

💡 Почему важно: это самая частая ошибка во всей тригонометрии, и она обманчиво «логична» — синус выглядит как обычная функция, для которой хочется применить свойство линейности. Но $\sin$ и $\cos$ нелинейны, и единственный законный способ раскрыть скобки — формулы сложения.

❌ Ошибка 2: перепутать знак в формуле косинуса

Неправильно: $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ (знак как у синуса).

Правильно: у косинуса знаки всегда противоположны знаку в угле: $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$, а $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.

💡 Почему важно: формула синуса ведёт себя «интуитивно» (знак совпадает со знаком угла), а косинуса — «наоборот», и мозг норовит применить одно и то же правило к обеим. Держи в голове два слова: у синуса — «совпадают», у косинуса — «противоположны».

❌ Ошибка 3: применять формулу тангенса суммы, не проверив область определения

Неправильно: механически подставлять $\tan\alpha$ и $\tan\beta$ в формулу, не заметив, что $\tan\alpha\tan\beta=1$.

Правильно: сначала убедиться, что $\cos\alpha\neq0$, $\cos\beta\neq0$ и $\tan\alpha\tan\beta\neq1$ — иначе формула даёт деление на ноль, потому что сам угол $\alpha+\beta$ на самом деле не имеет тангенса.

💡 Почему важно: в отличие от формул синуса и косинуса, которые определены всегда, формула тангенса «наследует» разрывы функции $\tan$, и слепое применение формулы без проверки условий даёт бессмысленный результат или скрытое деление на ноль в коде.

❌ Ошибка 4: раскладывать «некрасивый» угол на нетабличные слагаемые

Неправильно: пытаться представить $75°$ как $50°+25°$ или как $100°-25°$ — оба слагаемых не табличные, значений $\sin50°$, $\cos25°$ и так далее мы точно не знаем.

Правильно: искать разложение строго через табличные углы $\{0°,30°,45°,60°,90°\}$: $75°=45°+30°$.

💡 Почему важно: формулы сложения дают точное значение только тогда, когда оба слагаемых угла — табличные. Иначе ты просто заменяешь одно неизвестное значение суммой двух других неизвестных, ничего не выиграв.

❌ Ошибка 5: забыть про знак при восстановлении синуса или косинуса из основного тождества

Неправильно: из $\sin\alpha=\dfrac45$ автоматически писать $\cos\alpha=\dfrac35$, не посмотрев, в какой четверти находится $\alpha$.

Правильно: основное тригонометрическое тождество даёт $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ — знак определяется четвертью, и его нужно выбирать осознанно (как в заданиях 11, 18, 25).

💡 Почему важно: пропущенный минус превращает верный ответ в неверный при абсолютно правильных формулах сложения — ошибка происходит на шаге раньше, но всё вычисление обесценивается.

❌ Ошибка 6: путать сложение матриц с их умножением при композиции поворотов

Неправильно: думать, что поворот на $\alpha$, а затем на $\beta$, задаётся матрицей $R(\alpha)+R(\beta)$.

Правильно: композиция поворотов — это умножение матриц, $R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)$, и только оно (в точности за счёт формул сложения) даёт корректный результат.

💡 Почему важно: сложение матриц поворота вообще не сохраняет свойство ортогональности и не соответствует никакому геометрическому повороту — это чисто алгебраическая, но геометрически бессмысленная операция.

Главное запомнить

✅ Фундаментальная формула — $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ — выводится из скалярного произведения двух единичных векторов на окружности; все остальные пять получаются из неё за несколько строк алгебры.

✅ Полный набор из шести формул:

✅ Мнемоника знаков: у косинуса знаки в формуле противоположны знаку в угле, у синуса — совпадают, у тангенса знаменатель ведёт себя как у косинуса (в обратную сторону от числителя).

✅ Разложение нестандартных углов: любой угол, представимый как сумма или разность табличных ($0°,30°,45°,60°,90°$), вычисляется точно — например, $75°=45°+30°$, $15°=45°-30°$.

✅ Гармоническое сложение: $A\sin x+B\cos x=R\sin(x+\varphi)$, где $R=\sqrt{A^2+B^2}$, $\cos\varphi=A/R$, $\sin\varphi=B/R$.

✅ Матрица поворота $R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ — это формулы сложения, записанные как таблица; отсюда $R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)$.

✅ RoPE и относительные позиции: скалярное произведение двух векторов, повёрнутых на углы $m\theta$ и $n\theta$, зависит только от $(m-n)\theta$ — прямое следствие формулы косинуса разности.

✅ Формулы двойного угла — частный случай формул сложения при $\alpha=\beta$: $\sin2x=2\sin x\cos x$, $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$ (подробно — в следующем уроке).

✅ Область определения тангенса суммы: формула не работает при $\tan\alpha\tan\beta=1$ — это ровно те случаи, когда сам угол $\alpha+\beta$ не имеет тангенса.

✅ Проверка себя: подставь простые значения ($\beta=0$ или $\beta=\alpha$) в любую выведенную формулу — результат должен совпасть с очевидным геометрическим фактом.

Связь с другими темами курса

Что было раньше: основное тригонометрическое тождество (урок 95) постоянно используется здесь, чтобы находить недостающий синус или косинус по известному значению и четверти. Формулы приведения (урок 96) — не просто сосед по программе, а прямой источник вывода: чётность косинуса и нечётность синуса дают формулы суммы из формулы разности, а тождество $\sin x=\cos(\pi/2-x)$ даёт формулы синуса.

Что дальше: формулы двойного угла (урок 98) — это формулы сложения при $\alpha=\beta$, мы уже увидели это в заданиях 21–22. Формулы половинного угла (урок 99) выводятся из формул двойного угла, то есть в конечном счёте — тоже отсюда. А урок 100, формулы суммы и разности (перехода от суммы к произведению и обратно), — это ровно те тождества, которые мы доказывали в примерах этого урока (сумма двух синусов, сумма двух косинусов), только собранные в отдельную полноценную тему. Дальше по курсу — тригонометрические уравнения (уроки 103–107), где формулы сложения то и дело всплывают при упрощении левой части перед решением.

Где это применяется в жизни, в ML и в данных:

🤖 В машинном обучении: RoPE (Rotary Position Embedding) в LLaMA, Qwen, Mistral и других современных LLM — относительное позиционное кодирование целиком держится на том, что скалярное произведение повёрнутых векторов зависит только от разности углов поворота; матрицы поворота в аугментации изображений и в 3D-зрении.

📊 В data science: циклическое кодирование признаков с фазовым сдвигом (час, день недели, сезон) раскладывается в линейную комбинацию базовых $\sin$ и $\cos$ — модель обучает коэффициенты сама; гармонический анализ временных рядов и спектральные признаки.

💻 В программировании и графике: композиция поворотов объектов, камер и спрайтов через умножение матриц; кватернионы (трёхмерное обобщение той же идеи) в игровых движках и симуляторах полёта.

🔬 В физике и инженерии: интерференция и суперпозиция волн одинаковой частоты, но разной фазы, сводится к гармоническому сложению $A\sin x+B\cos x$; фазовые сдвиги в переменном токе и в акустике.

🌍 В навигации и геодезии: пересчёт курса при повороте на дополнительный угол; суммирование угловых поправок в системах ориентации.

Интересные факты

💡 Формулы сложения старше слова «синус» на несколько веков. Птолемей вывел их эквивалент через теорему о вписанном четырёхугольнике ещё во II веке нашей эры — для составления таблицы хорд в «Альмагесте». Современная алгебраическая форма появилась намного позже, но геометрическая суть не изменилась ни на йоту.

💡 Персидский математик X века посчитал синусы точнее любого калькулятора своей эпохи. Абу-ль-Вафа аль-Бузджани, доказав формулу синуса суммы, построил тригонометрические таблицы с шагом в четверть градуса — вручную, без десятичных дробей в привычном нам виде.

💡 Формулы сложения прячутся в умножении комплексных чисел. $(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta) = \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)$ — это не совпадение, а альтернативный, чисто алгебраический способ доказать всё, что мы вывели геометрически (см. задание 29). Именно на этом факте столетием позже вырастет формула Эйлера, но сама алгебра работает и без неё.

💡 RoPE — статья 2021 года, но идея внутри неё на две тысячи лет старше. Механизм Rotary Position Embedding, который сегодня стоит в большинстве открытых LLM, использует ровно то свойство, которое доказал (в других терминах) Птолемей: угол между двумя повёрнутыми векторами зависит только от разности углов поворота. Древняя геометрия хорд оказалась работающим инженерным решением для языковых моделей XXI века.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Два слова вместо шести формул

Не пытайся зазубрить все шесть формул как независимые факты. Запомни одну — $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ — и два слова: у косинуса знаки противоположны, у синуса совпадают. Дальше любую из шести формул ты за десять секунд восстановишь сам.

2. Разложение угла — ищи через $180$ и стандартную пятёрку

Держи в голове базовый набор $\{0°,30°,45°,60°,90°\}$ и их простые комбинации с $180°$. Для любого «странного» угла в задаче — $105°$, $165°$, $195°$ — в первую очередь проверяй, не раскладывается ли он как сумма или разность двух чисел из этого набора.

3. Проверяй формулу тривиальными значениями перед экзаменом

Забыл, где плюс, а где минус? Подставь $\beta=0$: должно получиться исходное выражение без изменений ($\cos(\alpha-0)=\cos\alpha$). Если формула, которую ты вспомнил, не проходит эту проверку — значит, ты перепутал знак.

4. Тангенс суммы — раздели «в уме» на $\cos\alpha\cos\beta$

Если забыл формулу тангенса, не заучивай отдельно — просто раскрой числитель и знаменатель через уже известные формулы синуса и косинуса суммы и мысленно раздели на $\cos\alpha\cos\beta$. Метод восстановления надёжнее сырой памяти.

5. Гармоническое сложение — амплитуда всегда через теорему Пифагора

Для $A\sin x+B\cos x$ амплитуда $R=\sqrt{A^2+B^2}$ не зависит от того, в какую сторону сдвинута фаза — это просто длина вектора $(A,B)$. А направление этого вектора и даёт угол $\varphi$: не путай, где косинус фазы, а где синус — $A$ соответствует $\cos\varphi$, $B$ — $\sin\varphi$, потому что множитель при $\sin x$ несёт основную, «несмещённую» долю.

6. В коде — проверяй композицию поворотов на известном векторе

Если сомневаешься, правильно ли реализована композиция двух поворотов в коде, не проверяй det(R) == 1 (это выполняется всегда). Прогони через получившуюся матрицу простой вектор, например $(1,0)$, и сравни с ожидаемым результатом поворота на сумму углов — один ассерт закрывает целый класс ошибок со знаками и порядком умножения матриц.

Формулы сложения — это точка, где тригонометрия перестаёт быть набором отдельных фактов про треугольники и превращается в единую систему: любая другая формула курса, от двойного угла до перехода суммы в произведение, в конечном счёте сводится к этим шести строчкам. И если ты когда-нибудь напишешь RoPE с нуля, реализуешь поворот спрайта в игре или выведешь гармонику из спектра сигнала — знай, что под капотом там работают именно они, ничуть не изменившиеся со времён таблиц хорд Птолемея.

А теперь попробуй сам: возьми любой угол между $0°$ и $360°$, который выглядит «некрасиво», и найди для него разложение через табличные значения. Дальше нас ждут формулы двойного и половинного угла — и, как ты уже увидел в заданиях 21–22, они настолько прямо вытекают из сегодняшнего материала, что следующий урок покажется почти бесплатным. 🚀