Показательные неравенства ⚖️

Ты обучаешь нейросеть. Learning rate стартует с $0{,}1$ и после каждой эпохи умножается на $0{,}5$ — классический step decay. Возникает совершенно практический вопрос: начиная с какой эпохи шаг обучения станет меньше $0{,}00625$, то есть настолько малым, что модель перестанет заметно двигаться и обучение можно останавливать? Это не уравнение — тебе не нужно точное равенство. Тебе нужно неравенство: $0{,}1 \cdot 0{,}5^k < 0{,}00625$. И решать его придётся не подбором, а честно.

Или другая ситуация. В softmax ты крутишь температуру $T$. Чем меньше $T$, тем «увереннее» распределение: разрыв между лидером и остальными классами раздувается. Тебе нужно, чтобы самый вероятный класс был как минимум в 8 раз вероятнее второго. При каких $T$ это выполняется? Снова неравенство, и снова неизвестная сидит в показателе степени.

Показательные неравенства — это ровно тот же зверь, что показательные уравнения из прошлого урока, но с одним дополнительным нюансом, который ломает больше решений, чем все остальные ошибки темы вместе взятые. Нюанс звучит так: когда ты переходишь от степеней к показателям, знак неравенства иногда переворачивается. Не «иногда по настроению», а по строгому правилу — в зависимости от того, больше основание единицы или меньше. И этот урок построен вокруг того, чтобы ты это правило не просто вызубрил, а понял до костей — тогда его невозможно будет забыть или перепутать.

Разберём все рабочие методы: приведение к одному основанию, замену $t = a^x$ (с обязательным условием $t > 0$, которое отрезает часть решений квадратного неравенства — и это отдельная ловушка), однородные неравенства, метод интервалов после замены, системы. И отдельно — неравенства, где основание задано буквой: там приходится честно разбирать два случая, и это любимое место экзаменаторов и собеседующих.

🎯 Ты узнаешь:

• Почему при $a > 1$ знак неравенства сохраняется, а при $0 < a < 1$ — меняется на противоположный, и как это увидеть, а не вызубрить
• Как приводить обе части к одному основанию и мгновенно переходить к неравенству на показатели
• Как работает замена $t = a^x$ и почему условие $t > 0$ обязано быть выписано явно
• Как решать однородные показательные неравенства делением на старшую степень
• Как разбирать неравенство с параметром-основанием на два случая — и не потерять ни один
• Как считать пороги затухания learning rate, допустимую температуру softmax и время сходимости без единого логарифма

История: откуда это взялось?

Сама идея сравнивать степени древняя, но неравенства долго были падчерицей математики. Знаки $<$ и $>$ ввёл английский математик Томас Хэрриот в посмертно изданной книге «Artis Analyticae Praxis» (1631 год) — до этого сравнения писали словами. Знаки $\leq$ и $\geq$ появились ещё позже, их популяризировал французский математик Пьер Бугер в 1734 году. То есть привычная тебе запись $2^x > 8$ моложе, чем сама задача, которую она описывает.

А задача была очень практической. В 1798 году английский священник и экономист Томас Мальтус в «Опыте о законе народонаселения» сформулировал знаменитый тезис: население растёт в геометрической прогрессии, а производство еды — в арифметической. По сути Мальтус поставил задачу «найди момент, когда $a \cdot q^t$ обгонит $b + ct$» — показательное неравенство в чистом виде, только решать его строго тогда ещё не умели, и он рассуждал таблицами. Через сорок лет бельгиец Пьер Франсуа Ферхюльст (1838) поправил модель до логистической, но исходное сравнение «экспонента против линии» осталось базовым сюжетом всей прикладной математики.

Строгий инструмент для таких сравнений дала теория монотонных функций. Ключевую роль сыграли работы Огюстена Коши 1820-х годов, где свойства функций впервые формулировались через строгие определения, а не через «график так выглядит». Именно оттуда растёт та формулировка, которой ты будешь пользоваться весь урок: показательная функция $y = a^x$ строго монотонна, а строго монотонная функция сохраняет или обращает отношение порядка — и никогда не путается.

Мостик в сегодня короткий. Когда исследователь машинного обучения оценивает, за сколько шагов градиентный спуск с фактором сжатия $q$ уменьшит ошибку в 100 раз, он решает неравенство $q^k \leq 0{,}01$. Когда инженер прикидывает, при каком размере батча память перестанет влезать в видеокарту, он решает неравенство с экспонентой. Мальтус, Коши и твой ноутбук с обучающейся моделью связаны одной и той же строчкой алгебры.

Главное правило: монотонность решает всё

Интуиция

Представь два эскалатора. Первый едет вверх: чем позже ты на него встал, тем выше окажешься. Второй едет вниз: чем позже встал, тем ниже окажешься. Оба эскалатора работают идеально предсказуемо — просто в противоположные стороны.

Показательная функция $y = a^x$ — это ровно такой эскалатор. При $a > 1$ она возрастает: больше показатель — больше значение. При $0 < a < 1$ она убывает: больше показатель — меньше значение. Ты это уже видел в уроке 113, когда разбирал графики.

Теперь смотри, что из этого следует. Пусть тебе дано $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ — левая степень больше правой. Вопрос: что можно сказать про сами показатели?

Если эскалатор едет вверх ($a > 1$), то «выше оказался» означает «позже встал». Значит $f(x) > g(x)$ — знак сохраняется. Если эскалатор едет вниз ($0 < a < 1$), то «выше оказался» означает «раньше встал». Значит $f(x) < g(x)$ — знак переворачивается.

Давай проверим на числах, потому что доверять надо не аналогии, а арифметике.

Возьмём $a = 2$ (возрастающая функция):

Показатели растут слева направо — значения тоже растут. Порядок сохранён: $2 < 3$ и одновременно $4 < 8$.

Теперь $a = \frac{1}{2}$ (убывающая функция):

Показатели растут слева направо — а значения падают. Порядок обращён: $2 < 3$, но $0{,}25 > 0{,}125$.

Вот и вся тайна. Никакой мистики: во второй таблице функция едет вниз, поэтому сравнение показателей и сравнение значений — это противоположные утверждения.

Картинка-рассуждение

Нарисуй мысленно (или на полях) два графика в одних осях:

   a > 1                          0 < a < 1
   y                              y
   |        /                     |  \
   |       /                      |   \
   | ─────/──────  y = a^g        |    \
   |     /|                       | ─────\──────  y = a^g
   | ───/─┼──────  y = a^f        |       \
   |   /  │                       | ───────\────  y = a^f
   |  /   │                       |         \
   +──┴───┴────── x               +──┴───────┴───── x
      g   f                          f       g
   a^f > a^g  ⟹  f > g            a^f > a^g  ⟹  f < g
   ЗНАК СОХРАНЯЕТСЯ               ЗНАК МЕНЯЕТСЯ

Читается так: горизонтальные линии — это два уровня значений. Ты идёшь от значения к аргументу «по кривой вниз». На левой картинке кривая идёт вверх, поэтому больший уровень отвечает большему аргументу. На правой кривая идёт вниз — и больший уровень отвечает меньшему аргументу.

Определение: Показательным неравенством называется неравенство, в котором переменная содержится в показателе степени, а основание степени — положительное число, отличное от единицы.

Основная теорема (правило перехода): Пусть $a > 0$, $a \neq 1$. Тогда для любых выражений $f(x)$ и $g(x)$:

• при $a > 1$: неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$ — знак сохраняется;
• при $0 < a < 1$: неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$ — знак меняется на противоположный.

То же самое верно для знаков $<$, $\leq$, $\geq$ (нестрогий знак остаётся нестрогим, просто разворачивается).

Слово «равносильно» тут важно: переход работает в обе стороны, ничего не теряется и не приобретается. Это принципиальное отличие от, скажем, возведения обеих частей в квадрат, где посторонние корни лезут пачками. Показательная функция строго монотонна, поэтому переход к показателям — честная равносильность, а не «следствие».

Почему это работает: короткое доказательство

Не будем принимать правило на веру — оно доказывается в две строчки через определение возрастания.

Пусть $a > 1$, тогда функция $y = a^t$ возрастает (это свойство из урока 113). Возрастание означает: из $t_1 < t_2$ следует $a^{t_1} < a^{t_2}$. Это одна половина. Вторая половина — обратное утверждение: если $a^{t_1} < a^{t_2}$, то обязательно $t_1 < t_2$. Почему? Допустим противное: пусть $t_1 \geq t_2$. Тогда по возрастанию $a^{t_1} \geq a^{t_2}$, что противоречит исходному. Значит, предположение неверно и $t_1 < t_2$. Обе стороны доказаны — переход равносилен.

Для $0 < a < 1$ рассуждение зеркальное: функция убывает, то есть из $t_1 < t_2$ следует $a^{t_1} > a^{t_2}$, и обратно. Отсюда переворот знака.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): реши $3^x > 27$

Решение:

Шаг 1. Приведём правую часть к основанию 3: $27 = 3^3$. Неравенство принимает вид $3^x > 3^3$.

Шаг 2. Основание $a = 3 > 1$ — функция возрастает, знак сохраняем:

Проверим наш ответ. Возьмём $x = 4$ (входит в ответ): $3^4 = 81 > 27$ ✅. Возьмём $x = 2$ (не входит): $3^2 = 9$, и $9 > 27$ — неверно ✅.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$

Пример 2 (средний): реши $\left(\frac{1}{5}\right)^{x} \geq \frac{1}{125}$

Решение:

Шаг 1. Приведём правую часть к основанию $\frac{1}{5}$: $\frac{1}{125} = \left(\frac{1}{5}\right)^3$. Получаем

Шаг 2. Основание $a = \frac{1}{5}$, и $0 < a < 1$ — функция убывает, знак переворачиваем:

Проверим наш ответ. Берём $x = 0$: $\left(\frac{1}{5}\right)^0 = 1$, и $1 \geq 0{,}008$ ✅. Берём $x = 4$: $\left(\frac{1}{5}\right)^4 = 0{,}0016$, и $0{,}0016 \geq 0{,}008$ — неверно, значит $x = 4$ действительно не в ответе ✅.

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$

📌 Обрати внимание на психологическую ловушку: в исходном неравенстве стоит $\geq$, а в ответе — «икс меньше или равен». Мозг сопротивляется. Именно поэтому проверка подстановкой в этой теме — не роскошь, а часть решения.

Пример 3 (сложный): реши $0{,}3^{\,x^2 - 5x} > 0{,}3^{\,-6}$

Решение:

Шаг 1. Основания уже одинаковые: $a = 0{,}3$, и $0 < 0{,}3 < 1$. Функция убывает — переходим к показателям со сменой знака:

Шаг 2. Соберём всё слева:

Шаг 3. Разложим на множители. Корни: $x = 2$ и $x = 3$ (сумма $5$, произведение $6$). Значит

Парабола с ветвями вверх отрицательна между корнями:

Проверим наш ответ. Возьмём $x = 2{,}5$: показатель равен $6{,}25 - 12{,}5 = -6{,}25$. Сравниваем $0{,}3^{-6{,}25}$ и $0{,}3^{-6}$. Показатель $-6{,}25$ меньше, а функция убывающая — значит значение больше ✅.

Ответ: $x \in (2; 3)$

Почему это важно. Правило перехода — единственное место темы, где ошибка не даёт «немного неточный» ответ. Она даёт ровно противоположный ответ: вместо луча вправо получается луч влево, вместо интервала — его дополнение. В коде это ровно та же категория багов, что перепутанный знак в условии if lr < threshold против if lr > threshold: программа не падает, она просто делает не то. Поэтому первый вопрос, который ты задаёшь себе в любом показательном неравенстве, ещё до всякой алгебры: какое у меня основание — больше или меньше единицы?

Метод 1: приведение к одному основанию

Интуиция

Сравнивать можно только однородное. Нельзя сказать «что больше: 3 килограмма или 5 метров» — сначала надо привести к общей единице измерения. С показательными неравенствами то же самое: пока слева основание $8$, а справа $4$, сравнивать показатели бессмысленно. Приведи обе части к одной базе — и неравенство само развалится на школьное линейное или квадратное.

Рабочий алгоритм:

1. Выбери общее основание — обычно это наименьшее число, через степени которого выражаются все остальные (для $4, 8, 16, 32$ это $2$; для $9, 27, 81$ это $3$).
2. Перепиши обе части как степени этого основания, пользуясь свойствами: $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\frac{1}{a^m} = a^{-m}$, $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.
3. Определи, больше основание единицы или меньше.
4. Перейди к неравенству на показатели — сохранив или перевернув знак.
5. Реши получившееся обычное неравенство и проверь одну точку подстановкой.

Отдельно про число $1$: единицу всегда можно записать как $a^0$ при любом основании. Поэтому неравенство вида $a^{f(x)} < 1$ — это замаскированное $a^{f(x)} < a^0$, и дальше по правилу.

Примеры с разбором

Пример 4 (простой): реши $2^{3x-1} \leq 16$

Решение:

Шаг 1. $16 = 2^4$, значит $2^{3x-1} \leq 2^4$.

Шаг 2. Основание $2 > 1$ — знак сохраняем:

Шаг 3. $3x \leq 5$, откуда $x \leq \dfrac{5}{3}$.

Проверим наш ответ. При $x = \frac{5}{3}$: показатель $3 \cdot \frac{5}{3} - 1 = 4$, и $2^4 = 16 \leq 16$ ✅ (нестрогое неравенство — граница входит).

Ответ: $x \in \left(-\infty; \dfrac{5}{3}\right]$

Пример 5 (средний): реши $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x-1} \leq \dfrac{9}{4}$

Решение:

Шаг 1. Заметим, что $\frac{9}{4}$ — это перевёрнутая $\frac{4}{9}$, а $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$. Значит

Неравенство превращается в

Шаг 2. Основание $\frac{2}{3}$, и $0 < \frac{2}{3} < 1$ — функция убывает, знак переворачиваем:

Шаг 3. $x \geq -1$.

Проверим наш ответ. При $x = 0$: слева $\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2} = 1{,}5$, справа $2{,}25$. Верно ли $1{,}5 \leq 2{,}25$? Да ✅. При $x = -3$: слева $\left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16} \approx 5{,}06$, и $5{,}06 \leq 2{,}25$ — неверно, точка справедливо не вошла ✅.

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$

Пример 6 (средний): реши $8^{x+1} < 4^{2x-3}$

Решение:

Шаг 1. Общее основание — двойка: $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.

Шаг 2. По правилу $(a^m)^n = a^{mn}$:

Шаг 3. Основание $2 > 1$ — знак сохраняем:

Шаг 4. $3 + 6 < 4x - 3x$, то есть $9 < x$.

Проверим наш ответ. При $x = 10$: слева $8^{11}$, справа $4^{17}$. Переведём в двойки: $2^{33}$ и $2^{34}$ — действительно $2^{33} < 2^{34}$ ✅.

Ответ: $x \in (9; +\infty)$

Пример 7 (сложный): реши $\left(\sqrt[3]{7}\right)^{\,x^2} \geq 7^{\,x + \frac{2}{3}} \cdot \sqrt{7}$

Решение:

Шаг 1. Переведём всё в степени семёрки. Слева: $\sqrt[3]{7} = 7^{1/3}$, поэтому левая часть равна $7^{x^2/3}$. Справа: $\sqrt{7} = 7^{1/2}$, поэтому правая часть равна $7^{\,x + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}}$.

Шаг 2. Сложим числа в правом показателе: $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$. Неравенство:

Шаг 3. Основание $7 > 1$ — знак сохраняем:

Шаг 4. Умножим обе части на $6$ (положительное число — знак не меняется):

Шаг 5. Дискриминант: $D = 36 + 56 = 92$, $\sqrt{92} = 2\sqrt{23}$. Корни:

Парабола с ветвями вверх неотрицательна вне корней.

Проверим наш ответ. $\sqrt{23} \approx 4{,}80$, корни примерно $-0{,}90$ и $3{,}90$. Возьмём $x = 0$ (между корнями, в ответ не входит): слева $7^0 = 1$, справа $7^{7/6} > 1$ — неравенство $1 \geq 7^{7/6}$ ложно ✅. Возьмём $x = 5$: слева $7^{25/3} = 7^{8{,}33}$, справа $7^{6{,}17}$ — верно ✅.

Ответ: $x \in \left(-\infty; \dfrac{3 - \sqrt{23}}{2}\right] \cup \left[\dfrac{3 + \sqrt{23}}{2}; +\infty\right)$

Почему это важно. Приведение к одному основанию — это тот же приём нормализации, что и в работе с данными: прежде чем сравнивать признаки, ты приводишь их к общей шкале. Пока одна фича в рублях, а другая в штуках, коэффициенты модели несопоставимы; пока одна степень по основанию 8, а другая по основанию 4, показатели несопоставимы. Общая база — обязательный первый шаг и там, и там.

Метод 2: замена $t = a^x$ и почему $t > 0$ обязательно

Интуиция

Иногда неравенство выглядит страшно: $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 < 0$. Но присмотрись: $4^x = \left(2^2\right)^x = \left(2^x\right)^2$. То есть здесь ровно одна «сущность» — $2^x$, просто она встречается в первой и второй степени. Обозначь её буквой $t$ — и перед тобой обычное квадратное неравенство $t^2 - 5t + 4 < 0$, которое ты решаешь с закрытыми глазами.

Замена — это как выделить повторяющийся подвыражение в переменную в коде: p = model(x), а дальше работаешь с p, а не переписываешь длинную формулу трижды.

Но есть критическая деталь, из-за которой половина решений теряет баллы.

Определение (ключевое ограничение замены): При замене $t = a^x$ (где $a > 0$, $a \neq 1$) новая переменная пробегает только положительные значения: $t > 0$. Показательная функция никогда не принимает ноль и отрицательные значения, поэтому любое решение квадратного неравенства с $t \leq 0$ подлежит отбрасыванию.

Почему это важно на практике? Потому что квадратное неравенство спокойно выдаёт тебе ответ вроде $-1 < t < 4$. Часть $-1 < t \leq 0$ — фантомная, ей не отвечает ни один $x$. Если её не отсечь, ты попытаешься решать $2^x > -1$ и либо запутаешься, либо припишешь лишние ограничения. Правильно: пересечь ответ с условием $t > 0$ и только потом возвращаться к $x$.

Алгоритм:

1. Убедись, что всё выражается через одну степень $a^x$ (используй $a^{2x} = (a^x)^2$, $a^{x+1} = a \cdot a^x$, $a^{x-1} = \frac{a^x}{a}$).
2. Введи $t = a^x$ и сразу выпиши $t > 0$.
3. Реши получившееся неравенство относительно $t$.
4. Пересеки решение с $t > 0$.
5. Вернись к $x$: каждое условие вида $t < c$ или $t > c$ превращается в показательное неравенство — и тут снова смотри на основание, знак может перевернуться!

Шаг 5 — второе место, где теряют знак. Замена не отменяет главное правило урока, она просто откладывает его на один ход.

Примеры с разбором

Пример 8 (простой): реши $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 < 0$

Решение:

Шаг 1. Перепишем $4^x = \left(2^x\right)^2$. Пусть $t = 2^x$, причём $t > 0$:

Шаг 2. Корни: $t = 1$ и $t = 4$ (сумма $5$, произведение $4$). Парабола вверх, значит между корнями:

Шаг 3. Пересечение с $t > 0$ ничего не меняет: весь интервал $(1; 4)$ и так положителен.

Шаг 4. Возвращаемся: $1 < 2^x < 4$, то есть $2^0 < 2^x < 2^2$. Основание $2 > 1$, знаки сохраняем:

Проверим наш ответ. $x = 1$: $4^1 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0$ ✅. $x = 3$: $64 - 40 + 4 = 28$, не меньше нуля ✅ (точка вне ответа).

Ответ: $x \in (0; 2)$

Пример 9 (средний, ловушка $t > 0$ в действии): реши $9^x - 2 \cdot 3^x - 3 \geq 0$

Решение:

Шаг 1. $9^x = \left(3^x\right)^2$. Замена $t = 3^x$, $t > 0$:

Шаг 2. Корни: $t = 3$ и $t = -1$ (сумма $2$, произведение $-3$). Парабола вверх неотрицательна вне корней:

Шаг 3. А вот теперь работает ограничение. Условие $t \leq -1$ несовместимо с $t > 0$ — выбрасываем весь этот кусок. Остаётся только

Шаг 4. Возврат: $3^x \geq 3^1$, основание $3 > 1$, знак сохраняем: $x \geq 1$.

Проверим наш ответ. $x = 1$: $9 - 2\cdot 3 - 3 = 0 \geq 0$ ✅. $x = 0$: $1 - 2 - 3 = -4$, не подходит ✅.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$

📌 Если бы ты забыл про $t > 0$ и попытался «решать» $3^x \leq -1$, то в лучшем случае получил бы пустое множество (и ответ случайно сошёлся бы), а в худшем — приписал бы к ответу лишний луч. Привычка выписывать $t > 0$ первой строкой страхует от обоих исходов.

Пример 10 (средний): реши $2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 \leq 0$

Решение:

Шаг 1. Аккуратно распишем первое слагаемое: $2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot \left(2^x\right)^2$.

Шаг 2. Замена $t = 2^x$, $t > 0$:

Шаг 3. Дискриминант: $D = 81 - 32 = 49$, $\sqrt{D} = 7$. Корни:

Парабола вверх, неравенство $\leq 0$ — между корнями: $\frac{1}{2} \leq t \leq 4$. Условие $t > 0$ выполнено на всём отрезке.

Шаг 4. Возврат: $2^{-1} \leq 2^x \leq 2^2$, основание больше единицы:

Проверим наш ответ. $x = 0$: $2^1 - 9 \cdot 1 + 4 = 2 - 9 + 4 = -3 \leq 0$ ✅. $x = 3$: $2^7 - 9 \cdot 8 + 4 = 128 - 72 + 4 = 60 > 0$ ✅ (вне ответа).

Ответ: $x \in [-1; 2]$

Пример 11 (сложный: замена + переворот знака): реши $\left(\dfrac{1}{9}\right)^{x} - 10 \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} + 9 < 0$

Решение:

Шаг 1. Заметим: $\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$, поэтому $\left(\frac{1}{9}\right)^x = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^x\right)^2$.

Шаг 2. Замена $t = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $t > 0$:

Шаг 3. Корни: $t = 1$ и $t = 9$. Между корнями: $1 < t < 9$. Условие $t>0$ выполнено.

Шаг 4. Возврат — и здесь основание $\frac{1}{3}$ меньше единицы, знаки переворачиваются. Разберём двойное неравенство по частям.

Левая часть: $\left(\frac{1}{3}\right)^x > 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^0$, значит $x < 0$.

Правая часть: $\left(\frac{1}{3}\right)^x < 9 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}$, значит $x > -2$.

Шаг 5. Пересекаем: $-2 < x < 0$.

Проверим наш ответ. $x = -1$: $\left(\frac{1}{9}\right)^{-1} = 9$, $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$. Подставляем: $9 - 10 \cdot 3 + 9 = -12 < 0$ ✅. $x = -3$: $\left(\frac{1}{9}\right)^{-3} = 729$, $\left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 27$, получаем $729 - 270 + 9 = 468 > 0$ ✅ (вне ответа).

Ответ: $x \in (-2; 0)$

Почему это важно. Условие $t > 0$ — это ровно та же дисциплина, что валидация диапазона в коде. Вероятность обязана лежать в $[0; 1]$, дисперсия — быть неотрицательной, learning rate — положительным. Если модель выдала «вероятность $-0{,}3$», ты не пишешь костыль вокруг этого числа — ты понимаешь, что кусок вычислений лишний. Точно так же корень $t = -1$ в показательном неравенстве не «трудный случай», а несуществующий: его надо не решать, а вычеркнуть.

Метод 3: однородные неравенства

Интуиция

Иногда основания разные, и привести их к одному невозможно: например, $9^x$, $6^x$ и $4^x$ в одном неравенстве. Но приглядись к тройке $9, 6, 4$ — это $3^2$, $3 \cdot 2$, $2^2$. Все три числа собраны только из двоек и троек, а показатель у всех один и тот же — $x$. Такая конструкция называется однородной: каждое слагаемое имеет одинаковую «суммарную степень».

Приём тут красивый. Раздели всё неравенство на старшую степень — скажем, на $4^x$. Это законно без всяких оговорок, потому что $4^x > 0$ при любом $x$: деление на положительное число знак неравенства не меняет. После деления все слагаемые превращаются в степени одного отношения $\left(\frac{3}{2}\right)^x$, и дальше работает обычная замена.

Определение: Показательное неравенство называется однородным, если после приведения оно имеет вид $A \cdot a^{2x} + B \cdot (ab)^{x} + C \cdot b^{2x} \vee 0$, то есть каждое слагаемое — произведение степеней двух базовых чисел с одинаковым суммарным показателем.

Опознавательный признак: три слагаемых с основаниями $p^2$, $pq$, $q^2$ (например $25, 10, 4$; или $9, 6, 4$; или $16, 36, 81$ — тут $p = 4$, $q = 9$, а $36 = 4 \cdot 9$).

Алгоритм:

1. Проверь однородность: убедись, что среднее основание — произведение корней крайних.
2. Раздели обе части на любую из крайних степеней (обычно на ту, что даёт более удобное отношение). Деление законно: степень строго положительна.
3. Замени $t = \left(\frac{p}{q}\right)^x$, выпиши $t > 0$.
4. Реши квадратное неравенство, пересеки с $t > 0$.
5. Вернись к $x$, следя за тем, больше или меньше единицы получившееся основание-дробь.

Шаг 5 особенно коварен: если отношение — правильная дробь вроде $\frac{2}{3}$, то основание меньше единицы, и знак на обратном ходе переворачивается.

Примеры с разбором

Пример 12 (средний): реши $2 \cdot 9^{x} - 5 \cdot 6^{x} + 3 \cdot 4^{x} < 0$

Решение:

Шаг 1. Проверим однородность: $9 = 3^2$, $4 = 2^2$, $6 = 3 \cdot 2$ — да, однородное.

Шаг 2. Разделим обе части на $4^x > 0$ (знак не меняется):

Шаг 3. Заметим, что $\left(\frac{9}{4}\right)^x = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^x\right)^2$. Замена $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$, $t > 0$:

Шаг 4. Дискриминант $D = 25 - 24 = 1$, корни $t = \frac{5 \pm 1}{4}$, то есть $t_1 = 1$, $t_2 = \frac{3}{2}$. Между корнями:

Шаг 5. Возврат. Основание $\frac{3}{2} > 1$ — знаки сохраняем:

Проверим наш ответ. При $x = 0{,}5$: $2 \cdot 3 - 5 \cdot \sqrt{6} + 3 \cdot 2 = 6 - 12{,}25 + 6 = -0{,}25 < 0$ ✅. При $x = 2$: $2 \cdot 81 - 5 \cdot 36 + 3 \cdot 16 = 162 - 180 + 48 = 30 > 0$ ✅ (вне ответа).

Ответ: $x \in (0; 1)$

Пример 13 (средний, с отсечением по $t > 0$): реши $4^{x} + 6^{x} \geq 2 \cdot 9^{x}$

Решение:

Шаг 1. Основания $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $6 = 2\cdot 3$ — однородное. Перенесём всё влево и разделим на $9^x > 0$:

(здесь $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$ и $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$).

Шаг 2. Замена $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$, $t > 0$:

Шаг 3. Решение квадратного неравенства: $t \leq -2$ или $t \geq 1$. Первый кусок противоречит $t > 0$ — вычёркиваем. Остаётся $t \geq 1$.

Шаг 4. Возврат. Основание $\frac{2}{3} < 1$ — знак переворачивается:

Проверим наш ответ. $x = 0$: $1 + 1 = 2 \geq 2$ ✅ (граница входит, знак нестрогий). $x = -1$: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = 0{,}4167$, справа $2 \cdot \frac{1}{9} = 0{,}222$ — верно ✅. $x = 1$: $4 + 6 = 10$, справа $18$ — неверно ✅.

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$

Пример 14 (сложный): реши $3 \cdot 16^{x} + 2 \cdot 81^{x} < 5 \cdot 36^{x}$

Решение:

Шаг 1. Разложим основания: $16 = 4^2$, $81 = 9^2$, $36 = 4 \cdot 9$. Однородное с базовыми числами $4$ и $9$.

Шаг 2. Разделим обе части на $81^x > 0$:

Шаг 3. Упростим дроби: $\frac{16}{81} = \left(\frac{4}{9}\right)^2$ и $\frac{36}{81} = \frac{4}{9}$. Замена $u = \left(\frac{4}{9}\right)^x$, $u > 0$:

Шаг 4. Дискриминант $D = 25 - 24 = 1$, корни $u = \frac{5 \pm 1}{6}$: $u_1 = \frac{2}{3}$, $u_2 = 1$. Между корнями:

Шаг 5. Ключевой момент возврата: $\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \left(\frac{4}{9}\right)^{1/2}$, а $1 = \left(\frac{4}{9}\right)^{0}$. Получаем

Основание $\frac{4}{9} < 1$ — знаки переворачиваем:

Проверим наш ответ. $x = \frac{1}{4}$: $16^{0{,}25} = 2$, $81^{0{,}25} = 3$, $36^{0{,}25} = \sqrt{6} \approx 2{,}449$. Слева $3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12$, справа $5 \cdot 2{,}449 = 12{,}25$ — действительно $12 < 12{,}25$ ✅. $x = 1$: слева $48 + 162 = 210$, справа $180$ — неверно ✅ (вне ответа).

Ответ: $x \in \left(0; \dfrac{1}{2}\right)$

Почему это важно. Однородность — это про то, что в выражении на самом деле одна степень свободы, а не две. Три разных основания оказались функцией одного отношения $\left(\frac{p}{q}\right)^x$. Ровно тот же ход ты делаешь при работе с признаками: две скоррелированные фичи «рост» и «вес» часто заменяют одной — индексом массы тела, и модель становится проще, не теряя информации. Найти скрытую единственную переменную — универсальный приём и в алгебре, и в анализе данных.

Метод 4: метод интервалов после замены

Интуиция

Не всякое показательное неравенство после замены становится квадратным. Бывает кубическое, бывает дробно-рациональное. Тогда после замены $t = a^x$ ты просто применяешь обычный метод интервалов — но на луче $t > 0$, а не на всей прямой. Отрицательная часть числовой оси в этой задаче не существует, и рисовать там знаки бессмысленно.

Очень полезная привычка: сразу отмечать на оси $t$ жирную точку $0$ и заштриховывать всё левее — это визуально напоминает, что оттуда ответы брать нельзя.

Второй полезный факт: множители вида $a^x + c$ с положительным $c$ всегда положительны и на знак произведения не влияют. Их можно смело сокращать (в неравенстве — делить на них), не боясь потерять решения.

Примеры с разбором

Пример 15 (средний): реши $\left(2^{x} - 8\right)\left(2^{x} - 2\right)\left(2^{x} + 1\right) > 0$

Решение:

Шаг 1. Замена $t = 2^x$, $t > 0$:

Шаг 2. Заметим: при $t > 0$ множитель $t + 1$ строго положителен. Делим на него — знак неравенства не меняется:

Шаг 3. Парабола вверх с корнями $2$ и $8$ положительна вне корней:

С учётом $t > 0$: $0 < t < 2$ или $t > 8$.

Шаг 4. Возврат ($2 > 1$, знаки сохраняем). Условие $t < 2$ даёт $2^x < 2^1$, то есть $x < 1$ (а условие $t > 0$ выполняется автоматически для любого $x$). Условие $t > 8$ даёт $x > 3$.

Проверим наш ответ. $x = 0$: $(1 - 8)(1 - 2)(1 + 1) = (-7)(-1)(2) = 14 > 0$ ✅. $x = 2$: $(4-8)(4-2)(5) = -40 < 0$ ✅ (вне ответа). $x = 4$: $(16-8)(16-2)(17) > 0$ ✅.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

Пример 16 (сложный, дробное): реши $\dfrac{4^{x} - 2^{x+1}}{2^{x} - 4} \geq 0$

Решение:

Шаг 1. Приведём к одной степени: $4^x = \left(2^x\right)^2$, $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$. Замена $t = 2^x$, $t > 0$:

Шаг 2. Так как $t > 0$, множитель $t$ в числителе строго положителен — на знак дроби он не влияет, делим на него:

Шаг 3. Метод интервалов на луче $t > 0$. Нули: $t = 2$ (числитель, входит), $t = 4$ (знаменатель, не входит — деление на ноль).

Расставим знаки:

• при $0 < t < 2$: числитель отрицателен, знаменатель отрицателен, дробь положительна ✅
• при $t = 2$: дробь равна нулю ✅ (знак нестрогий)
• при $2 < t < 4$: числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна ❌
• при $t > 4$: оба положительны, дробь положительна ✅

Итого: $0 < t \leq 2$ или $t > 4$.

Шаг 4. Возврат, основание $2 > 1$. Условие $t \leq 2$ даёт $x \leq 1$; условие $t > 0$ автоматическое. Условие $t > 4$ даёт $x > 2$.

Проверим наш ответ. $x = 0$: $\frac{1 - 2}{1 - 4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \geq 0$ ✅. $x = 1{,}5$: $2^{1{,}5} \approx 2{,}83$, дробь $\frac{2{,}83 \cdot 0{,}83}{-1{,}17} < 0$ ✅ (вне ответа). $x = 3$: $\frac{64 - 16}{8 - 4} = 12 \geq 0$ ✅.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup (2; +\infty)$

Почему это важно. Метод интервалов на луче $t > 0$ учит важному навыку — работать внутри допустимой области, а не на всей числовой прямой «на всякий случай». Тот же навык нужен при отладке моделей: если параметр по смыслу лежит в $(0; 1)$, то и сетку для перебора гиперпараметров надо строить в этом диапазоне, а не расставлять точки от минус бесконечности.

Метод 5: системы и двойные неравенства

Интуиция

Часто на переменную наложено сразу несколько условий: «шаг обучения должен быть меньше порога, но при этом не меньше машинной точности». В математике это система: несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно. Решение системы — пересечение решений.

Ключевое различие, которое стоит проговорить:

• Система (фигурная скобка): выполняются оба условия сразу → берём пересечение.
• Совокупность (квадратная скобка): выполняется хотя бы одно → берём объединение.

Двойное неравенство $c < a^{f(x)} < d$ — это замаскированная система из двух неравенств: $a^{f(x)} > c$ и $a^{f(x)} < d$. Можно решать «в две строчки», а можно сразу перейти к показателям — но тогда при основании меньше единицы перевернуть надо обе стороны, и границы поменяются местами.

Примеры с разбором

Пример 17 (средний): реши систему

Решение:

Шаг 1. Первое неравенство: $5^x > 5^2$, основание $5 > 1$ — знак сохраняем: $x > 2$.

Шаг 2. Второе неравенство: $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^5$, основание $\frac{1}{2} < 1$ — знак переворачиваем: $x < 5$.

Шаг 3. Пересекаем два луча: $2 < x < 5$.

Проверим наш ответ. $x = 3$: $5^3 = 125 > 25$ ✅ и $\left(\frac12\right)^3 = 0{,}125 > 0{,}03125$ ✅. $x = 6$: первое верно ($15625 > 25$), а второе — $0{,}015625 > 0{,}03125$ — ложно, значит точка справедливо не в ответе ✅.

Ответ: $x \in (2; 5)$

Пример 18 (сложный): реши двойное неравенство $\dfrac{1}{27} < 3^{\,x^2 - 2x} < 9$

Решение:

Шаг 1. Приведём границы к основанию 3: $\frac{1}{27} = 3^{-3}$, $9 = 3^2$:

Шаг 2. Основание $3 > 1$ — знаки сохраняем, переходим к показателям:

Шаг 3. Это система из двух квадратных неравенств. Разберём каждое.

Левое: $x^2 - 2x > -3 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 3 > 0$. Дискриминант $D = 4 - 12 = -8 < 0$, ветви вверх — трёхчлен положителен при всех $x$. Значит левое условие не даёт ограничений.

Правое: $x^2 - 2x < 2 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 2 < 0$. Дискриминант $D = 4 + 8 = 12$, $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, корни $x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Парабола вверх отрицательна между корнями.

Шаг 4. Пересечение: вся прямая $\cap$ интервал $= \left(1 - \sqrt{3};\, 1 + \sqrt{3}\right)$.

Проверим наш ответ. $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, интервал примерно $(-0{,}73;\, 2{,}73)$. Возьмём $x = 1$: показатель $1 - 2 = -1$, значение $3^{-1} = \frac13 \approx 0{,}333$. Проверяем: $0{,}037 < 0{,}333 < 9$ ✅. Возьмём $x = 3$: показатель $9 - 6 = 3$, значение $27$, а $27 < 9$ — ложно ✅.

Ответ: $x \in \left(1 - \sqrt{3};\; 1 + \sqrt{3}\right)$

Метод 6: неравенство с параметром-основанием

Интуиция

А теперь главный экзамен на понимание. Что делать, если основание — не число, а буква? Например, реши $a^{3x} \leq a^{x+4}$, где про $a$ известно только, что $a > 0$ и $a \neq 1$.

Ответ прост и честен: ты не можешь дать один ответ. Потому что при $a = 5$ функция растёт, а при $a = 0{,}5$ — падает, и решения будут разными множествами. Единственный корректный путь — разобрать оба случая и выдать ответ «вилкой»: если $a > 1$, то одно; если $0 < a < 1$, то другое.

Представь, что тебе дали функцию f и не сказали, монотонно возрастающая она или убывающая. Ты не можешь написать assert f(x1) < f(x2) — тебе нужны две ветки в коде. Разбор случаев в математике — это ровно if/else, и пропустить ветку так же плохо, как забыть обработать одно из значений флага.

Полезная деталь про границы: случаи $a = 1$ и $a \leq 0$ обычно исключены условием, потому что при $a = 1$ обе части превращаются в единицу (неравенство вырождается: строгое становится ложным при любом $x$, нестрогое — верным при любом $x$), а при $a \leq 0$ выражение $a^x$ вообще не определено как показательная функция. Но если условие про это молчит — проверь их отдельно, там часто прячется половина баллов.

Алгоритм:

1. Приведи обе части к одному основанию $a$ (буква обрабатывается точно как число).
2. Разбей задачу на случай $a > 1$ и случай $0 < a < 1$.
3. В первом случае перейди к показателям, сохранив знак; во втором — перевернув.
4. Если по условию $a$ может равняться единице или основание может обнуляться — разбери и эти вырожденные случаи.
5. Запиши ответ в виде «при таких-то $a$ — такое множество, при таких-то — такое».

Примеры с разбором

Пример 19 (простой): реши $a^{3x} \leq a^{\,x+4}$, где $a > 0$, $a \neq 1$

Решение:

Шаг 1. Основания одинаковые, переходим к показателям — но с разбором случаев.

Шаг 2. Случай $a > 1$. Функция возрастает, знак сохраняем:

Шаг 3. Случай $0 < a < 1$. Функция убывает, знак переворачиваем:

Проверим наш ответ. Возьмём $a = 2$ и $x = 0$ (должно подойти): $2^0 = 1 \leq 2^4 = 16$ ✅. Возьмём $a = \frac12$ и $x = 0$ (не должно подходить): $\left(\frac12\right)^0 = 1$, справа $\left(\frac12\right)^4 = 0{,}0625$; условие $1 \leq 0{,}0625$ ложно ✅. А при $a = \frac12$, $x = 3$: слева $\left(\frac12\right)^9 = 0{,}00195$, справа $\left(\frac12\right)^7 = 0{,}0078$ — верно ✅.

Ответ: при $a > 1$: $x \in (-\infty; 2]$; при $0 < a < 1$: $x \in [2; +\infty)$

📌 Обрати внимание: точка $x = 2$ входит в ответ в обоих случаях — это ровно решение соответствующего уравнения $a^{3x} = a^{x+4}$, и оно от основания не зависит. Полезная проверка: «граница» в задачах с параметром обычно общая для обеих веток.

Пример 20 (средний): реши $a^{\,x^2} > a^{\,x + 6}$, где $a > 0$, $a \neq 1$

Решение:

Шаг 1. Случай $a > 1$. Знак сохраняем:

Парабола вверх положительна вне корней: $x < -2$ или $x > 3$.

Шаг 2. Случай $0 < a < 1$. Знак переворачиваем:

Шаг 3. Заметим красивое: два ответа дополняют друг друга до всей числовой прямой без точек $x = -2$ и $x = 3$. Так и должно быть — в этих точках показатели равны, и строгое неравенство нарушается при любом основании.

Проверим наш ответ. $a = 3$, $x = 4$: слева $3^{16}$, справа $3^{10}$ — верно ✅. $a = 0{,}3$, $x = 0$: слева $0{,}3^0 = 1$, справа $0{,}3^6 = 0{,}000729$ — верно, и $x = 0$ действительно лежит в $(-2; 3)$ ✅.

Ответ: при $a > 1$: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$; при $0 < a < 1$: $x \in (-2; 3)$

Пример 21 (сложный, с вырожденным случаем): реши $\left(a^2 + 1\right)^{x} \geq \left(a^2 + 1\right)^{\,3 - 2x}$, где $a$ — любое действительное число

Решение:

Шаг 1. Оценим основание. Выражение $a^2 + 1$ всегда положительно (квадрат неотрицателен, плюс единица). Но чему оно равно — больше единицы или ровно единице? Разберём.

Шаг 2. Случай $a = 0$. Тогда основание $a^2 + 1 = 1$. Обе части равны $1^{\text{что угодно}} = 1$, неравенство превращается в $1 \geq 1$ — верное при любом $x$.

Шаг 3. Случай $a \neq 0$. Тогда $a^2 > 0$, значит $a^2 + 1 > 1$ — основание строго больше единицы, функция возрастает, знак сохраняем:

Шаг 4. Заметь, чего здесь нет: случая $0 < \text{основание} < 1$. Он невозможен, потому что $a^2 + 1$ никогда не бывает меньше единицы. Разбор случаев — это не ритуал «всегда две ветки», а честный анализ того, какие значения основание реально принимает.

Проверим наш ответ. $a = 1$ (основание $2$), $x = 2$: слева $2^2 = 4$, справа $2^{-1} = 0{,}5$ — верно ✅. $a = 1$, $x = 0$: слева $1$, справа $2^3 = 8$ — ложно, значит $x = 0$ справедливо не в ответе ✅. $a = 0$, $x = -100$: $1 \geq 1$ — верно ✅.

Ответ: при $a = 0$: $x \in \mathbb{R}$; при $a \neq 0$: $x \in [1; +\infty)$

Почему это важно. Задачи с параметром — это проверка на то, понял ты правило или запомнил внешний вид решения. Тот, кто зазубрил «переходим к показателям и решаем», на букве $a$ ломается сразу. Тот, кто понял «всё зависит от направления монотонности», спокойно пишет две ветки. В работе с данными это тот же навык: прежде чем применить преобразование, спросить «а на каких значениях параметра оно вообще ведёт себя так, как я жду?».

ML-контекст: пороги, температура и время сходимости

Затухание learning rate

Самый частый прикладной сюжет. При экспоненциальном расписании (exponential decay) шаг обучения на эпохе $k$ равен

Здесь $q$ — коэффициент затухания (типичные значения $0{,}5$, $0{,}9$, $0{,}95$). Вопрос «когда шаг станет ниже порога $\varepsilon$» — это показательное неравенство $\eta_0 q^k < \varepsilon$, причём с основанием меньше единицы, то есть со сменой знака. Ошибиться тут значит получить ответ «до эпохи 5» вместо «начиная с эпохи 5» — то есть остановить обучение ровно наоборот.

Пример 22 (средний): learning rate стартует с $\eta_0 = 0{,}1$ и после каждой эпохи умножается на $0{,}5$. Начиная с какой эпохи шаг станет меньше $0{,}00625$?

Решение:

Шаг 1. Записываем условие:

Шаг 2. Делим обе части на $0{,}1$ (положительное число — знак не меняется):

Шаг 3. Приводим правую часть к основанию $0{,}5$. Считаем: $0{,}5^2 = 0{,}25$, $0{,}5^3 = 0{,}125$, $0{,}5^4 = 0{,}0625$ — попали. Значит

Шаг 4. Основание $0{,}5 < 1$ — знак переворачиваем:

Шаг 5. Номер эпохи — целое число, поэтому наименьшее подходящее $k$ равно $5$.

Проверим наш ответ. $k = 4$: $\eta_4 = 0{,}1 \cdot 0{,}0625 = 0{,}00625$ — не строго меньше, значит не подходит ✅. $k = 5$: $\eta_5 = 0{,}1 \cdot 0{,}03125 = 0{,}003125 < 0{,}00625$ ✅.

Ответ: начиная с $k = 5$ (то есть при $k > 4$, для целых $k \geq 5$)

Температура в softmax

Softmax с температурой $T$ превращает логиты $z_i$ в вероятности. Чтобы обойтись без логарифмов, будем работать с вариантом softmax по основанию 2 — он используется в квантованных реализациях и отличается от классического только масштабом температуры:

Отношение вероятностей двух классов не зависит от знаменателя:

Отсюда видно всё поведение температуры: при $T \to 0$ показатель раздувается и распределение становится почти детерминированным (модель «уверена»); при больших $T$ показатель сжимается к нулю, отношение стремится к единице — распределение выравнивается («творческий» режим генерации).

Пример 23 (средний): разрыв логитов между лидером и вторым классом равен $z_1 - z_2 = 6$. При каких $T > 0$ лидер будет как минимум в 8 раз вероятнее второго класса?

Решение:

Шаг 1. Условие:

Шаг 2. Основание $2 > 1$ — знак сохраняем:

Шаг 3. Здесь важная тонкость: умножать неравенство на $T$ можно только зная знак $T$. По условию $T > 0$ (температура положительна по определению), поэтому умножаем на $T$ без переворота:

Шаг 4. Складываем с условием $T > 0$:

Проверим наш ответ. $T = 2$: отношение $2^{6/2} = 2^3 = 8$ — ровно в 8 раз ✅. $T = 3$: $2^{6/3} = 4 < 8$ — не подходит, и правда $3 \notin (0; 2]$ ✅. $T = 1$: $2^6 = 64 \geq 8$ ✅.

Ответ: $T \in (0; 2]$

Сравнение расписаний сходимости

Пример 24 (сложный): два расписания шага обучения: $\eta_A(k) = \left(\frac{1}{2}\right)^{k}$ и $\eta_B(k) = \left(\frac{1}{4}\right)^{\,k-3}$. Начиная с какого шага расписание B даёт меньший шаг, чем A?

Решение:

Шаг 1. Нужно решить $\eta_B(k) < \eta_A(k)$, то есть

Шаг 2. Приводим к общему основанию $\frac12$: так как $\frac14 = \left(\frac12\right)^2$, левая часть равна $\left(\frac12\right)^{2(k-3)} = \left(\frac12\right)^{2k - 6}$:

Шаг 3. Основание $\frac12 < 1$ — знак переворачиваем:

Шаг 4. Для целых шагов: начиная с $k = 7$.

Проверим наш ответ. $k = 6$: $\eta_B = \left(\frac14\right)^3 = \frac{1}{64}$, $\eta_A = \left(\frac12\right)^6 = \frac{1}{64}$ — равны, строгого неравенства нет ✅. $k = 7$: $\eta_B = \left(\frac14\right)^4 = \frac{1}{256}$, $\eta_A = \frac{1}{128}$ — действительно B меньше ✅. $k = 4$: $\eta_B = \frac{1}{16}$, $\eta_A = \frac{1}{16}$... проверим точнее: $\left(\frac14\right)^{1} = 0{,}25$, $\left(\frac12\right)^4 = 0{,}0625$ — B больше, всё сходится ✅.

Ответ: при $k > 6$, то есть начиная с седьмого шага

Почему это важно. Все три сюжета объединяет одна мысль: экспонента с основанием меньше единицы — это затухание, и любое условие «упало ниже порога» переворачивает знак. Именно поэтому в коде расписаний так часто встречается путаница «раньше/позже». Разобравшись с правилом один раз на математике, ты перестанешь угадывать направление неравенства в if и начнёшь его выводить.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Реши неравенство $2^{x} > 8$.

Задание 2: Реши неравенство $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} < \dfrac{1}{27}$.

Задание 3: Реши неравенство $5^{\,x-1} \leq 25$.

Задание 4: Реши неравенство $0{,}2^{\,x} \geq 0{,}04$.

Задание 5: Реши неравенство $3^{\,x^2 - 4} < 1$.

Задание 6: Реши неравенство $2^{\,2x-1} \geq \dfrac{1}{8}$.

Задание 7: В алгоритме $\varepsilon$-greedy доля случайных действий задана формулой $\varepsilon_n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3n}$, где $n$ — номер эпизода ($n = 0, 1, 2, \dots$). При каких $n$ доля исследования ещё превышает $\dfrac{4}{9}$?

Задание 8: Learning rate задан расписанием $\eta_k = 0{,}8 \cdot 0{,}25^{\,k}$. Начиная с какой эпохи $k$ (целое число) шаг обучения станет меньше $0{,}0125$?

Задание 9: Реши неравенство $4^{x} > 2^{\,x+3}$.

Задание 10: Норма градиента при обучении убывает по закону $\|g_k\| = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}$. При каких шагах $k$ выполнен критерий останова $\|g_k\| \leq \dfrac{1}{16}$?

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Реши неравенство $2^{2x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 \leq 0$.

Задание 12: Реши неравенство $3^{2x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 > 0$.

Задание 13: Реши неравенство $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 < 0$.

Задание 14: Реши неравенство $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x} - 5\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} + 4 \geq 0$.

Задание 15: Память под активации двух слоёв растёт как $2^{\,x+1} + 2^{\,x-1}$ мегабайт, где $x$ — параметр масштаба сети. При каких $x$ суммарная память меньше 5 МБ?

Задание 16: Реши неравенство $3^{\,x+1} - 3^{\,x-1} \geq 24$.

Задание 17: Реши двойное неравенство $1 < 2^{\,x-1} \leq 16$.

Задание 18: Реши неравенство $2^{\,x^2 - x} \leq 4$.

Задание 19: В softmax по основанию 2 отношение вероятностей двух классов равно $\dfrac{p_1}{p_2} = 2^{\,\frac{z_1 - z_2}{T}}$. Разрыв логитов $z_1 - z_2 = 9$. При каких температурах $T > 0$ лидер вероятнее второго класса не менее чем в 8 раз? А при каких температурах распределение почти выравнивается — отношение становится меньше 2?

Задание 20: Реши систему неравенств

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Реши однородное неравенство $2 \cdot 25^{x} - 7 \cdot 10^{x} + 5 \cdot 4^{x} < 0$.

Задание 22: Реши неравенство $9^{x} + 6^{x} \leq 2 \cdot 4^{x}$.

Задание 23: Реши неравенство $\dfrac{3^{x} - 9}{3^{x} - 3} \leq 0$.

Задание 24: Реши неравенство $8^{x} - 2 \cdot 4^{x} - 8 \cdot 2^{x} + 16 > 0$.

Задание 25: Реши неравенство $a^{\,2x-1} > a^{\,x+2}$, где $a > 0$, $a \neq 1$.

Задание 26: Реши неравенство $a^{\,x^2 - 3} \geq a^{\,2x}$, где $a > 0$, $a \neq 1$.

Задание 27: Гиперпараметр $x$ отклоняется от оптимального значения 1, и штраф качества растёт как $2^{|x-1|}$. При каких $x$ штраф остаётся меньше 8?

Задание 28: Вычислительный бюджет на обучение моделей растёт по закону $C(t) = C_0 \cdot 2^{\,t/6}$, где $t$ — время в месяцах (удвоение каждые полгода). В какой промежуток времени бюджет будет составлять от 16 до 64 «стартовых бюджетов» $C_0$, включая нижнюю границу и не включая верхнюю?

Задание 29: Ошибка итеративного метода убывает как $e_k = e_0 \cdot q^{\,k}$. Сколько шагов нужно при $q = \frac13$, чтобы ошибка уменьшилась не менее чем в 81 раз? Во сколько раз меньше шагов потребуется при $q = \frac19$?

Задание 30: Реши неравенство $\dfrac{2^{x} - 2}{4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4} \geq 0$.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: не перевернули знак при основании меньше единицы

Это ошибка номер один в теме — она встречается чаще, чем все остальные вместе взятые.

Неправильно:

Правильно:

Почему важно: подставь $x = 0$. Слева $\left(\frac12\right)^0 = 1$, справа $0{,}125$. Неравенство $1 < 0{,}125$ — ложь, а «неправильный» ответ $x < 3$ эту точку включает. То есть ошибка даёт не приблизительный, а прямо противоположный ответ: вместо луча вправо — луч влево. Ноль общих точек с истиной. Механизм ошибки психологический: мозг видит знак $<$ в условии и автоматически переписывает его же в вывод, не глядя на основание. Лечится одной привычкой: прежде чем переходить к показателям, вслух скажи, чему равно основание и больше ли оно единицы. Три секунды на это спасают всю задачу.

❌ Ошибка 2: забыли условие $t > 0$ при замене

Неправильно: решая $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 < 0$, замена $t = 2^x$ даёт $-1 < t < 4$, и человек пишет «значит $-1 < 2^x < 4$», а потом пытается решать $2^x > -1$ и приписывает какие-то ограничения.

Правильно: сразу после замены выписываем $t > 0$ и пересекаем: $-1 < t < 4$ пересечь с $t > 0$ даёт $0 < t < 4$, откуда единственное содержательное условие $2^x < 4$, то есть $x < 2$.

Почему важно: $2^x$ никогда не бывает отрицательным — область значений показательной функции это $(0; +\infty)$. Условие вида $2^x > -1$ не «трудное», оно тождественно истинное, и попытка «решать» его порождает либо путаницу, либо лишние ограничения в ответе. Хуже того, в некоторых задачах отброшенный корень оказывается положительным (например $0{,}5$), и тогда пропуск проверки уже реально теряет часть ответа. Дисциплина простая: строка «$t = a^x > 0$» пишется одновременно с самой заменой, а не вспоминается в конце.

❌ Ошибка 3: сравнили показатели при разных основаниях

Неправильно:

Правильно: сначала общее основание — $8 = 2^3$, $4 = 2^2$, получаем $2^{3x+3} < 2^{4x-6}$, отсюда $3x + 3 < 4x - 6$ и $x > 9$.

Почему важно: правило перехода к показателям работает только когда основания совпадают. Иначе ты сравниваешь несравнимое — это как сравнить «5 в долларах» и «5 в рублях» по числу 5. Разница в ответах здесь драматична: $x > 4$ против $x > 9$, и весь промежуток от 4 до 9 попадает в ответ ошибочно. Проверь на $x = 5$: слева $8^6 = 2^{18}$, справа $4^7 = 2^{14}$ — левая часть больше, неравенство ложно, значит $x = 5$ в ответе быть не должно.

❌ Ошибка 4: переворот знака при делении на степень

Неправильно: в однородном неравенстве $2 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x + 3 \cdot 4^x < 0$ человек делит на $4^x$ и «на всякий случай» переворачивает знак или начинает разбирать случаи «а вдруг $4^x$ отрицательно».

Правильно: $4^x > 0$ при любом $x$ — деление на строго положительное число знак неравенства не меняет и никаких случаев не порождает. Просто делим:

Почему важно: тут срабатывает ложная аналогия с правилом «при делении на отрицательное знак меняется». Правило верное, но условие его применения — отрицательность делителя, а показательная функция отрицательной не бывает никогда. Обратная сторона той же медали: делить на выражение вроде $2^x - 4$, знак которого неизвестен, нельзя без разбора случаев — а вот на чистую степень $a^x$ можно всегда.

❌ Ошибка 5: при параметре разобран только один случай

Неправильно: «Реши $a^{2x-1} > a^{x+2}$» → «$2x - 1 > x + 2$, значит $x > 3$». Точка.

Правильно: при $a > 1$ ответ $x > 3$; при $0 < a < 1$ ответ $x < 3$. Оба случая обязаны быть в ответе.

Почему важно: решение с одним случаем неполно ровно наполовину, и на экзамене за него ставят частичный балл или ноль. Логика тут не «формальность ради строгости»: параметр $a$ реально может быть любым положительным числом, и для $a = 0{,}3$ твой ответ будет попросту неверным. Аналогия из кода: ты написал ветку if и не написал else, а функция всё равно вызывается с обоими значениями флага. Проверка на самого себя: увидел букву в основании — сразу рисуй два блока «Случай $a>1$» и «Случай $0

❌ Ошибка 6: забыли про переворот при возврате от $t$ к $x$

Неправильно: в неравенстве $\left(\frac19\right)^x - 10\left(\frac13\right)^x + 9 < 0$ замена $t = \left(\frac13\right)^x$ даёт $1 < t < 9$, и человек пишет «значит $0 < x < 2$».

Правильно: основание $\frac13$ меньше единицы, поэтому оба перехода переворачиваются: из $t > 1 = \left(\frac13\right)^0$ следует $x < 0$, из $t < 9 = \left(\frac13\right)^{-2}$ следует $x > -2$. Ответ $-2 < x < 0$.

Почему важно: замена откладывает применение главного правила, но не отменяет его. Многие расслабляются на последнем шаге: самая трудная часть решена, квадратное неравенство разобрано — и на финальной строчке теряется всё. Заметь ещё одну деталь: при перевороте границы меняются местами, поэтому запись «$0 < x < 2$» вместо «$-2 < x < 0$» — это не сдвиг, а зеркальное отражение относительно точки, где показатель равен нулю.

Главное запомнить

1. Всё решает основание. Первый вопрос в любом показательном неравенстве: $a > 1$ или $0 < a < 1$? Ответ на него определяет, сохранится знак или перевернётся.

2. При $a > 1$ знак сохраняется: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$. Функция возрастает, порядок не меняется.

3. При $0 < a < 1$ знак меняется на противоположный: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$. Функция убывает, порядок обращается.

4. Переход равносилен в обе стороны — ничего не теряется и не появляется лишнего, потому что показательная функция строго монотонна. Это не «следствие», а полноценная эквивалентность.

5. Приводи к одному основанию прежде, чем сравнивать показатели. Разные основания сравнивать нельзя — сначала общая база.

6. Единица — это $a^0$. Неравенство $a^{f(x)} > 1$ решается тем же правилом: сравниваем $f(x)$ с нулём.

7. При замене $t = a^x$ всегда пиши $t > 0$ и пересекай с ней решение. Отрицательные и нулевые корни отбрасывай — им не отвечает ни один $x$.

8. Делить на $a^x$ можно всегда и знак при этом не менять: степень строго положительна. А вот на выражение вроде $a^x - c$ делить без разбора знака нельзя.

9. После замены правило работает снова. Возврат от $t$ к $x$ — это ещё одно показательное неравенство, и если основание дробное, знак переворачивается второй раз.

10. Параметр в основании = два случая. Увидел букву — пиши обе ветки: $a > 1$ и $0 < a < 1$. Плюс проверь вырожденные варианты, если основание может обратиться в единицу.

Связь с другими темами курса

Что было до этого:

• Урок 113 «Показательная функция» — источник всего правила. Монотонность $y = a^x$ (возрастание при $a > 1$, убывание при $0 < a < 1$) и область значений $(0; +\infty)$ — два факта, на которых держится весь этот урок.
• Урок 114 «Показательные уравнения» — те же методы (одно основание, замена, однородность), но без разбора направления знака. Уравнение проще ровно на одну идею; неравенство добавляет к нему монотонность.
• Свойства степеней — $a^{m+n} = a^m a^n$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: рабочие инструменты на каждом шаге.
• Квадратные неравенства и метод интервалов — после замены $t = a^x$ задача превращается ровно в них.

Что будет дальше:

• Урок 116 «Определение логарифма» — логарифм даст возможность решать неравенства вроде $2^x < 5$, где правая часть не является «красивой» степенью. Всё правило про знак сохранится дословно, только вместо «привести к одному основанию» появится «взять логарифм» — и там снова придётся смотреть, больше основание единицы или меньше.
• Логарифмические неравенства — прямое продолжение: там та же развилка $a > 1$ / $0 < a < 1$ плюс область определения.
• Урок 133 «Производная» — в будущем монотонность функций можно будет доказывать через знак производной, и правило перехода получит второе, более общее обоснование. Но заметь: тебе оно не понадобилось — монотонности показательной функции хватило полностью.

Где применяется:

🤖 В машинном обучении: пороги затухания learning rate, критерии останова по норме градиента, выбор температуры в softmax, оценки числа итераций до сходимости, условия на коэффициент momentum и weight decay.

📉 В анализе данных: периоды полураспада метрик, оценка «через сколько дней активность когорты упадёт вдвое», модели оттока пользователей.

💰 В финансах: сравнение вкладов и кредитов с разными ставками, вопрос «когда сложный процент обгонит простой», оценка срока удвоения капитала.

🧬 В биологии и медицине: рост популяций, распад препарата в крови, эпидемические пороги «когда число заражённых превысит N».

⚙️ В инженерии: затухание сигнала, оценка ресурса памяти при экспоненциальном росте нагрузки, планирование ёмкости серверов.

Интересные факты

💡 Знаки $<$ и $>$ придумал человек, который их не увидел напечатанными. Томас Хэрриот умер в 1621 году, а книга с этими символами вышла в 1631-м — через десять лет после его смерти, стараниями учеников. Причём сам Хэрриот, похоже, придумал знаки не из математических соображений: по одной из версий, идею подсказал рисунок на руке аборигена, встреченного в экспедиции в Виргинию.

💡 Легенда о зёрнах на шахматной доске — это показательное неравенство. Если на первой клетке одно зерно, а дальше удваивается, то на 64-й клетке будет $2^{63}$ зёрен. Вопрос «начиная с какой клетки зёрен станет больше миллиарда» — ровно наша задача: $2^{k-1} > 10^9$. Ответ: с 31-й клетки ($2^{30} \approx 1{,}07$ млрд). Общая же сумма — около 18,4 квинтиллиона зёрен, что примерно в 2000 раз больше нынешнего годового урожая пшеницы на планете.

💡 Правило 72 — приближённое решение показательного неравенства в уме. Чтобы понять, за сколько лет вклад под $p$ процентов удвоится, финансисты делят 72 на $p$. Это эмпирическая аппроксимация решения неравенства $\left(1 + \frac{p}{100}\right)^t \geq 2$, известная как минимум с 1494 года — её описал Лука Пачоли, тот самый монах-математик, который систематизировал двойную бухгалтерию.

💡 Половина багов в расписаниях обучения — это перепутанный знак. В библиотеках вроде PyTorch у планировщиков learning rate есть параметр mode со значениями 'min' и 'max': он буквально спрашивает у тебя, в какую сторону смотрит неравенство при проверке «стало ли лучше». Перепутал — и планировщик начнёт снижать шаг, когда метрика улучшается, вместо того чтобы делать это при застое. Ровно та же ошибка, что забыть перевернуть знак при основании меньше единицы, только ценой в несколько часов GPU.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Тест одной точкой — самая быстрая страховка

Решил неравенство — подставь любое удобное число из полученного ответа (обычно 0 или 1) и любое число извне. Первое должно давать истину, второе — ложь. Эта проверка ловит перепутанный знак мгновенно и стоит десять секунд. В теме, где главная ошибка даёт противоположный ответ, это самый выгодный трюк урока.

2. Переверни дробное основание и избавься от разворота

Если основание меньше единицы, его можно записать как отрицательную степень: $\left(\frac13\right)^{x} = 3^{-x}$. Тогда неравенство $\left(\frac13\right)^x < \frac{1}{27}$ превращается в $3^{-x} < 3^{-3}$, основание становится больше единицы, знак сохраняется: $-x < -3$, откуда $x > 3$. Ответ тот же, но развороты знака заменились привычным умножением на $-1$. Кому-то так надёжнее — попробуй оба пути и выбери свой.

3. «Больше единицы» и «меньше единицы» — быстрый спецслучай

Неравенство $a^{f(x)} > 1$ читается напрямую: при $a > 1$ это значит $f(x) > 0$, при $0 < a < 1$ — что $f(x) < 0$. Не переписывай единицу как $a^0$, если умеешь читать сразу — экономит шаг и снижает риск описки.

4. Опознавай однородность по среднему основанию

Если в неравенстве три слагаемых с основаниями $A$, $B$, $C$ и выполняется $B^2 = A \cdot C$ (среднее геометрическое!), перед тобой однородное неравенство. Проверка занимает секунду: $6^2 = 36 = 9 \cdot 4$ ✅, $10^2 = 100 = 25 \cdot 4$ ✅, $36^2 = 1296 = 16 \cdot 81$ ✅. Дальше — деление на крайнюю степень и замена.

5. Рисуй ось $t$ с перечёркнутой отрицательной частью

При замене $t = a^x$ сразу черти числовую ось и заштриховывай всё левее нуля крест-накрест. Когда дойдёшь до расстановки знаков, заштрихованная зона физически не даст тебе взять оттуда решение. Мелочь, но экономит баллы там, где корень квадратного уравнения оказался отрицательным.

6. Проверяй ответ на граничной точке отдельно

Строгое неравенство — граница не входит, нестрогое — входит. Это звучит тривиально, но именно на границах разница между $(1; 5]$ и $[1; 5)$ решает судьбу задачи. Быстрый способ: подставь саму границу в исходное неравенство и посмотри, получится верное числовое утверждение или нет. Точка $x$, где показатели равны, — единственное место, где обе части равны между собой.

7. В коде пиши условие через степень, а не через логарифм

Если проверяешь «упал ли learning rate ниже порога», не считай логарифм — просто сравни lr < threshold напрямую или заранее вычисли номер эпохи через степень. Логарифм в таких проверках даёт лишнюю численную погрешность на границе, из-за которой условие может сработать на эпоху раньше или позже. Показательное сравнение точнее и дешевле.

Показательные неравенства — это тема, где одна-единственная идея решает всё. Не десять формул, не набор приёмов на каждый случай, а один вопрос: куда едет функция — вверх или вниз? Ответишь правильно — и любое неравенство, от простейшего $2^x > 8$ до однородного монстра с тремя основаниями и параметром, разбирается по одной и той же схеме: привести к общей базе, посмотреть на основание, перейти к показателям, решить обычное неравенство.

Этот навык останется с тобой надолго. В следующем уроке появится логарифм — и первое, что ты о нём узнаешь: он тоже монотонен, и у него та же самая развилка $a > 1$ / $0 < a < 1$. То, что ты сегодня разобрал до костей, там просто повторится в новых декорациях. А в реальной работе с моделями каждое «через сколько шагов метрика упадёт ниже порога» и каждое «при какой температуре распределение станет достаточно острым» — это ровно то неравенство, которое ты теперь умеешь решать не подбором, а честно. Давай дальше 🚀