Тангенс и котангенс 📐

Представь три совершенно разные задачи. Камера в телефоне: производитель пишет "угол обзора 84°" — а внутри объектива это число превращается в отношение размера матрицы к фокусному расстоянию. Джойстик в игре: ты наклонил стик, игра должна понять, в какую сторону смотрит персонаж — по двум числам (насколько сдвинут стик по x и по y) нужно восстановить угол. Линейная модель классификации: она разделяет два класса прямой линией, и наклон этой прямой — не абстракция, а конкретное число, которое можно посчитать по весам модели.

Во всех трёх случаях происходит одно и то же: угол превращается в число (или число — обратно в угол), и это число описывает наклон, крутизну, направление. Именно этим занимаются тангенс и котангенс.

Ты уже знаешь синус и косинус (урок 93) — они дают координаты точки на единичной окружности. Тангенс и котангенс не добавляют ничего нового к этой картине: это просто ещё один способ смотреть на ту же точку, только через отношение её координат, а не через сами координаты. Но именно это отношение оказывается неожиданно полезным — и неожиданно капризным: оно не существует в некоторых точках, повторяется вдвое чаще, чем синус с косинусом, и его знак нужно определять иначе.

Ты узнаешь:

• что такое tg(α) и ctg(α) — и почему это буквально одна и та же идея, вывернутая наизнанку;

• где эти функции не определены и почему это не "баг", а неизбежное следствие деления на ноль;

• почему их период равен π, а не 2π, хотя синус и косинус повторяются только через полный оборот;

• как за секунду определить знак tg(α) или ctg(α), не вычисляя ничего;

• где всё это использует компьютерное зрение, 3D-графика и обработка признаков в ML.

История: откуда это взялось?

Слово "тангенс" происходит от латинского tangere — "касаться". Датский математик Томас Финке в 1583 году в трактате Geometria Rotundi закрепил термины "tangens" и "secans" за конкретной геометрической картинкой: если провести вертикальную прямую, касающуюся единичной окружности в точке (1; 0), и продлить луч под углом α до пересечения с этой прямой — длина отрезка от точки касания до пересечения и есть тангенс угла α. Прямая в буквальном смысле касается окружности — отсюда и название. Это не то же самое, что "касательная" в смысле геометрической линии, которую ты, возможно, встретишь позже в курсе, но идея касания — общая: тангенс родился как длина отрезка на касательной прямой.

Задолго до Финке эту же идею использовали куда более прагматично. Вавилонские и египетские астрономы работали с гномоном — вертикальным шестом, отбрасывающим тень. Длина тени зависела от высоты солнца над горизонтом не напрямую, а через отношение — то самое отношение, которое мы сегодня называем котангенсом (для горизонтальной тени от вертикального гномона). Арабские астрономы IX века, включая ал-Баттани, составляли подробные таблицы "тени гномона" для разных широт и времени суток — по сути, таблицы значений тангенса и котангенса за восемь веков до того, как эти функции получили современные имена.

Сегодня та же самая идея работает внутри объективов фотоаппаратов, в матрицах поворота в компьютерной графике и в алгоритмах восстановления направления по двум координатам. Задача не изменилась со времён гномона: дан угол — нужно отношение; дано отношение — нужен угол.

Блок 1: Тангенс — что показывает эта функция

Давай разберёмся сначала на пальцах, без формул. Представь, что ты идёшь по дороге, которая поднимается в гору. Если на каждый метр пути вперёд ты поднимаешься на метр вверх — наклон дороги "единичный". Если поднимаешься на два метра, наклон вдвое круче. Если дорога совсем ровная — наклон нулевой. Это отношение "вверх" к "вперёд" (или "противолежащий катет" к "прилежащему" в прямоугольном треугольнике) — и есть тангенс угла наклона.

На единичной окружности та же идея выглядит иначе, но говорит о том же самом. Точка на окружности при повороте на угол α имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ — это ты уже знаешь из прошлого урока. Тангенс — это просто отношение этих двух координат: y к x.

Определение: Тангенсом угла α называется отношение синуса этого угла к косинусу:

$$tg(\alpha) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

Геометрически, если точка на единичной окружности имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$, то $tg(\alpha)$ — это отношение её y-координаты к x-координате.

Пример 1 (лёгкий): табличное значение

Найди $tg\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.

Решение:

Ответ: $\dfrac{\sqrt3}{3} \approx 0{,}577$.

Пример 2 (средний): угол ската крыши

Крыша поднимается на 3 метра на каждые 4 метра горизонтального расстояния. Найди тангенс угла наклона и сам угол.

Решение:

По определению через прямоугольный треугольник: $tg(\alpha) = \dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$.

Чтобы найти сам угол, нужна обратная операция — функция arctg, о которой подробно поговорим в одном из следующих уроков. Пока просто прими на веру приближённое значение: $\alpha = \text{arctg}(0{,}75) \approx 36{,}87°$.

Ответ: $tg(\alpha) = 0{,}75$, угол $\approx 37°$.

Пример 3 (сложный): по координатам точки на окружности

Точка на единичной окружности, полученная поворотом на угол α, имеет координаты $(-0{,}6;\ 0{,}8)$. Найди $tg(\alpha)$ и определи, в какой четверти лежит угол.

Решение:

По определению $\cos\alpha = x = -0{,}6$, $\sin\alpha = y = 0{,}8$.

x отрицателен, y положителен — это вторая четверть.

Ответ: $tg(\alpha) = -\dfrac{4}{3}$, угол во второй четверти.

Почему это важно. В линейной модели классификации (например, логистической регрессии с двумя признаками) разделяющая граница — это прямая $w_1 x_1 + w_2 x_2 + b = 0$. Наклон этой прямой в координатах признаков — это именно тангенс: $tg(\alpha) = -w_1/w_2$. Когда ты смотришь на веса обученной модели, ты буквально смотришь на тангенс угла наклона решающей границы. А формула угла обзора камеры $tg(\text{FOV}/2) = \dfrac{s}{2f}$ (где $s$ — размер сенсора, $f$ — фокусное расстояние) — та же самая идея "наклон = отношение", просто переставленная в объектив.

Блок 2: Котангенс — обратная сторона той же монеты

А теперь попробуй сам догадаться, что будет, если поменять числитель и знаменатель местами. Правильно — получится котангенс. Если тангенс отвечает на вопрос "насколько ты поднимаешься на единицу пути вперёд", то котангенс отвечает на обратный вопрос: "сколько нужно пройти вперёд, чтобы подняться на единицу". Это в буквальном смысле обратное отношение.

Приставка "ко-" здесь не случайна — она встречается ещё в "косинусе" и означает "дополнение" (complement). Исторически котангенс угла α — это тангенс дополнительного до 90° угла: $ctg(\alpha) = tg(90° - \alpha)$. Такая же логика связывает синус и косинус.

Определение: Котангенсом угла α называется отношение косинуса к синусу:

$$ctg(\alpha) = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{tg(\alpha)}$$

(второе равенство верно, когда оба тангенс и котангенс существуют и $tg(\alpha) \neq 0$).

Пример 1 (лёгкий): табличное значение

Найди $ctg\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Решение:

Ответ: $\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Пример 2 (средний): через обратное отношение

Известно, что $tg(\alpha) = 5$. Найди $ctg(\alpha)$.

Решение:

Раз $tg(\alpha) \neq 0$, можно применить $ctg(\alpha) = 1/tg(\alpha)$:

Ответ: $ctg(\alpha) = 0{,}2$.

Пример 3 (сложный): направление джойстика

Стик геймпада сдвинут из центра в точку с относительными координатами $(\Delta x, \Delta y) = (2; 5)$. Направление задаётся единичным вектором $(\cos\theta, \sin\theta)$, пропорциональным $(\Delta x, \Delta y)$. Найди $ctg(\theta)$.

Решение:

Отношение косинуса к синусу не меняется при масштабировании вектора, поэтому можно работать прямо с $(\Delta x, \Delta y)$, не нормируя их:

Ответ: $ctg(\theta) = 0{,}4$.

Почему это важно. Заметь: в примере 3 не понадобилось находить длину вектора и нормировать координаты — отношение $\Delta x/\Delta y$ само по себе уже даёт котангенс, потому что при масштабировании вектора синус и косинус масштабируются одинаково, и их отношение не меняется. Это часто используемый в коде трюк: если тебе нужен только тангенс или котангенс направления, можно не тратить время на вычисление длины вектора и деление на неё.

Блок 3: Область определения — где эти функции ломаются

Забудь на секунду про формулы и вспомни, что и tg, и ctg — это дроби. А дробь ломается там, где в знаменателе ноль. Тангенс — это $\sin\alpha/\cos\alpha$, значит он не существует там, где $\cos\alpha = 0$. Котангенс — это $\cos\alpha/\sin\alpha$, он не существует там, где $\sin\alpha = 0$.

Геометрически это тоже понятно. $\cos\alpha = 0$ — это углы 90° и 270°, где точка на окружности находится строго сверху или снизу, на вертикальной оси. В этих точках "наклон" в смысле tg буквально становится вертикальным — а вертикальную стену нельзя описать конечным числом "подъём на единицу пути вперёд", потому что пути вперёд нет вообще. Тангенс здесь не "очень большое число" — он просто не существует.

Определение: $tg(\alpha)$ не существует при $\alpha = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ (в этих точках $\cos\alpha = 0$).

$ctg(\alpha)$ не существует при $\alpha = \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ (в этих точках $\sin\alpha = 0$).

Пример 1 (лёгкий): точки разрыва тангенса

Перечисли все точки на промежутке $[0; 2\pi]$, где $tg(x)$ не определён.

Решение:

Нужны решения $\cos x = 0$ на $[0; 2\pi]$: это $x = \pi/2$ и $x = 3\pi/2$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}$.

Пример 2 (средний): область определения со сдвигом

Найди область определения функции $y = tg\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.

Решение:

Функция не определена там, где аргумент тангенса равен $\pi/2 + \pi k$:

Ответ: область определения — все $x$, кроме $x = \dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{\pi k}{2}$.

Пример 3 (сложный): объединённая область определения

Найди область определения функции $y = tg(x) + ctg(x)$.

Решение:

Функция определена только там, где определены оба слагаемых одновременно. Тангенс требует $x \neq \pi/2 + \pi k$, котангенс требует $x \neq \pi k$. Объединяя запреты:

Заметь: вместе эти два условия исключают ровно все углы, кратные $\pi/2$ — и через $\pi/2 + \pi k$, и через $\pi k$ перебираются все целые кратные половины периода.

Ответ: область определения — все $x$, кроме $x = \dfrac{\pi k}{2},\ k \in \mathbb{Z}$.

Почему это важно. В коде деление на $\cos$ или $\sin$, близкий к нулю, не выбрасывает ошибку — оно возвращает огромное число (или inf), и вся дальнейшая цепочка вычислений тихо ломается, без явного исключения. Это ровно то же явление, что и log(0) в предыдущем уроке про логарифмы, только через тангенс. В 3D-графике и робототехнике это явление имеет собственное имя — gimbal lock: когда угол тангажа приближается к 90°, некоторые формулы преобразования углов (использующие как раз тангенс) становятся вырожденными, и система теряет одну степень свободы. Именно поэтому в реальных движках вращения часто представляют не углами Эйлера напрямую, а кватернионами — чтобы обойти эту особую точку вообще.

Блок 4: Период — почему π, а не 2π

Вот здесь интуиция от синуса и косинуса подводит почти всех. Ты помнишь, что $\sin$ и $\cos$ повторяются через полный оборот, $2\pi$. Логично предположить, что и тангенс с котангенсом повторяются так же. Но нет — они повторяются вдвое чаще, через $\pi$.

Представь, что ты стоишь в центре окружности и смотришь на точку, повёрнутую на угол α. Теперь поверни луч ещё на $180°$ — точка окажется строго в противоположном месте окружности: обе координаты сменят знак. Синус сменит знак, косинус сменит знак — сами по себе они не повторились. Но их отношение не заметит подмены: минус на минус даёт плюс, и tg(α) останется точно таким же числом.

Определение: Наименьший положительный период тангенса и котангенса равен π:

$$tg(\alpha + \pi) = tg(\alpha), \qquad ctg(\alpha + \pi) = ctg(\alpha)$$

Пример 1 (лёгкий): проверка через определение

Докажи, что $tg(x + \pi) = tg(x)$, используя только формулы $\sin(x+\pi) = -\sin x$ и $\cos(x + \pi) = -\cos x$.

Решение:

Минусы в числителе и знаменателе сокращаются — отсюда и период вдвое короче, чем у синуса и косинуса по отдельности.

Пример 2 (средний): период со сжатием по x

Найди период функции $y = tg(3x - 1)$.

Решение:

Пусть $T$ — искомый период. Требуется $tg(3(x+T) - 1) = tg(3x - 1)$, а это выполняется, когда аргумент увеличивается ровно на $\pi$:

Ответ: $T = \dfrac{\pi}{3}$.

Пример 3 (сложный): почему не бывает периода меньше π

Объясни, почему $\pi$ — это именно наименьший период, а не просто один из подходящих.

Решение:

Предположим, что существует период $0 < T < \pi$, такой что $tg(x + T) = tg(x)$ для всех допустимых $x$. Возьмём $x = 0$: тогда $tg(T) = tg(0) = 0$. Но на промежутке $(0; \pi)$ равенство $tg(T) = 0$ выполняется только при $\sin T = 0$, а на этом промежутке $\sin T = 0$ не имеет решений (синус положителен на всём $(0;\pi)$, кроме краёв). Значит, такого $T$ не существует, и $\pi$ действительно наименьший период.

Почему это важно. Половинный период — не просто занятная деталь, а источник частой ошибки при работе с направлениями. Тангенс "не различает" угол $\alpha$ и угол $\alpha + \pi$ — они дают одно и то же число. Это буквально означает, что тангенс кодирует направление прямой, но не направление луча (стрелки). Ориентация края на изображении (в задачах компьютерного зрения) — это как раз направление линии без стрелки, и потому она действительно $\pi$-периодична: край, идущий "слева направо и вверх", неотличим от края, идущего "справа налево и вниз" — это одна и та же линия. А вот направление движения объекта (где важно, куда именно он летит) требует полного $2\pi$-периодичного описания через $\text{atan2}$, а не просто через тангенс — об этом ещё поговорим в разделе с практикой.

Блок 5: Знаки по четвертям — быстрая прикидка без вычислений

Раз тангенс и котангенс — это отношения синуса и косинуса, их знак полностью определяется знаками sin и cos: одинаковые знаки дают положительное отношение, разные — отрицательное. Никаких вычислений не нужно — достаточно вспомнить, в какой четверти лежит угол.

Определение (мнемоника): Тангенс и котангенс положительны в I и III четвертях (там знаки sin и cos совпадают) и отрицательны во II и IV четвертях (там знаки sin и cos противоположны).

Пример 1 (лёгкий): знак по номеру четверти

Определи знак $ctg(300°)$.

Решение:

$300°$ лежит между $270°$ и $360°$ — это IV четверть. По таблице в IV четверти $ctg < 0$.

Ответ: $ctg(300°) < 0$.

Пример 2 (средний): знак по условиям на sin и cos

Известно, что $\cos\alpha > 0$ и $\sin\alpha < 0$. Определи знаки $tg(\alpha)$ и $ctg(\alpha)$.

Решение:

Условия $\cos\alpha > 0,\ \sin\alpha < 0$ описывают IV четверть. Числитель и знаменатель отношений имеют разные знаки, значит:

Ответ: оба отрицательны.

Пример 3 (сложный): уточнение четверти по двум признакам

Известно, что $tg(\theta) < 0$ и дополнительно $\cos\theta < 0$. В какой четверти лежит θ?

Решение:

$tg(\theta) < 0$ выполняется в двух четвертях — II и IV. Чтобы выбрать одну, используем второе условие: $\cos\theta < 0$ — это только II четверть (в IV четверти $\cos > 0$).

Ответ: II четверть.

Почему это важно. Пример 3 — это ровно то, чем занимается функция atan2(y, x) в любом языке программирования. Одного значения $tg(\theta) = y/x$ недостаточно, чтобы восстановить угол однозначно: из-за периода $\pi$ отношение $-3/4$ получится и во II, и в IV четверти. Чтобы разрешить эту неоднозначность, atan2 смотрит на знаки $x$ и $y$ по отдельности, а не только на их отношение — точно как в примере выше. Именно поэтому в коде, где важно восстановить полноценное направление (а не просто наклон линии), почти всегда используют atan2(y, x), а не atan(y / x).

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Вычисли $tg\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Задание 2: Вычисли $ctg\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$.

Задание 3: Вычисли $tg(0)$ и $ctg\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$.

Задание 4: При каких $x$ на отрезке $[0; 2\pi]$ функция $tg(x)$ не определена?

Задание 5: При каких $x$ на отрезке $[0; 2\pi]$ функция $ctg(x)$ не определена?

Задание 6: Вычисли $tg\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Задание 7: Вычисли $ctg\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Задание 8: Определи знак $tg(100°)$.

Задание 9: Чему равен наименьший положительный период функции $y = ctg(x)$? Докажи это, используя формулы $\sin(x+\pi) = -\sin x$, $\cos(x+\pi) = -\cos x$.

Задание 10: Тень от столба высотой 5 м имеет длину 5 м. Найди тангенс угла подъёма солнца над горизонтом.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Вычисли $tg\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$.

Задание 12: Вычисли $ctg\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)$.

Задание 13: Упрости выражение $\sin(\alpha) \cdot ctg(\alpha)$.

Задание 14: Докажи тождество $1 + tg^2(\alpha) = \dfrac{1}{\cos^2(\alpha)}$, используя $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Задание 15: Реши уравнение $tg(x) = 1$ на промежутке $[0; 2\pi)$.

Задание 16: Реши уравнение $ctg(x) = 0$ на промежутке $(0; \pi)$.

Задание 17: Тень от дерева высотой 6 м равна 8 м. Найди $tg$ угла подъёма солнца над горизонтом.

Задание 18: Разделяющая прямая линейной модели классификации задаётся уравнением $3x_1 + 4x_2 + b = 0$. Найди тангенс угла наклона этой прямой к оси $x_1$.

Задание 19: Вычисли $ctg\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$, используя тот факт, что котангенс — нечётная функция ($ctg(-x) = -ctg(x)$, потому что $\cos$ чётная, а $\sin$ нечётная).

Задание 20: Докажи алгебраически (используя определения через синус и косинус), что $tg(x + \pi) = tg(x)$.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Реши неравенство $tg(x) > 0$ на промежутке $(0; 2\pi)$.

Задание 22: Известно, что $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$, и угол α лежит во второй четверти. Найди $tg(\alpha)$ и $ctg(\alpha)$.

Задание 23: Найди область определения функции $y = tg(2x)$.

Задание 24: Найди период функции $y = tg(3x - 1)$.

Задание 25: Алгоритм выделения краёв на изображении (например, оператор Собеля) для каждого пикселя вычисляет две величины: $\Delta x$ — разность яркости соседних пикселей по горизонтали, $\Delta y$ — по вертикали (это просто конечные разности, не производная). Направление края находят как $\theta = \text{atan2}(\Delta y, \Delta x)$. Если $\Delta y = 3$, $\Delta x = 4$, найди $tg(\theta)$ и определи, в какой четверти лежит θ.

Задание 26: Позиционные эмбеддинги RoPE (Rotary Position Embeddings) поворачивают вектор признаков на угол θ с помощью матрицы поворота $\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$. После поворота единичного вектора $(1, 0)$ получили координаты $(\cos\theta, \sin\theta) = (0{,}6;\ 0{,}8)$. Найди $tg(\theta)$ и $ctg(\theta)$.

Задание 27: Реши уравнение $ctg(x) = -1$ на промежутке $[0; 2\pi]$.

Задание 28: Угол обзора камеры (FOV) связан с размером сенсора $s$ и фокусным расстоянием $f$ формулой $tg\left(\dfrac{\text{FOV}}{2}\right) = \dfrac{s}{2f}$. Для объектива с $s = 36$ мм, $f = 18$ мм найди $tg(\text{FOV}/2)$ и сам угол $\text{FOV}/2$ в градусах.

Задание 29: Циклический признак "час дня" кодируют парой $x = \cos\left(\dfrac{2\pi h}{24}\right)$, $y = \sin\left(\dfrac{2\pi h}{24}\right)$ для часа $h$. Для $h = 6$ (6 утра) найди $tg$ соответствующего угла. Что здесь особенного?

Задание 30: Отладка кода. Разработчик восстанавливает угол поворота вектора через math.atan(dy / dx). Для вектора $(-1, -1)$ ожидается угол $225°$, а функция возвращает $45°$. В чём ошибка и как её исправить?

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: путают, что куда — sin/cos или cos/sin

✅ Правильно: $tg(\alpha) = \sin\alpha / \cos\alpha$, $ctg(\alpha) = \cos\alpha / \sin\alpha = 1/tg(\alpha)$.

💡 Почему: проще всего запомнить одну формулу (например, для тангенса) и получать вторую как обратную величину — не нужно запоминать обе дроби отдельно.

❌ Ошибка 2: считают, что период tg и ctg равен $2\pi$, как у синуса и косинуса

✅ Правильно: период tg и ctg равен $\pi$.

💡 Почему: при повороте на $\pi$ и синус, и косинус меняют знак одновременно, и в отношении $\sin/\cos$ эти минусы взаимно сокращаются — функция "не замечает" половину оборота.

❌ Ошибка 3: забывают исключить точки области определения при решении уравнений

✅ Правильно: всегда проверяй, что найденное решение не попадает в точку, где $\cos\alpha = 0$ (для tg) или $\sin\alpha = 0$ (для ctg).

💡 Почему: формальные преобразования (например, домножение уравнения на $\sin$ или $\cos$) иногда "маскируют" деление на ноль, и в ответ проскакивает несуществующее значение.

❌ Ошибка 4: определяют знак tg или ctg наугад, а не по четверти

✅ Правильно: сначала определи четверть угла, затем по знакам sin и cos в этой четверти сделай вывод о знаке отношения.

💡 Почему: одинаковые знаки sin и cos (I и III четверти) дают положительный tg/ctg, разные знаки (II и IV) — отрицательный. Это надёжнее, чем пытаться "почувствовать" знак интуитивно.

❌ Ошибка 5: путают радианы и градусы в коде

✅ Правильно: функции вроде math.tan() в Python ожидают аргумент в радианах, а не в градусах — перед вызовом угол в градусах нужно умножить на $\pi/180$.

💡 Почему: math.tan(90) в Python вычислит тангенс от 90 радиан (это огромный угол, прошедший много полных оборотов), а вовсе не привычные 90 градусов — результат окажется совершенно не тем, что ожидалось.

❌ Ошибка 6: используют atan(y/x) там, где нужен полный угол по двум координатам

✅ Правильно: для восстановления направления вектора (а не просто наклона линии) используй atan2(y, x).

💡 Почему: из-за периода $\pi$ отношение $y/x$ не различает противоположные направления — векторы $(1,1)$ и $(-1,-1)$ дают одинаковый тангенс, хотя смотрят в разные стороны.

Главное запомнить

✅ $tg(\alpha) = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $ctg(\alpha) = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{1}{tg(\alpha)}$ — это одна и та же идея, вывернутая наизнанку.

✅ На единичной окружности $tg(\alpha)$ — это отношение y-координаты точки к x-координате.

✅ $tg(\alpha)$ не существует при $\alpha = \pi/2 + \pi k$ (там $\cos\alpha = 0$); $ctg(\alpha)$ не существует при $\alpha = \pi k$ (там $\sin\alpha = 0$).

✅ Период tg и ctg равен $\pi$, а не $2\pi$ — потому что при повороте на $\pi$ синус и косинус меняют знак одновременно, и минусы в отношении сокращаются.

✅ Знак tg и ctg определяется совпадением знаков sin и cos: положительны в I и III четвертях, отрицательны во II и IV.

✅ $ctg(\alpha) = tg(90° - \alpha)$ — отсюда и приставка "ко-", как в косинусе.

✅ Несуществующее значение — это не "очень большое число": в коде деление на $\cos$ или $\sin$, близкий к нулю, тихо ломает вычисления, если не проверять их заранее.

✅ Из-за периода $\pi$ одно только значение тангенса не может однозначно восстановить направление — для этого нужна функция atan2(y, x), учитывающая знаки обеих координат по отдельности.

✅ Тангенс — это буквально наклон прямой: в линейных моделях, объективах камер и графике углы почти всегда встречаются с миром чисел именно через tg и ctg.

✅ Специальные значения ($\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$) стоит помнить наизусть — они постоянно всплывают в задачах и приложениях.

Связь с другими темами курса

Этот урок напрямую опирается на определение синуса и косинуса (урок 93) — tg и ctg не вводят новой геометрии, а лишь берут отношение уже знакомых координат. В следующем уроке, "Основное тригонометрическое тождество" (урок 95), мы формально выведем и докажем тождества вроде $1 + tg^2\alpha = 1/\cos^2\alpha$, которые уже мелькнули в практике этого урока, и покажем, как tg и ctg связаны с sin и cos системой формул, а не только определением.

Дальше в курсе тангенс и котангенс станут главными героями тригонометрических уравнений и неравенств — там пригодится всё, что мы сегодня узнали про область определения, период и знаки. Позже будут обратные тригонометрические функции (arctg, arcctg), которые мы уже осторожно использовали в этом уроке, не вдаваясь в детали. А в уроке 133, когда дойдём до производной, ты увидишь, что график $y = tg(x)$ становится вертикальным именно в тех точках, где функция сегодня "ломается" — но это уже совсем другая история, и трогать её раньше времени не будем.

За пределами школьного курса тангенс и котангенс — рабочий инструмент в компьютерном зрении (направление края изображения через atan2), в компьютерной графике и робототехнике (углы обзора камеры, повороты, проблема gimbal lock), в позиционных эмбеддингах трансформеров (RoPE поворачивает векторы признаков на угол, зависящий от позиции токена) и в интерпретации весов линейных моделей (наклон решающей границы).

Интересные факты

💡 Слово "тангенс" не про функцию, а про отрезок. Изначально (Томас Финке, 1583 год) тангенс определяли как длину отрезка на прямой, касающейся окружности — отсюда и "касание" в названии. Современное определение через $\sin/\cos$ появилось позже и оказалось куда удобнее для вычислений.

💡 Таблицы тангенса и котангенса старше самого термина на восемь веков. Арабский астроном ал-Баттани в IX веке составлял таблицы "тени гномона" для разных широт — это фактически таблицы значений tg и ctg, просто под другим названием и с другой единицей измерения (в длинах тени, а не в отвлечённых числах).

💡 Gimbal lock — реальная инженерная проблема, а не абстракция. Когда угол тангажа в системе с тремя вращающимися кольцами (гимбалами) приближается к 90°, формулы преобразования углов, использующие тангенс, вырождаются, и система теряет одну степень свободы. Инженеры NASA столкнулись с этим на миссии Apollo 11 — бортовой компьютер предупреждал астронавтов о приближении к этой опасной зоне. Именно эта проблема — одна из причин, почему в современной 3D-графике вращения чаще представляют кватернионами, а не углами Эйлера.

💡 Тангенс "не видит" направление стрелки. Из-за периода $\pi$ тангенс одинаково реагирует на прямую, идущую "туда", и на ту же прямую, идущую "обратно". Это свойство используют намеренно: например, ориентация края на изображении по своей природе не имеет направления (это же просто линия), и потому её корректно описывать именно через $\pi$-периодичный тангенс, а не через полноценный $2\pi$-периодичный угол.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Не запоминай две таблицы — запоминай одну и переворачивай. Таблица значений ctg — это перевёрнутая таблица tg (то есть $1/tg$) для тех же углов. Выучил $tg(\pi/6) = \sqrt3/3$, $tg(\pi/4) = 1$, $tg(\pi/3) = \sqrt3$ — котангенс для тех же углов получаешь простым переворотом дроби.

2. Область определения — по тому, что в знаменателе. "Тангенс убивает косинус, котангенс убивает синус" — если в формуле $\sin/\cos$, ищи, где $\cos = 0$; если $\cos/\sin$, ищи, где $\sin = 0$. Не нужно каждый раз выводить это заново.

3. Знак — по совпадению знаков sin и cos, а не по памяти. Вместо того чтобы зубрить "в какой четверти tg положителен", просто вспомни знаки sin и cos в этой четверти и перемножь их мысленно (плюс на плюс — плюс, минус на минус — тоже плюс, плюс на минус — минус).

4. В коде — всегда atan2, если нужен угол, а не просто наклон. Как только тебе нужно однозначно восстановить направление вектора по его компонентам, не собирай отношение y/x вручную для передачи в atan — сразу используй atan2(y, x): он сам разберётся со знаками и вернёт угол в правильной четверти без дополнительных проверок.

5. Общее решение уравнения $tg(x) = a$ — одна серия, а не две. В отличие от уравнений с sin или cos, где обычно две серии решений, у тангенса и котангенса период уже "встроен" в общую формулу: $x = \text{arctg}(a) + \pi k$. Не нужно отдельно искать "второе семейство" решений, как для синуса.

6. Проверяй ответ через $ctg = 1/tg$. Если посчитал tg и нужен ctg (или наоборот) — не пересчитывай с нуля через определение, просто возьми обратную величину. Это одновременно и способ сэкономить время, и способ проверить себя: если два независимых вычисления не дают друг друга обратными, где-то ошибка.

Тангенс и котангенс — это не какая-то отдельная новая тема, а синус и косинус, на которые ты теперь умеешь смотреть под другим углом: не как на координаты точки, а как на её наклон. Освоив, где эти функции ломаются, с каким периодом повторяются и как быстро определить их знак, ты готов к следующему шагу — уроку об основном тригонометрическом тождестве, где все эти четыре функции — sin, cos, tg, ctg — наконец соберутся в одну согласованную систему формул.