Формулы половинного угла 🌗

Представь, что ты пишешь код для 3D-игры или робота-манипулятора, и объект нужно повернуть не на весь угол сразу, а плавно, кадр за кадром. Или ты работаешь над моделью компьютерного зрения, которая определяет ориентацию объекта на фотографии, а промежуточный шаг требует «разрезать» найденный угол пополам. В обоих случаях тебе понадобится не сам угол $x$, а его половина $x/2$ — и вопрос в том, как выразить $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$ и $\mathrm{tg}(x/2)$ через уже известные $\sin x$ и $\cos x$, не решая заново тригонометрическое уравнение с нуля.

Именно этим мы и займёмся в этом уроке. Формулы половинного угла — это не новая порция теории, а прямое следствие формул двойного угла, которые ты уже знаешь из прошлого урока. По сути, мы просто посмотрим на те же формулы с другого конца: если формулы двойного угла отвечают на вопрос «что будет, если угол удвоить», то формулы половинного угла отвечают на вопрос «что будет, если угол разделить пополам». Один и тот же математический факт, два направления использования.

По пути мы разберём формулы понижения степени — способ избавиться от $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$, заменив их на $\cos(2x)$. Это не побочный трюк, а рабочий инструмент, который используется, например, при расчёте средней мощности сигнала в цифровой обработке звука. А в конце доберёмся до одной из самых красивых идей школьной тригонометрии — универсальной подстановки $t = \mathrm{tg}(x/2)$, которая превращает любое тригонометрическое уравнение в обычное алгебраическое уравнение с дробями и многочленами.

Ты узнаешь:

🎯 Откуда берутся формулы понижения степени и зачем они нужны

🎯 Как вывести $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$ и $\mathrm{tg}(x/2)$ из формул двойного угла

🎯 Почему знак перед корнем — это не формальность, а самая частая причина ошибок

🎯 Что такое универсальная подстановка и почему она встречается в кватернионах, компьютерной графике и обработке сигналов

История: откуда это взялось? 📜

Задолго до того, как появилась привычная нам запись $\sin x$ и $\cos x$, древнегреческий астроном Гиппарх, а вслед за ним Клавдий Птолемей во II веке н.э. составляли таблицы хорд — отрезков, стягивающих дугу окружности данного угла. Чтобы построить такую таблицу с шагом в полградуса, Птолемею требовалось уметь находить хорду половины угла, зная хорду самого угла. Формула, которую он вывел в своём труде «Альмагест», по сути и есть формула половинного угла — просто записанная на языке хорд, а не синусов. Синус тогда ещё не изобрели, но математика уже требовала «разрезать» угол пополам.

Спустя несколько веков персидские и арабские математики — ат-Туси, аль-Бируни, аль-Баттани — продолжили эту традицию, работая уже с полухордами (это и есть по сути синус) ради всё той же цели: точных астрономических таблиц для навигации и календарей. Деление угла пополам было не абстрактной прихотью, а практической необходимостью: зная точные значения для 30°, 45°, 60°, можно было получить 15°, 22.5°, 7.5° — и так далее, дробя угол сколько угодно раз и постепенно покрывая всю окружность значениями, которые невозможно было измерить экспериментально с достаточной точностью.

Сегодня формулы половинного угла редко используются для построения таблиц — с этим прекрасно справляется калькулятор. Но сама идея «выразить половину через целое» оказалась неожиданно живучей: она лежит в основе представления поворотов в 3D-графике и робототехнике (кватернионы), в основе преобразования сложных тригонометрических уравнений в простые алгебраические (универсальная подстановка) и в основе формул, которыми инженеры считают среднюю мощность переменного тока. Птолемей делил угол пополам, чтобы составить таблицу для навигаторов. Мы делаем то же самое, чтобы повернуть 3D-модель на экране.

Формулы понижения степени: смотрим на двойной угол с другой стороны

Интуиция

Вспомни из прошлого урока три формулы косинуса двойного угла:

Последние две формулы особенно интересны, потому что в них участвует только одна тригонометрическая функция в квадрате. Давай разберёмся, что будет, если мы просто выразим $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$ через $\cos(2x)$ — то есть решим эти равенства как обычные уравнения относительно $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$.

Из $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ выражаем:

Из $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ выражаем:

Вот и всё. Это и есть формулы понижения степени: они позволяют заменить квадрат синуса или косинуса (степень 2) на обычный косинус двойного угла (степень 1) — отсюда и название. Представь, что у тебя в выражении «застрял» $\sin^2 x$, который неудобно упрощать или анализировать — а после применения формулы он превращается в линейное выражение с $\cos(2x)$, с которым работать намного проще.

Определение: Формулы понижения степени выражают квадраты синуса и косинуса угла $x$ через косинус удвоенного угла:

$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

Знака $\pm$ здесь нет и не может быть — слева стоит квадрат, а он всегда неотрицателен, и обе правые части автоматически дают неотрицательный результат при любом $x$.

Пример 1 (лёгкий)

Проверим формулу на знакомом значении. Найди $\cos^2(45°)$, используя $\cos(90°) = 0$.

Решение:

Проверка: мы знаем, что $\cos(45°) = \dfrac{\sqrt2}{2}$, значит $\cos^2(45°) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ ✅ — формула сработала на знакомом угле, значит, ей можно доверять.

Пример 2 (средний)

Найди значение выражения $\cos^2(75°) - \sin^2(75°)$, не вычисляя $\cos 75°$ и $\sin 75°$ напрямую.

Решение:

Заметь: перед нами прямо разность $\cos^2 x - \sin^2 x$ при $x = 75°$ — а это ровно левая часть формулы двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Не нужно ничего понижать, достаточно узнать в выражении знакомую формулу:

Ответ: $-\dfrac{\sqrt3}{2} \approx -0.866$

Вывод: формулы двойного угла и формулы понижения степени — это одна и та же связка фактов, которую можно применять в обе стороны: собирать квадраты в косинус двойного угла или, наоборот, раскладывать косинус двойного угла в квадраты.

Пример 3 (сложный, применение)

В цифровой обработке звука (DSP) сигнал переменного напряжения часто описывают как $u(t) = A\sin(\omega t)$, где $A$ — амплитуда. Средняя мощность такого сигнала на единичном сопротивлении пропорциональна не самой амплитуде, а среднему значению $\sin^2(\omega t)$ за период. Покажи, используя формулу понижения степени, что это среднее значение равно $\dfrac{1}{2}$, и найди среднюю мощность сигнала с амплитудой $A = 5$.

Решение:

По формуле понижения степени:

Слагаемое $\cos(2\omega t)$ — это обычная колеблющаяся синусоида, которая за одно полное колебание (или за любое целое число колебаний) проводит ровно поровну времени выше и ниже нуля. Поэтому её среднее значение за период равно нулю, и в среднем остаётся только константа:

Средняя мощность пропорциональна $A^2 \cdot \overline{\sin^2(\omega t)} = A^2 \cdot \dfrac{1}{2}$. При $A = 5$:

Ответ: среднее значение $\sin^2(\omega t)$ равно $\dfrac{1}{2}$ независимо от частоты $\omega$; средняя мощность сигнала с амплитудой 5 пропорциональна 12.5.

Почему это важно: именно из этого факта происходит знакомое инженерам число $\dfrac{1}{\sqrt2} \approx 0.707$ — коэффициент, связывающий амплитуду переменного тока с его действующим (RMS) значением. Он используется буквально в каждом бытовом приборе переменного тока и в каждой библиотеке для анализа аудиосигналов (librosa.feature.rms, извлечение признаков громкости для моделей распознавания речи). Формула понижения степени — это не абстракция, а прямой источник константы, которую ты увидишь в документации любой аудио-ML-библиотеки.

Косинус половинного угла

Интуиция

Теперь сделаем один простой, но мощный трюк: возьмём формулу понижения степени для $\cos^2 x$ и просто переименуем переменную. Пусть роль «двойного угла» $2x$ у нас теперь играет какой-то угол $x$, а «половина» этого угла — это $x/2$. Формально: подставим в формулу понижения степени вместо $x$ выражение $x/2$.

Было: $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$. Заменяем $x \to x/2$ (тогда $2x \to x$):

Больше здесь ничего не «изобреталось» — это буквально та же самая формула, записанная для другой пары углов. Представь, что формула понижения степени и формула половинного угла — это один и тот же чертёж, просто повёрнутый на 180°: там, где раньше был «двойной угол», теперь стоит просто «угол», а где раньше был «угол» — теперь «половина угла».

Осталось извлечь корень, чтобы получить сам $\cos(x/2)$, а не его квадрат — и вот здесь появляется единственная тонкость всей темы.

Определение: Косинус половинного угла выражается через косинус целого угла по формуле

$$\cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$$

Знак перед корнем выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол $x/2$ (не $x$!). Если $x/2$ лежит в I или IV четверти, косинус положителен, знак «+». Если во II или III — косинус отрицателен, знак «−».

Пример 1 (лёгкий)

Найди $\cos(30°)$, используя формулу половинного угла и известное значение $\cos(60°) = \dfrac12$.

Решение:

Здесь $x = 60°$, значит $x/2 = 30°$ — угол первой четверти, косинус там положителен.

Ответ: $\cos(30°) = \dfrac{\sqrt3}{2} \approx 0.866$ — ровно то табличное значение, которое ты и так знаешь. Формула отработала корректно на проверочном примере.

Пример 2 (средний)

Найди $\cos(75°)$, используя $\cos(150°) = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Решение:

$x = 150°$, значит $x/2 = 75°$ — по-прежнему первая четверть, косинус положителен.

Это выражение можно упростить до более привычного вида: $\sqrt{2-\sqrt3} = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt2}$, откуда

Замечание: обрати внимание, что это то же самое число, что и $\sin(15°)$ — потому что $75° = 90° - 15°$, а $\cos(90°-\alpha) = \sin\alpha$. Формулы половинного угла прекрасно согласуются с формулами приведения, которые ты изучал раньше.

Пример 3 (сложный)

Найди $\cos(x/2)$, если известно, что $\cos x = \dfrac{1}{9}$ и $x \in (270°, 360°)$.

Решение:

Шаг 1. Определим, в какой четверти лежит $x/2$. Раз $x \in (270°, 360°)$, то, разделив всё неравенство на 2:

Это вторая четверть — там косинус отрицателен. Значит, перед корнем нужно взять знак «минус».

Шаг 2. Подставим в формулу:

Шаг 3. Извлекаем корень с уже определённым знаком:

Ответ: $\cos(x/2) = -\dfrac{\sqrt5}{3} \approx -0.745$

Почему это важно: этот пример — самый типичный источник ошибок на экзамене. Формула для $\cos^2(x/2)$ сама по себе ничего не «знает» про четверть — она честно выдаёт квадрат, из которого можно извлечь и плюс, и минус корень. Определить правильный знак — отдельная задача, которую нужно решать раньше, чем считать сам корень, а не после.

Синус половинного угла

Интуиция

Абсолютно та же логика, только берём вторую формулу понижения степени — для $\sin^2 x$ — и делаем ту же замену $x \to x/2$:

Было: $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$. После замены $x \to x/2$ (тогда $2x \to x$):

Представь себе пару формул для синуса и косинуса половинного угла как зеркальные близнецы: они выглядят почти одинаково, отличаются только знаком в числителе. Косинус половинного угла «любит» плюс перед $\cos x$ (потому что при $x=0$ угол $x/2$ тоже равен нулю, а $\cos 0 = 1$ — максимум), а синус — минус (потому что при $x = 0$ должно получаться $\sin 0 = 0$). Эта симметрия — хорошая подсказка для запоминания: если сомневаешься, какая формула для чего, подставь $x = 0$ мысленно и посмотри, какая формула даёт правильный тривиальный ответ.

Определение: Синус половинного угла выражается через косинус целого угла по формуле

$$\sin\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$$

Знак снова определяется четвертью угла $x/2$: «+», если $x/2$ лежит в I или II четверти (там синус положителен), «−» — если в III или IV.

Пример 1 (лёгкий)

Найди $\sin(45°)$, используя $\cos(90°) = 0$.

Решение:

$x = 90°$, значит $x/2 = 45°$ — первая четверть, синус положителен.

Ответ: $\sin(45°) = \dfrac{\sqrt2}{2} \approx 0.707$ ✅ — снова знакомое табличное значение, формула подтверждена.

Пример 2 (средний)

Найди $\sin(75°)$, используя $\cos(150°) = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Решение:

$x/2 = 75°$ — первая четверть, синус положителен.

Замечание: и снова совпадение по формулам приведения — $\sin(75°) = \cos(15°)$, и мы уже вычисляли это число в блоке про косинус половинного угла. Тригонометрия внутренне очень «состыкована»: разные формулы то и дело приводят к одним и тем же числам.

Пример 3 (сложный, применение)

Инженер-оптик настраивает зеркало, которое должно отражать луч так, чтобы угол между падающим и отражённым лучом был тупым, $\cos x = -0.28$ (при $x \in (90°, 180°)$). По закону отражения нормаль к зеркалу делит этот угол ровно пополам — то есть направление нормали определяется углом $x/2$. Найди $\sin(x/2)$ и $\cos(x/2)$.

Решение:

Шаг 1. Четверть: $x \in (90°,180°) \Rightarrow x/2 \in (45°,90°)$ — первая четверть, обе функции положительны.

Шаг 2.

Проверка: $\sin^2 + \cos^2 = 0.64+0.36 = 1$ ✅

Ответ: $\sin(x/2) = 0.8$, $\cos(x/2) = 0.6$

Почему это важно: биссектриса угла между лучами — это ровно направление половинного угла, и именно эта идея (вектор «half-way» между двумя направлениями) лежит в основе моделей освещения в компьютерной графике — например, модели Блинна — Фонга, которая используется в рендеринге, в том числе при генерации синтетических изображений для обучения моделей компьютерного зрения. «Половинный вектор» (half-vector) между направлением на источник света и направлением на камеру — это не метафора, а буквально применение формул этого урока.

Тангенс половинного угла и универсальная подстановка

Интуиция

Для тангенса можно было бы просто поделить формулу синуса на формулу косинуса:

Это рабочая формула, но с ней неудобно: два отдельных корня, два знака, нужно определять четверть заново. Давай разберёмся, можно ли избавиться от корня и от знака $\pm$ вообще. Домножим числитель и знаменатель дроби $\dfrac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}$ на $2\cos(x/2)$:

(в числителе мы узнали формулу двойного угла $\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$, а в знаменателе — уже знакомую формулу $2\cos^2(x/2) = 1+\cos x$). А если вместо этого домножить на $2\sin(x/2)$, получится второй, тоже безопасный вариант:

Ни в одной из этих двух формул нет квадратного корня — а значит, нет и вопроса про знак: он «зашит» внутри знака $\sin x$ или $1+\cos x$ автоматически.

Определение: Тангенс половинного угла выражается через синус и косинус целого угла без извлечения корня:

$$\mathrm{tg}\frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1+\cos x} = \frac{1-\cos x}{\sin x}$$

Первая формула не работает при $\cos x = -1$ (там $x/2 = 90°+180°k$, и тангенс не определён), вторая — при $\sin x = 0$. На практике при $\sin x \ne 0$ используют любую из двух — они дают одинаковый результат.

Пример 1 (лёгкий)

Найди $\mathrm{tg}(45°)$, используя $\cos(90°)=0$, $\sin(90°)=1$.

Решение:

Ответ: $\mathrm{tg}(45°) = 1$ ✅ — совпадает с табличным значением.

Пример 2 (средний)

Найди $\mathrm{tg}(60°)$, используя $\cos(120°) = -0.5$, $\sin(120°) = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Решение:

Ответ: $\mathrm{tg}(60°) = \sqrt3 \approx 1.732$ ✅ — снова знакомое значение, подтверждаем формулу.

Пример 3 (сложный) — универсальная подстановка

Обозначим $t = \mathrm{tg}(x/2)$. Тогда, преобразовав формулы этого блока и блоков про синус/косинус половинного угла (это стандартный, хорошо известный результат), можно выразить весь угол $x$ через $t$:

Эта замена называется универсальной тригонометрической подстановкой — потому что она превращает любое уравнение с $\sin x$ и $\cos x$ в рациональное алгебраическое уравнение относительно $t$. Реши с её помощью уравнение $\sin x + \cos x = 1$.

Решение:

Подставим:

Знаменатели одинаковые, складываем числители:

Получили обычное алгебраическое уравнение — произведение равно нулю, значит, $t=0$ или $t=1$.

Случай $t=0$: $\mathrm{tg}(x/2) = 0 \Rightarrow x/2 = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$.

Случай $t=1$: $\mathrm{tg}(x/2) = 1 \Rightarrow x/2 = \dfrac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}+2\pi n$.

Проверка: при $x=0$: $\sin0+\cos0 = 0+1=1$ ✅. При $x=\pi/2$: $\sin(\pi/2)+\cos(\pi/2)=1+0=1$ ✅.

Ответ: $x = 2\pi n$ или $x = \dfrac{\pi}{2}+2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Почему это важно: мы только что превратили тригонометрическое уравнение в квадратное уравнение — без единой формулы приведения, без подбора углов. Это ровно та причина, по которой универсальную подстановку называют «швейцарским ножом» тригонометрии: она не самая быстрая для простых уравнений, зато работает всегда, когда другие приёмы буксуют. В университетском курсе математического анализа эта же замена (там её обычно называют подстановкой Вейерштрасса) используется для сведения сложных тригонометрических выражений к рациональным дробям — это тема далеко впереди, но сама подстановка тебе уже знакома.

Где это реально используется: от 3D-графики до анализа сигналов

Формулы половинного угла — редкий случай школьной темы, которая почти без изменений «доживает» до профессиональных инструментов. Вот три конкретных места, где ты столкнёшься с ней снова.

Повороты в 3D и кватернионы. В компьютерной графике, робототехнике и компьютерном зрении поворот объекта в пространстве на угол $\theta$ вокруг оси, заданной единичным вектором, принято кодировать не самим углом, а кватернионом — набором из четырёх чисел, где скалярная часть равна $\cos(\theta/2)$, а «векторная» часть пропорциональна $\sin(\theta/2)$. Например, поворот на $90°$ вокруг оси $Z$ задаётся кватернионом с скалярной частью $\cos(45°) = \sqrt2/2$ — и это число мы получаем ровно по формуле половинного угла из $\cos(90°) = 0$. Почему используют именно половину угла, а не сам угол? Потому что при таком кодировании два последовательных поворота перемножаются особым образом (произведением кватернионов), и именно свойства $\cos(\theta/2)$, $\sin(\theta/2)$ делают эту операцию корректной и без разрывов — что критично для плавной интерполяции поворотов (алгоритм SLERP в анимации и робототехнике) и для регрессии ориентации объекта в моделях компьютерного зрения.

Анализ сигналов. Мы уже видели: формула понижения степени $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ — это прямой источник коэффициента $\dfrac{1}{\sqrt2}$, связывающего амплитуду синусоидального сигнала с его среднеквадратичным (RMS) значением. Эта же логика лежит в основе вычисления энергии окна сигнала в библиотеках обработки звука — шаг, который происходит перед тем, как аудиозапись попадёт на вход нейросети для распознавания речи или классификации звука.

Циклические признаки в Data Science. Когда в задаче машинного обучения признаком служит угол — направление ветра, время суток, положение стрелки компаса, фаза сердечного цикла — его нельзя подавать в модель как обычное число: у значений $359°$ и $1°$ должно быть маленькое расстояние, а не почти максимальное. Стандартный приём — кодировать угол парой $(\cos x, \sin x)$, чтобы разрыв на границе $0°/360°$ исчез. Формулы половинного угла показывают, что это кодирование не теряет информацию: зная $\cos x$ и $\sin x$, можно однозначно (с точностью до выбора четверти) восстановить и $\cos(x/2)$, $\sin(x/2)$ — то есть работать с «половинным» направлением, если это нужно модели.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Найди $\cos(15°)$, используя формулу половинного угла и $\cos(30°) = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Задание 2: Найди $\sin(15°)$, используя $\cos(30°) = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Задание 3: Найди $\mathrm{tg}(15°)$, используя $\cos(30°) = \dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin(30°)=\dfrac12$.

Задание 4: Найди $\cos(22.5°)$, используя $\cos(45°) = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

Задание 5: Найди $\sin(22.5°)$, используя $\cos(45°) = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

Задание 6: Найди $\mathrm{tg}(22.5°)$, используя $\cos(45°) = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin(45°) = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

Задание 7: Упрости выражение $2\cos^2(x/2) - 1$.

Задание 8: Упрости выражение $\dfrac{\sin x}{2\cos^2(x/2)}$.

Задание 9: Чему равно $\sin^2(x/2) + \cos^2(x/2)$ при любом $x$?

Задание 10: Дано $\cos x = 0.6$, $x \in (0°, 90°)$. Найди $\cos(x/2)$ и $\sin(x/2)$.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Дано $\cos x = -0.6$, $x \in (90°, 180°)$. Найди $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$, $\mathrm{tg}(x/2)$.

Задание 12: Реши уравнение $\sin^2(x/2) = \dfrac14$ на промежутке $[0°,360°)$.

Задание 13: Известно, что $\mathrm{tg}(x/2) = \dfrac13$. Найди $\sin x$ и $\cos x$, используя универсальную подстановку.

Задание 14: Упрости выражение $\dfrac{\sin x}{1-\cos x}$.

Задание 15: Докажи тождество $\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x} = \mathrm{tg}^2\dfrac x2$.

Задание 16: Сигнал $s(t) = 5\sin(t)$ подаётся на анализатор громкости. Найди среднеквадратичное значение (RMS) сигнала, используя формулу понижения степени.

Задание 17: Известно, что $\mathrm{tg}(x/2) = 2$. Найди $\cos x$ и $\sin x$.

Задание 18: Дано $\cos x = \dfrac{7}{25}$, $x \in (270°, 360°)$. Найди $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$, $\mathrm{tg}(x/2)$.

Задание 19: Упрости выражение $(1+\cos x)\cdot\mathrm{tg}\dfrac x2$.

Задание 20: В задаче по прогнозированию направления ветра угол $x$ закодирован для нейросети как пара $(\cos x, \sin x) = (0, 1)$. Найди $\cos(x/2)$ и $\sin(x/2)$ и убедись, что кодирование не теряет информацию о половинном направлении.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Найди $\sin(7.5°)$ без калькулятора.

Задание 22: Докажи тождество $\mathrm{tg}\dfrac x2 + \mathrm{ctg}\dfrac x2 = \dfrac{2}{\sin x}$.

Задание 23: Реши уравнение $\cos x + \cos\dfrac x2 = 0$.

Задание 24: Дано $\cos x = -\dfrac35$, $x \in (180°, 270°)$. Найди $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$, $\mathrm{tg}(x/2)$.

Задание 25: Нейросеть компьютерного зрения определила ориентацию стрелки прибора на фото как $(\cos x, \sin x) = (-0.8, 0.6)$, $x \in (0°,180°)$. Для интерполяции поворота стрелки за половину кадра анимации нужно найти $\cos(x/2)$ и $\sin(x/2)$.

Задание 26: Докажи, что $\dfrac{1-\mathrm{tg}^2(x/2)}{1+\mathrm{tg}^2(x/2)} = \cos x$.

Задание 27: Найди все решения уравнения $\sin(x/2) = \cos(x/2)$ на промежутке $[0, 4\pi)$.

Задание 28: Скалярная часть единичного кватерниона поворота равна $w=\cos(\theta/2) = 0.9239$. Найди $\cos\theta$, используя $w^2 = \dfrac{1+\cos\theta}{2}$.

Задание 29: Реши уравнение $4\sin^2(x/2) - 3 = 0$ на промежутке $[0°,360°)$.

Задание 30: Отладка кода. Найди ошибку в функции и исправь её.

import numpy as np

def half_angle_cos(cos_x):
    # Хотим вычислить cos(x/2) по формуле половинного угла
    val = (1 + cos_x) / 2
    return np.sqrt(val)  # всегда ли это правильно?

# x = 200°, cos(200°) ≈ -0.9397
# Тогда x/2 = 100° — это ВТОРАЯ четверть, cos(100°) должен быть ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ
result = half_angle_cos(-0.9397)
print(result)  # Получаем: 0.1736 (положительное число!)
# Но истинное значение cos(100°) ≈ -0.1736

import numpy as np

def half_angle_cos(cos_x, quadrant_sign=1):
    val = (1 + cos_x) / 2
    return quadrant_sign * np.sqrt(val)

# x/2 = 100° лежит во II четверти → косинус отрицателен → sign = -1
result = half_angle_cos(-0.9397, quadrant_sign=-1)
print(result)  # -0.1736 — верно!

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: выбор знака по четверти угла $x$, а не $x/2$

Самая частая ошибка на этой теме. Даже если $x$ лежит в третьей четверти, это ничего не говорит напрямую про четверть $x/2$ — сначала раздели диапазон значений $x$ пополам и только потом смотри, какая четверть получилась.

✅ Всегда явно выписывай диапазон для $x/2$ (например, «$x\in(180°,270°) \Rightarrow x/2\in(90°,135°)$») перед тем, как выбирать знак корня.

❌ Ошибка 2: путаница, где плюс, а где минус, в формулах понижения степени

Легко перепутать $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos2x}{2}$ и $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos2x}{2}$ местами.

✅ Мнемоника: у синуса «минус», у косинуса «плюс» — в алфавитном порядке буква «к» (косинус) идёт после «с» (синус)... но надёжнее просто подставить $x=0$: тогда $\sin^2 0 = 0$ должен получиться из формулы с минусом ($\frac{1-\cos0}{2}=\frac{1-1}{2}=0$ ✅), а $\cos^2 0=1$ — из формулы с плюсом ($\frac{1+1}{2}=1$ ✅).

❌ Ошибка 3: использование формулы $\mathrm{tg}(x/2)=\frac{\sin x}{1+\cos x}$ без проверки области определения

При $\cos x = -1$ знаменатель обращается в ноль, а сам $\mathrm{tg}(x/2)$ в этой точке действительно не определён ($x/2 = 90°+180°k$) — но об этом легко забыть и получить деление на ноль в вычислениях.

✅ Проверяй знаменатель перед подстановкой; если он равен нулю, используй вторую форму $\mathrm{tg}(x/2)=\frac{1-\cos x}{\sin x}$.

❌ Ошибка 4: забывают, что период у формул с $x/2$ вдвое больше

Если $\cos x$ имеет период $2\pi$, то $\cos(x/2)$ имеет период $4\pi$. При решении уравнений с половинным углом это часто приводит к потере части решений или к их задвоению.

✅ Решая уравнение с $x/2$, всегда указывай общее решение с правильным шагом периода — и лучше сразу проверь пару значений $n$ подстановкой в исходное уравнение.

❌ Ошибка 5: путают формулы половинного и двойного угла структурно

Формулы двойного угла выражают функцию большего угла через функции меньшего (произведения и разности квадратов), а половинного — наоборот, функцию меньшего угла через функцию большего (через $1\pm\cos x$ под корнем).

✅ Если видишь под корнем выражение вида $1\pm\cos(\text{что-то})$ — это почти наверняка формула половинного угла, а не двойного.

❌ Ошибка 6: не упрощают ответ с вложенными радикалами

Оставляют ответ в виде $\sqrt{\dfrac{2+\sqrt3}{4}}$ вместо приведения к более компактному $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

✅ Для углов вида $15°$, $75°$, $22.5°$ и им подобных всегда стоит попробовать разложить подкоренное выражение — часто оно сворачивается в сумму или разность двух более простых корней.

Главное запомнить

✅ Формулы понижения степени заменяют квадраты синуса и косинуса на косинус двойного угла: $\sin^2x = \dfrac{1-\cos2x}{2}$, $\cos^2x = \dfrac{1+\cos2x}{2}$.

✅ Формулы половинного угла — это те же формулы, просто переименованные: $\sin^2\dfrac x2 = \dfrac{1-\cos x}{2}$, $\cos^2\dfrac x2 = \dfrac{1+\cos x}{2}$.

✅ Извлекая корень, всегда определяй знак по четверти угла $x/2$, а не $x$ — это главный источник ошибок в этой теме.

✅ Для тангенса половинного угла есть формулы без корня и без знака: $\mathrm{tg}\dfrac x2 = \dfrac{\sin x}{1+\cos x} = \dfrac{1-\cos x}{\sin x}$.

✅ Универсальная подстановка $t=\mathrm{tg}\dfrac x2$ выражает весь угол рационально: $\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ — и превращает тригонометрическое уравнение в алгебраическое.

✅ Период функций вида $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$ равен $4\pi$, а не $2\pi$ — это нужно учитывать при записи общего решения уравнений.

✅ В компьютерной графике и робототехнике скалярная часть единичного кватерниона поворота равна именно $\cos(\theta/2)$, а не $\cos\theta$.

✅ В обработке сигналов формула понижения степени — прямой источник коэффициента $\dfrac{1}{\sqrt2}$, связывающего амплитуду с действующим значением.

✅ В Data Science циклические признаки (углы, время суток, направление) кодируют парой $(\cos x,\sin x)$ — и по ней всегда можно однозначно восстановить и половинное направление.

✅ Формулы половинного угла — это не новая теория, а формулы двойного угла, прочитанные в обратную сторону.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• формулы двойного угла (урок 98) — прямая основа всего материала этого урока;

• основное тригонометрическое тождество $\sin^2x+\cos^2x=1$;

• определение четвертей и знаков тригонометрических функций в них.

Что изучать дальше:

• Формулы суммы и разности (следующий урок) — вместе с формулами половинного угла они дают полный набор инструментов для преобразования практически любого тригонометрического выражения;

• Тригонометрические уравнения — универсальная подстановка станет одним из основных методов их решения;

• Свойства и графики тригонометрических функций — понимание, как ведёт себя $\cos(x/2)$ при разных $x$, опирается именно на формулы этого урока.

Где это встречается за пределами школьной программы:

🎮 В 3D-графике и играх — кватернионы, интерполяция поворотов (SLERP), кинематика персонажей.

🤖 В робототехнике и SLAM — представление и композиция поворотов манипуляторов и дронов.

🎧 В обработке звука — вычисление RMS-громкости и энергии сигнала, признаки для аудио-ML-моделей.

📊 В Data Science — кодирование циклических признаков (время, направление, фаза) для моделей машинного обучения.

📐 В более поздних курсах математики — подстановка Вейерштрасса при работе со сложными тригонометрическими выражениями, куда мы обязательно вернёмся значительно позже.

Интересные факты

💡 Птолемей и таблица хорд. Формула, эквивалентная половинному углу, впервые появилась не для синуса, а для «хорды» — во II веке н.э. в «Альмагесте» Птолемея, за много веков до того, как появилась привычная нам функция $\sin x$. Уже тогда математикам было нужно «дробить» углы пополам, чтобы строить точные астрономические таблицы.

💡 Архимед и число $\pi$. Оценивая длину окружности через вписанные многоугольники, Архимед последовательно удваивал число сторон многоугольника — а это математически то же самое, что многократно делить центральный угол пополам. Он проделал это шесть раз подряд (от шестиугольника до 96-угольника), получив первую в истории строгую оценку числа $\pi$ — и по сути пользовался цепочкой формул половинного угла, хотя они ещё не были записаны в современном виде.

💡 Формула Вейерштрасса младше, чем кажется. Подстановку $t=\mathrm{tg}(x/2)$ иногда называют формулой Вейерштрасса — по имени немецкого математика XIX века, хотя сам приём использовался ещё Эйлером как минимум за столетие до этого. Сегодня её узнают все, кто хоть раз пользовался системами компьютерной алгебры вроде SymPy или Wolfram Alpha для упрощения тригонометрических уравнений — под капотом там нередко работает именно эта замена.

💡 Половинный угол на колёсах. Та же самая подстановка $t=\mathrm{tg}(x/2)$ рационально параметризует окружность — то есть позволяет описать координаты точки на окружности не через синус и косинус, а через обычную рациональную дробь от $t$. Именно на этом принципе строятся рациональные кривые Безье и NURBS-поверхности — стандарт представления кривых в системах автоматизированного проектирования (CAD) и в игровых движках.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Определяй четверть $x/2$ раньше, чем считаешь сам корень. Как только в задаче появился $\cos(x/2)$ или $\sin(x/2)$, первым шагом раздели весь диапазон значений $x$ пополам и определи знак — а уже потом садись считать число под корнем. Так ты не забудешь про знак в самый последний момент.

2. Для тангенса вообще забудь про корень. Формулы $\mathrm{tg}\dfrac x2=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{1-\cos x}{\sin x}$ автоматически несут в себе правильный знак — их проще применять и невозможно перепутать четверть.

3. Узнавай «половину знакомого угла». $15°=30°/2$, $22.5°=45°/2$, $75°=150°/2$, $105°=210°/2$ — если видишь такой угол в задаче, формула половинного угла почти наверняка нужна именно здесь.

4. Универсальная подстановка — «аварийный выход». Если тригонометрическое уравнение не поддаётся стандартным приёмам (группировке, формулам приведения), попробуй $t=\mathrm{tg}(x/2)$ — оно всегда сведёт задачу к рациональному уравнению, пусть иногда и громоздкому.

5. Проверяй себя тождеством $\sin^2+\cos^2=1$. После вычисления $\sin(x/2)$ и $\cos(x/2)$ отдельно всегда быстро проверь, что их квадраты в сумме дают единицу — это ловит почти все арифметические и знаковые ошибки за пару секунд.

6. В коде — передавай знак явно, а не угадывай. Как показало задание 30, sqrt() в любом языке программирования всегда возвращает неотрицательное значение. Если код должен вычислять $\cos(x/2)$ или $\sin(x/2)$ для произвольного $x$, знак нужно вычислять отдельно (например, через явную проверку диапазона или через math.copysign), а не полагаться на то, что «само сойдётся».

7. Быстрая связка с формулами двойного угла. Если забыл формулу половинного угла на экзамене — вспомни формулу двойного угла для $\cos(2\alpha)$, подставь $\alpha=x/2$ (тогда $2\alpha=x$) и выведи всё заново за 20 секунд. Формулу половинного угла не обязательно зубрить отдельно.

Формулы половинного угла — это, пожалуй, лучшая иллюстрация того, что в математике не нужно бояться «новых» тем: очень часто это старая тема, на которую посмотрели с другой стороны. Тот же самый факт про двойной угол, вывернутый наизнанку, дал нам инструмент, который используется и в игровых движках, и в анализаторах звука, и в кодировании признаков для нейросетей. Теперь, когда в следующем уроке мы перейдём к формулам суммы и разности углов, у тебя уже будет полный арсенал: удвоение, деление пополам и скоро — сложение произвольных углов. С этим набором можно преобразовать практически любое тригонометрическое выражение, каким бы длинным оно ни казалось на первый взгляд.