Формулы двойного угла 🔁

Представь код аугментации изображений, который поворачивает картинку на угол θ, а потом — тем же способом — ещё раз на угол θ. Итоговый поворот, очевидно, равен 2θ. А теперь спроси себя: если ты распишешь этот двойной поворот через матрицы и перемножишь их, что получится в клетках итоговой матрицы? Ты увидишь ровно те формулы, которым посвящён этот урок. Формулы двойного угла — это не отдельная порция новой теории, а прямое следствие того, что ты уже знаешь: формул сложения из прошлого урока, применённых к частному, но невероятно ходовому случаю — когда оба угла одинаковы.

В прошлый раз ты научился находить $\sin(\alpha + \beta)$ и $\cos(\alpha + \beta)$ для двух разных углов. Формулы двойного угла возникают, если задать простой вопрос: а что если $\beta = \alpha$? Ответ занимает три строчки алгебры, но пользы от этих трёх строчек — на весь оставшийся курс тригонометрии и далеко за его пределы. Именно формулы двойного угла позволяют превращать произведения синуса и косинуса в одну функцию (и обратно), решать уравнения, которые без них выглядят безнадёжно, и — что особенно важно для тебя — они буквально прошиты в код, который крутит матрицы, кодирует позиции токенов в языковых моделях и лежит в основе целого семейства ортогональных полиномов, которые сегодня используют для построения графовых нейросетей.

Сегодня мы выведем три формулы — для синуса, косинуса (сразу в трёх равносильных видах!) и тангенса двойного угла, — разберёмся, когда какую форму косинуса выбирать, потренируемся на тридцати задачах разного калибра и увидим, как эти формулы прячутся в матрицах поворота, в среднеквадратичной энергии звукового сигнала и в полиномах Чебышёва, на которых построены графовые свёрточные сети. А следующим уроком мы пойдём в обратную сторону — научимся находить синус, косинус и тангенс половинного угла, то есть решать ту же задачу, но задом наперёд.

🎯 Ты узнаешь:

• Откуда формулы двойного угла берутся из формул сложения — вывод займёт буквально минуту
• Почему у косинуса двойного угла есть три равносильные формы и как выбрать нужную по тому, что дано в условии
• Как формула двойного угла превращается в матричное тождество $R(\theta)\cdot R(\theta) = R(2\theta)$ — основу композиции поворотов в графике и в RoPE-кодировании позиций в трансформерах
• При чём тут полиномы Чебышёва и графовые нейросети (ChebNet)
• Как решать уравнения и находить наибольшие/наименьшие значения выражений с двойным углом без единой производной — чистой алгеброй

История: откуда это взялось?

Строго говоря, формулы двойного угла старше самого понятия «формула сложения» — просто в античности их формулировали не в виде $\sin$ и $\cos$, а в виде хорд. Клавдий Птолемей во II веке в «Альмагесте» составил таблицу хорд, соответствующих углам от $0°$ до $180°$ с шагом в полградуса, и для её построения ему приходилось находить хорду двойной дуги по хорде исходной — операция, которая по сути и есть формула двойного угла, просто записанная на языке хорд, а не синусов.

По-настоящему в современном виде — через синус и косинус — эти формулы оформились в исламском мире IX–X веков. Персидский математик и астроном Абу-ль-Вафа аль-Бузджани, работавший в Багдаде в X веке, систематизировал тригонометрические тождества, включая формулы для кратных углов, и использовал их для построения точных астрономических таблиц. Без калькуляторов вычислить синус и косинус, скажем, $47°$ напрямую было почти нереально. Но если у тебя уже посчитан синус $23{,}5°$, формула двойного угла даёт синус $47°$ за одно умножение и одно вычитание. Это был не просто удобный трюк — это была технология: с помощью многократного удвоения (и, как мы увидим в следующем уроке, деления пополам) из горстки «опорных» углов можно было выстроить таблицу для сотен других значений.

А идея дожила до наших дней в неожиданном месте — в алгоритмах. Многократное удвоение угла для получения $2\theta, 4\theta, 8\theta, \ldots$ за $\log_2 n$ шагов вместо $n$ прямых вычислений — это тот же самый принцип, что используется в быстром возведении в степень (двоичное экспонирование) и в вычислении матриц поворота для позиционных кодировок в трансформерах. Средневековые астрономы, экономившие время без калькулятора, случайно изобрели алгоритмическую идею, которую два тысячелетия спустя используют, чтобы ускорить обучение языковых моделей.

Синус и косинус двойного угла: угол, сложенный сам с собой

Интуиция

Возьми формулы сложения из прошлого урока:

Давай разберёмся, что произойдёт, если подставить $\beta = \alpha$. Слева $\alpha + \beta$ превращается в $\alpha + \alpha = 2\alpha$ — тот самый «двойной угол». Справа каждое $\beta$ становится $\alpha$, и выражение схлопывается:

Вот и всё — никакой новой геометрии, только подстановка. Но у косинуса есть бонус: используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из формулы $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ можно исключить любую из двух функций. Заменим $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

А заменив $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:

Три формулы, и все три — про одно и то же число. Просто одна выражена только через косинус, другая только через синус, а третья — через оба. Это не три разных факта, а один факт в трёх костюмах, и выбор костюма зависит от того, что тебе дано в условии.

Определение:

$$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$

Все формулы верны для любого угла $\alpha$, без ограничений на область определения.

📌 Практическое правило выбора формы косинуса:

• если дан только $\cos\alpha$ — бери $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$

• если дан только $\sin\alpha$ — бери $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$

• если даны оба — любая форма подойдёт, но $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ особенно удобна, когда выражение уже содержит именно эти квадраты

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): дано $\sin\alpha = 0{,}6$, $\cos\alpha = 0{,}8$. Найди $\sin(2\alpha)$ и $\cos(2\alpha)$ всеми тремя способами.

Решение:

Шаг 1. Синус двойного угла:

Шаг 2. Косинус через разность квадратов:

Шаг 3. Проверим через $2\cos^2\alpha - 1$: $2 \cdot 0{,}64 - 1 = 1{,}28 - 1 = 0{,}28$ ✅

Шаг 4. Проверим через $1 - 2\sin^2\alpha$: $1 - 2 \cdot 0{,}36 = 1 - 0{,}72 = 0{,}28$ ✅

Ответ: $\sin(2\alpha) = 0{,}96$, $\cos(2\alpha) = 0{,}28$ — и все три формулы косинуса сошлись, как и должны были.

Пример 2 (средний): дано $\cos\alpha = -\dfrac{1}{4}$. Найди $\cos(2\alpha)$.

Решение:

Шаг 1. Синуса нет — значит, берём форму только через косинус: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Шаг 2. Подставляем:

Наблюдение: обрати внимание — знак $\cos\alpha$ (плюс или минус) вообще не повлиял на ответ, потому что в формулу входит $\cos^2\alpha$. Значит, $\cos\alpha = \dfrac{1}{4}$ дал бы точно такой же $\cos(2\alpha)$. А вот $\sin(2\alpha)$ в такой ситуации найти нельзя — не хватает данных про знак и значение синуса.

Ответ: $\cos(2\alpha) = -\dfrac{7}{8}$

Пример 3 (сложный): упрости $\sin^4 x + \cos^4 x$, используя формулы двойного угла.

Решение:

Шаг 1. Применим приём «сумма квадратов через квадрат суммы минус удвоенное произведение»:

Шаг 2. Заметим, что $\sin x \cos x = \dfrac{\sin(2x)}{2}$ (это половина формулы синуса двойного угла), значит $\sin^2 x \cos^2 x = \dfrac{\sin^2(2x)}{4}$:

Шаг 3. Теперь применим формулу двойного угла ещё раз, но уже к $2x$: из $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$ выражаем $\sin^2(2x) = \dfrac{1 - \cos(4x)}{2}$:

Проверим наш ответ при $x = 0$: слева $0 + 1 = 1$; справа $\dfrac{3 + \cos 0}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$ ✅. При $x = \pi/4$: слева $\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^4 \cdot 2 = 2 \cdot \dfrac{1}{4} = 0{,}5$; справа $\dfrac{3 + \cos\pi}{4} = \dfrac{3-1}{4} = 0{,}5$ ✅

Ответ: $\sin^4 x + \cos^4 x = \dfrac{3 + \cos(4x)}{4}$

Вывод: заметь приём — формулу двойного угла применили дважды подряд, сначала к $x$, потом к $2x$, чтобы добраться до $4x$. Это ровно тот же принцип «удвоение за удвоением», о котором шла речь в истории вопроса, и мы ещё встретим его в разделе про приложения.

Почему это важно

Формулы двойного угла — это переключатель между двумя языками описания одного и того же процесса: «произведение» и «удвоенный угол». В обработке сигналов эта пара языков встречается постоянно: сигнал вида $\sin(\omega t)\cos(\omega t)$ гораздо проще анализировать, если свернуть его в $\frac{1}{2}\sin(2\omega t)$ — сразу видно, что частота на самом деле удвоилась. В машинном обучении то же самое происходит при работе с периодическими признаками: если день года закодирован парой $(\sin\theta, \cos\theta)$, то «вторая гармоника» этого признака — сигнал с удвоенной частотой, отражающий, например, полугодовую сезонность, — выражается именно через $\sin(2\theta)$ и $\cos(2\theta)$, и формулы двойного угла показывают, как её вычислить, не считая тригонометрию заново.

Тангенс двойного угла: та же идея, но с ловушкой в знаменателе

Интуиция

Раз $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, логично ожидать, что формулу для $\operatorname{tg}(2\alpha)$ можно получить, просто поделив уже выведенные формулы синуса и косинуса. Так и есть — но давай выведем её другим путём, через формулу сложения для тангенса, которую ты видел в прошлом уроке:

Подставляем $\beta = \alpha$:

Здесь появляется важная деталь, которой не было у синуса и косинуса: в знаменателе стоит выражение, которое может обратиться в ноль. Если $\operatorname{tg}^2\alpha = 1$, то есть $\operatorname{tg}\alpha = \pm 1$ (это углы $\alpha = 45° + 90°k$), формула ломается — и это не случайность, а честный сигнал: при таких $\alpha$ угол $2\alpha$ равен $90° + 180°k$, а тангенс девяноста градусов просто не существует.

Определение:

$$\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$$

Формула определена при $\cos\alpha \neq 0$ (иначе не существует $\operatorname{tg}\alpha$) и при $\operatorname{tg}\alpha \neq \pm 1$, то есть $\alpha \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}$.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой, и одновременно ловушка): дано $\operatorname{tg}\alpha = 1$. Найди $\operatorname{tg}(2\alpha)$.

Решение:

Шаг 1. Подставляем в формулу:

Шаг 2. Знаменатель равен нулю — формула не определена. Это не ошибка вычисления, а содержательный факт: $\operatorname{tg}\alpha = 1$ означает $\alpha = 45°$, тогда $2\alpha = 90°$, а тангенс $90°$ действительно не существует.

Ответ: $\operatorname{tg}(2\alpha)$ не существует.

Пример 2 (средний): дано $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{3}$. Найди $\operatorname{tg}(2\alpha)$.

Решение:

Шаг 1. Подставляем в формулу:

Шаг 2. Деление дробей — умножаем на перевёрнутую:

Ответ: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \dfrac{3}{4}$

Пример 3 (сложный, перекрёстная проверка): дано $\sin\alpha = \dfrac{7}{25}$, $\cos\alpha = \dfrac{24}{25}$. Найди $\operatorname{tg}(2\alpha)$ двумя разными способами.

Решение:

Способ 1 — через формулу тангенса. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{7}{24}$.

Способ 2 — через синус и косинус.

Проверим наш ответ: оба способа дали ровно $\dfrac{336}{527}$ ✅ — это хорошая привычка: там, где можно посчитать двумя путями, лишняя минута на проверку экономит балл на экзамене.

Ответ: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \dfrac{336}{527}$

Почему это важно

Тангенс двойного угла — не самая ходовая из трёх формул, но именно на ней ярче всего видна главная методическая мысль урока: формула, полученная чистой алгеброй, честно предупреждает о своих ограничениях. Когда в задачах на программирование или в физике встречается величина вида $\dfrac{2t}{1-t^2}$, полезно узнавать в ней именно эту структуру — это сигнал, что где-то рядом прячется угол, удвоенный через тангенс, а не через синус-косинус, и что нужно отдельно проверить точки разрыва.

Двойной угол в реальных задачах: повороты, сигналы и графовые сети

Интуиция

Вернёмся к сценарию из самого начала урока: поворот вектора на плоскости на угол $\theta$ задаётся матрицей

Если применить это преобразование дважды подряд — то есть перемножить матрицу саму на себя, — по смыслу должен получиться поворот на $2\theta$. Давай проверим это буквально, перемножив матрицы по правилам линейной алгебры и посмотрев, что получится в каждой клетке.

А теперь взгляни на клетки: $\cos^2\theta - \sin^2\theta$ — это же в точности $\cos(2\theta)$, а $2\sin\theta\cos\theta$ — это $\sin(2\theta)$. Значит:

Формулы двойного угла — это буквально то, что получается, когда матрицу поворота перемножают саму на себя. Ничего дополнительного доказывать не нужно: это тот же самый вывод, что мы делали для $\sin(\alpha+\beta)$ и $\cos(\alpha+\beta)$, просто записанный в матричной форме.

Определение: Композиция двух поворотов на один и тот же угол $\theta$ эквивалентна одному повороту на $2\theta$: $R(\theta)^2 = R(2\theta)$. В общем виде $R(\alpha)\cdot R(\beta) = R(\alpha+\beta)$ — это матричная запись формул сложения, а формулы двойного угла — её частный случай при $\alpha = \beta$.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): вычисли $R(30°)^2$ и убедись, что получится $R(60°)$.

Решение:

Шаг 1. $\cos 30° \approx 0{,}8660$, $\sin 30° = 0{,}5$.

Шаг 2. Перемножаем матрицу саму на себя, элемент $(1,1)$: $0{,}8660 \cdot 0{,}8660 - 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5$.

Шаг 3. Элемент $(1,2)$: $-(0{,}8660 \cdot 0{,}5 + 0{,}5 \cdot 0{,}8660) = -0{,}8660$.

Проверим наш ответ: $\cos 60° = 0{,}5$, $\sin 60° \approx 0{,}8660$ — элементы матрицы совпадают с $R(60°)$ ✅

Ответ: $R(30°)^2 = R(60°) = \begin{pmatrix} 0{,}5 & -0{,}866 \\ 0{,}866 & 0{,}5 \end{pmatrix}$

Пример 2 (средний): звуковой сигнал $x(t) = 5\cos(\omega t)$. Найди среднюю мощность сигнала (среднее значение $x^2(t)$ за период) через формулу понижения степени, полученную из формулы двойного угла.

Решение:

Шаг 1. Из $\cos(2\varphi) = 2\cos^2\varphi - 1$ выразим $\cos^2\varphi = \dfrac{1 + \cos(2\varphi)}{2}$.

Шаг 2. Возведём сигнал в квадрат и применим это тождество при $\varphi = \omega t$:

Шаг 3. Слагаемое $12{,}5\cos(2\omega t)$ — это колебание с удвоенной частотой, которое за полный период проходит через положительные и отрицательные значения симметрично, и в среднем даёт ноль. Остаётся только постоянная часть:

Шаг 4. Среднеквадратичное значение (RMS): $\sqrt{12{,}5} \approx 3{,}54$.

Проверим наш ответ: для гармонического сигнала с амплитудой $A$ известно правило $\text{RMS} = A/\sqrt2$; при $A=5$ получаем $5/\sqrt2 \approx 3{,}54$ ✅

Ответ: средняя мощность (среднее $x^2$) равна $12{,}5$, RMS $\approx 3{,}54$.

Почему это не мелочь: именно эта формула понижения степени стоит за расчётом RMS-энергии в аудиофичах (одна из базовых характеристик, которую извлекают из звуковой волны перед MFCC-препроцессингом), за расчётом мощности переменного тока в электротехнике и за нормировкой амплитуды в цифровой обработке сигналов.

Пример 3 (сложный): полином Чебышёва $T_2(t) = 2t^2 - 1$. Проверь, что $T_2(\cos\theta) = \cos(2\theta)$ при $\theta = 45°$, и объясни связь с графовыми нейросетями.

Решение:

Шаг 1. $\cos 45° = \dfrac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}7071$.

Шаг 2. Подставляем в $T_2$:

Шаг 3. Сравниваем с $\cos(2 \cdot 45°) = \cos 90° = 0$ ✅ Совпало.

Шаг 4. Это не совпадение: формула $T_2(t) = 2t^2 - 1$ — это в точности форма $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ с заменой $t = \cos\theta$. По определению, $n$-й полином Чебышёва — это функция $T_n$, для которой $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$ при любом $\theta$; формула двойного угла — это буквально $T_2$.

Ответ: $T_2(\cos 45°) = 0 = \cos 90°$ — тождество подтверждено.

Почему это важно: полиномы Чебышёва названы в честь Пафнутия Чебышёва (XIX век), но по-настоящему массово их используют в XXI веке — например, в архитектуре ChebNet (2016) для графовых нейросетей. Там свёртку на графе аппроксимируют полиномами Чебышёва от матрицы Лапласиана графа: чем выше степень полинома $K$, тем на большее число «шагов соседства» распространяется информация в одном свёрточном слое, а вычисление опирается на ту же рекуррентную идею удвоения-и-сложения углов, которую ты только что видел на числовом примере.

Почему это важно

Формулы двойного угла — это ровно та точка, где школьная тригонометрия касается современного ML-стека. Композиция поворотов $R(\theta)^2 = R(2\theta)$ — не абстракция: это тот самый механизм, на котором держится RoPE (Rotary Position Embedding) в LLaMA, Qwen, Mistral и десятках других языковых моделей — там пара координат вектора запроса или ключа поворачивается на угол, пропорциональный позиции токена, и то, что «повернуть дважды на $\theta$» равно «повернуть один раз на $2\theta$», гарантирует, что модель видит только относительное расстояние между токенами, а не их абсолютные позиции. То же самое семейство идей — от матриц поворота до формул понижения степени и полиномов Чебышёва — как раз и объясняет, почему формулы двойного угла попадают не только в школьный курс, но и в архитектуру современных нейросетей.

Упрощение выражений и решение уравнений с двойным углом

Интуиция

Давай разберёмся, зачем вообще нужны эти формулы «на практике» — то есть при упрощении выражений и решении уравнений. Идея всегда одна: если в выражении встретились произведение $\sin x \cos x$ или разность/сумма квадратов $\cos^2 x - \sin^2 x$ (в любой из трёх форм), формула двойного угла позволяет свернуть это в одну функцию от $2x$ — и наоборот, разложить $\sin(2x)$ или $\cos(2x)$ обратно в произведение или сумму квадратов, если так удобнее для дальнейших действий. В уравнениях эта свёртка часто превращает смесь функций от $x$ и от $2x$ в уравнение только от одной переменной — а с одной переменной работать сильно проще.

Определение (рабочая стратегия для уравнений с $\sin(2x)$ или $\cos(2x)$): замени $\sin(2x)$ или $\cos(2x)$ по формуле двойного угла так, чтобы всё уравнение оказалось выражено только через $\sin x$ или только через $\cos x$; получившееся уравнение обычно превращается в произведение множителей, равное нулю, или в квадратное уравнение относительно $\sin x$ (или $\cos x$).

⚠️ Ловушка: при вынесении общего множителя (например, $\cos x$) за скобку никогда не дели на него обе части уравнения — так теряются корни. Правильно — приравнивать каждый множитель к нулю по отдельности.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): реши уравнение $\sin(2x) = \cos x$.

Решение:

Шаг 1. Заменяем $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$:

Шаг 2. Переносим всё влево и выносим общий множитель — не деля на $\cos x$:

Шаг 3. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, или $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$, или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (средний): упрости $\dfrac{1 - \cos(2x)}{1 + \cos(2x)}$.

Решение:

Шаг 1. В числителе используем $1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x$ (форма $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$, перенесённая и упрощённая).

Шаг 2. В знаменателе используем $1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x$ (форма $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$).

Шаг 3. Делим:

Ответ: $\dfrac{1 - \cos(2x)}{1 + \cos(2x)} = \operatorname{tg}^2 x$

Забегая вперёд: если в этом тождестве заменить $x$ на $x/2$, получится $\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x} = \operatorname{tg}^2\dfrac{x}{2}$ — это и есть одна из формул половинного угла, к которым мы перейдём в следующем уроке. Двойной и половинный угол — это одна и та же формула, если смотреть на неё с разных сторон.

Пример 3 (сложный): найди наибольшее и наименьшее значения функции $g(x) = 2\cos(2x) - 4\cos x$, не используя производную.

Решение:

Шаг 1. Заменим $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, чтобы получить выражение только через $\cos x$:

Шаг 2. Введём замену $t = \cos x$. Поскольку косинус любого угла лежит в $[-1; 1]$, задача сводится к поиску наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции

Шаг 3. Это парабола с ветвями вверх ($a = 4 > 0$), значит её вершина — точка минимума. Абсцисса вершины: $t_0 = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$ — она попадает в отрезок $[-1;1]$, поэтому минимум достигается внутри области:

Шаг 4. Поскольку ветви идут вверх, наибольшее значение на отрезке находится на одном из концов. Сравним:

Больше значение при $t = -1$.

Ответ: наибольшее значение $g(x) = 6$ достигается при $\cos x = -1$ (то есть $x = \pi + 2\pi k$); наименьшее значение $g(x) = -3$ достигается при $\cos x = 0{,}5$ (то есть $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$).

Вывод: формула двойного угла превратила тригонометрическую задачу на максимум/минимум в задачу про вершину параболы — а это чистая алгебра 8 класса, без единой производной. Тот же приём работает для любой функции вида $a\cos(2x) + b\cos x + c$.

Почему это важно

Свёртка «удвоенный угол ⇄ произведение/квадраты» — это рабочий инструмент везде, где приходится линеаризовать или, наоборот, компактифицировать тригонометрические выражения: в электротехнике при расчёте мощности, в оптимизации, где тригонометрическое выражение сначала сводят к одной переменной, а потом ищут экстремум алгебраически (как мы только что сделали), и в символьных вычислительных системах (SymPy, Mathematica), где правило sin(2*x) → 2*sin(x)*cos(x) — это буквально одна из первых подстановок, которую применяет модуль упрощения тригонометрических выражений.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Дано $\sin\alpha = \dfrac{5}{13}$, $\cos\alpha = \dfrac{12}{13}$ ($\alpha$ — острый угол). Найди $\sin(2\alpha)$.

Задание 2: Дано $\cos\alpha = \dfrac{1}{3}$. Найди $\cos(2\alpha)$.

Задание 3: Дано $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{3}{4}$, $\alpha$ — угол первой четверти. Найди $\sin(2\alpha)$.

Задание 4: Упрости $8\sin x\cos x$.

Задание 5: Упрости $\cos^2 15° - \sin^2 15°$.

Задание 6: Дано $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{2}$. Найди $\operatorname{tg}(2\alpha)$.

Задание 7: Известно, что $\sin 15° = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, $\cos 15° = \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$. Проверь формулу двойного угла, вычислив через них $\sin 30°$.

Задание 8: Дано $\sin\alpha = \dfrac{1}{2}$. Найди $\cos(2\alpha)$.

Задание 9: Упрости $(\cos x - \sin x)^2$.

Задание 10: В модели временного ряда время внутри года закодировано углом $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ (первая гармоника). Найди значение «второй гармоники» $\cos(2\theta)$, зная $\cos\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Реши уравнение $\sin(2x) = \sin x$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

Задание 12: Реши уравнение $\cos(2x) + \cos x = 0$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

Задание 13: Дано $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$, $\alpha \in \left(\dfrac{\pi}{2}; \pi\right)$. Найди $\cos(2\alpha)$ и $\sin(2\alpha)$.

Задание 14: Дано $\operatorname{tg}\alpha = -2$. Найди $\operatorname{tg}(2\alpha)$.

Задание 15: Докажи тождество $\dfrac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)} = \operatorname{tg} x$.

Задание 16: Вычисли матрицу $R(30°)^2$ и убедись, что она равна $R(60°)$.

Задание 17: Аудиосигнал $x(t) = 8\cos(\omega t)$. Найди среднее значение $x^2(t)$ за период и среднеквадратичную амплитуду (RMS).

Задание 18: Проверь тождество $T_2(\cos\theta) = \cos(2\theta)$, где $T_2(t)=2t^2-1$, при $\theta = 45°$.

Задание 19: Упрости $\dfrac{1-\cos(2x)}{\sin(2x)}$.

Задание 20: Косинусная близость двух эмбеддингов равна $\cos\theta = 0{,}6$ (угол $\theta$ — острый). Найди $\cos(2\theta)$ и $\sin(2\theta)$.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Реши уравнение $\sin(2x) + \cos x = 0$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

Задание 22: Реши уравнение $\operatorname{tg}(2x) = \operatorname{tg} x$.

Задание 23: Дано $\cos\alpha = \dfrac12$. Найди $\cos(2\alpha)$ и $\cos(4\alpha)$, применяя формулу двойного угла дважды подряд.

Задание 24: Найди наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 6\cos x - 3\cos(2x)$, используя замену $t = \cos x$ (без производных).

Задание 25: Признак «время года» закодирован углом $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ (это $1/8$ года). Найди значение первой гармоники $\cos\theta$ и второй гармоники $\cos(2\theta)$ в этой точке и объясни, что означает результат.

Задание 26: Реши уравнение $4\sin x\cos x = \sqrt3$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

Задание 27: Докажи тождество $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos(2x)$.

Задание 28: В RoPE-подобной схеме вектор $(1;0)$ дважды поворачивают на угол $\theta=\dfrac{\pi}{6}$. Найди итоговый вектор и сравни с результатом одного поворота на $2\theta$.

Задание 29: Реши уравнение $\cos(2x) + 3\sin x = 2$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

Задание 30: Используя формулу сложения $\cos(2\theta+\theta)$ и уже известные формулы двойного угла, выведи формулу тройного угла $\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ (это ровно третий полином Чебышёва $T_3$). Проверь результат при $\theta=30°$.

Частые ошибки

❌ Ошибка: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha$

✅ Правильно: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

💡 Почему: тригонометрические функции нелинейны, и «раскрыть скобку» как в алгебре здесь нельзя. Формула требует произведения синуса и косинуса, а не одного лишь удвоения синуса.

❌ Ошибка: $\cos(2\alpha) = 2\cos\alpha$

✅ Правильно: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ (или любая из двух других равносильных форм)

💡 Почему: та же ловушка нелинейности, но с косинусом ещё коварнее — здесь напрашивающийся неверный ответ выглядит «более простым», чем правильный, а значит, соблазн его записать выше.

❌ Ошибка: путать три формы косинуса двойного угла, например, писать $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - 1$ (потерян $\sin^2\alpha$) или $\cos(2\alpha) = 1 - 2\cos^2\alpha$ (перепутан знак с формой через синус).

✅ Правильно: держи в голове все три формы отдельно и выбирай по тому, что дано в условии — только $\cos\alpha$, только $\sin\alpha$, или оба сразу.

💡 Почему: три формы получаются друг из друга через $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, и при поспешной подстановке легко «потерять» слагаемое или сбить знак у единицы.

❌ Ошибка: применять формулу $\operatorname{tg}(2\alpha) = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$, не проверив, что $\operatorname{tg}\alpha \neq \pm 1$ и что $\cos\alpha \neq 0$.

✅ Правильно: сначала проверь область определения, и если $\operatorname{tg}\alpha=\pm1$, сразу делай вывод, что $\operatorname{tg}(2\alpha)$ не существует, а не «сокращай на ноль».

💡 Почему: знаменатель $1-\operatorname{tg}^2\alpha$ обращается в ноль ровно тогда, когда $2\alpha$ становится углом вида $90°+180°k$, где тангенс объективно не определён — формула честно отражает эту особенность.

❌ Ошибка: извлекать $\sin\alpha$ или $\cos\alpha$ из известного квадрата (например, из $\sin^2\alpha=9/25$), не глядя на четверть, в которой лежит $\alpha$, и всегда брать положительный корень.

✅ Правильно: сначала определи знак нужной функции по четверти (или по указанному промежутку значений угла), и только потом извлекай корень с этим знаком.

💡 Почему: формула $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$ чувствительна к знакам обоих множителей — ошибка в одном знаке переворачивает знак всего ответа, как это едва не случилось бы в задании 13, если бы косинус во второй четверти взяли положительным.

❌ Ошибка: применять формулы двойного угла к выражениям, где аргументы синуса и косинуса не совпадают, например пытаться «свернуть» $\sin(2x)\cos(x)$ так, будто это тоже какой-то частный случай двойного угла.

✅ Правильно: формулы двойного угла работают только тогда, когда один и тот же угол $\alpha$ встречается дважды — как множитель $\sin\alpha\cos\alpha$ или как разность $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$; выражения с разными аргументами (вроде $\sin(2x)\cos x$) сворачиваются другими формулами — произведения в суммы, — с которыми ты познакомишься позже.

💡 Почему: легко перепутать «структура похожа» с «формула применима». Двойной угол — это всегда $2\alpha$ и $\alpha$ вместе, а не любые два родственных угла.

❌ Ошибка: при решении уравнений вида $\sin(2x)=\sin x$ делить обе части на $\sin x$, «сокращая» его.

✅ Правильно: переноси всё в одну сторону и раскладывай на множители — $\sin x(2\cos x - 1)=0$ — не деля ни на что.

💡 Почему: деление на $\sin x$ автоматически предполагает, что $\sin x \neq 0$, и молча теряет все корни, при которых $\sin x = 0$ — а они, как видно в задании 11, входят в правильный ответ.

Главное запомнить

✅ Синус двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ — всегда произведение, никогда не сумма.

✅ Косинус двойного угла — три равносильные формы: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 = 1-2\sin^2\alpha$. Выбирай форму по тому, что дано: только $\cos\alpha$ → форма с $2\cos^2\alpha-1$; только $\sin\alpha$ → форма с $1-2\sin^2\alpha$.

✅ Тангенс двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$, определён только при $\operatorname{tg}\alpha\neq\pm1$ и $\cos\alpha\neq0$.

✅ Откуда всё берётся: формулы двойного угла — это формулы сложения из предыдущего урока с подстановкой $\beta=\alpha$, и ничего сверх этого доказывать не нужно.

✅ Формулы понижения степени как побочный продукт: $\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2}$, $\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}$ — прямое следствие форм косинуса двойного угла, полезное для усреднения периодических сигналов.

✅ В уравнениях: заменяй $\sin(2x)$ или $\cos(2x)$ так, чтобы всё выражение оказалось от одной функции, затем раскладывай на множители — но никогда не дели на переменный множитель, только выноси его за скобку.

✅ В задачах на экстремум: замена $t=\cos x$ или $t=\sin x$ превращает выражение с $\cos(2x)$ в обычную квадратичную функцию на отрезке $[-1;1]$ — максимум и минимум находятся через вершину параболы, без всякого дифференцирования.

✅ Матричный смысл: $R(\theta)\cdot R(\theta)=R(2\theta)$ — композиция двух одинаковых поворотов равна одному повороту на удвоенный угол; это буквально формулы двойного угла, записанные в клетках матрицы.

✅ Связь с полиномами Чебышёва: $\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1$ — это $T_2(\cos\theta)$, а $\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ — это $T_3(\cos\theta)$; вся цепочка $T_2, T_3, T_4,\ldots$ строится той же логикой удвоения и сложения углов.

✅ Повторное применение: формулу двойного угла можно применять несколько раз подряд — $x\to2x\to4x\to8x$ — точно так же, как быстрое возведение в степень удваивает показатель за один шаг вместо линейного перебора.

Связь с другими темами курса

Откуда пришли: формулы сложения (урок 97) — двойной угол получается единственной подстановкой $\beta=\alpha$, поэтому если формулы сложения ты помнишь твёрдо, формулы двойного угла можно вообще не заучивать отдельно, а выводить за десять секунд.

Куда ведут: следующий урок — формулы половинного угла (урок 99), где та же связь используется в обратную сторону: зная $\cos\alpha$, находят $\sin(\alpha/2)$ и $\cos(\alpha/2)$. Формулы понижения степени, с которыми ты только что познакомился как с побочным продуктом, там же получат самостоятельное развитие. Дальше по курсу — тригонометрические уравнения и неравенства, где двойной угол оказывается одним из основных инструментов сведения уравнения к одной переменной.

Где это применяется в жизни, в ML и в данных:

🤖 В машинном обучении: формула $R(\theta)^2=R(2\theta)$ — основа RoPE (Rotary Position Embedding) в LLaMA, Qwen, Mistral и других языковых моделях; формулы двойного и кратного угла лежат в основе полиномов Чебышёва, которые используют в ChebNet и других спектральных графовых нейросетях для локализованных свёрток на графах.

📊 В data science: «вторая гармоника» периодического признака (день года, час суток) вычисляется через $\sin(2\theta)$, $\cos(2\theta)$ по формулам этого урока и используется, например, в моделях сезонности временных рядов (Prophet и аналоги) для захвата полугодовых или получасовых паттернов поверх основного цикла.

💻 В программировании и графике: композиция поворотов спрайтов, камер и 3D-объектов на равные углы; в символьных вычислительных системах (SymPy) правило sin(2*x) → 2*sin(x)*cos(x) — одна из базовых подстановок движка упрощения тригонометрии.

🔬 В физике и обработке сигналов: формула $\cos^2\varphi=\frac{1+\cos(2\varphi)}{2}$ — прямой путь к расчёту средней мощности гармонического сигнала (в электротехнике — активной мощности переменного тока, в аудиообработке — RMS-энергии сигнала как одной из базовых аудиофич).

Интересные факты

💡 Птолемей выводил формулу двойного угла, не зная о существовании синуса. В его «Альмагесте» (II век н.э.) всё описывалось через хорды окружности, а не через $\sin$ и $\cos$ в современном виде — но операция удвоения дуги, необходимая для построения таблицы хорд, математически эквивалентна ровно тому выводу, который ты сегодня проделал в две строчки.

💡 Три формы формулы косинуса двойного угла — не педагогическая прихоть, а рабочая необходимость. Средневековые астрономы выбирали ту форму, которая требовала меньше вычислений при имеющихся под рукой таблицах — если в таблице был расписан только косинус, использовали $2\cos^2\alpha-1$, и не тратили время на извлечение синуса.

💡 Формулы Муавра (1707 год) обобщают формулы двойного и тройного угла на любое целое $n$. Тождество $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ при $n=2$ и $n=3$ даёт ровно те формулы, которые ты вывел и доказал в заданиях этого урока, только через комплексные числа вместо прямой алгебры.

💡 Полиномы Чебышёва, названные в честь российского математика Пафнутия Чебышёва (XIX век), сегодня работают внутри графовых нейросетей. Архитектура ChebNet (2016) аппроксимирует спектральную свёртку на графе полиномами Чебышёва от матрицы Лапласиана — той же самой рекуррентной формулой $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$, чьи первые два случая, $T_2$ и $T_3$, ты только что вывел и проверил численно.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Не заучивай формулы двойного угла отдельно — выводи их за десять секунд из формул сложения.

Достаточно помнить $\sin(\alpha+\beta)$ и $\cos(\alpha+\beta)$ и один раз мысленно подставить $\beta=\alpha$. Это надёжнее любой зубрёжки, потому что вывод сам подскажет тебе правильные знаки, если ты вдруг засомневался.

2. Выбирай форму косинуса по тому, что дано, а не по привычке.

Правило простое: только $\cos\alpha$ известен → бери $2\cos^2\alpha-1$; только $\sin\alpha$ известен → бери $1-2\sin^2\alpha$; известны оба или выражение уже содержит оба квадрата → бери $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.

3. Замечай спрятанный двойной угол в чужом выражении.

Увидел $2\sin x\cos x$ — это $\sin(2x)$. Увидел $1-2\sin^2 x$ или $2\cos^2 x-1$ — это $\cos(2x)$. Увидел $\cos^2 x-\sin^2 x$ — тоже $\cos(2x)$. Тренируй распознавание этих трёх «масок» — большинство упрощений в этом уроке сводятся именно к тому, чтобы их узнать.

4. Перед использованием формулы тангенса двойного угла — сразу проверь запрет.

Если $\operatorname{tg}\alpha=\pm1$, даже не начинай считать — сразу пиши «$\operatorname{tg}(2\alpha)$ не существует» и проверь, действительно ли $2\alpha$ равен $90°+180°k$.

5. Многократное удвоение угла считай пошагово, а не через формулу тройного/четверного угла целиком.

Чтобы найти $\cos(4\alpha)$, не выводи громоздкую формулу через $\cos\alpha$ напрямую — примени формулу двойного угла дважды: сначала получи $\cos(2\alpha)$, затем ещё раз удвои её результат. Это тот же принцип быстрого возведения в степень, который используют в вычислительных алгоритмах: $\log_2 n$ шагов вместо $n$.

6. В задачах на максимум/минимум с $\cos(2x)$ и $\cos x$ (или $\sin(2x)$ и $\sin x$) всегда пробуй замену $t=\cos x$ (или $t=\sin x$).

Формула двойного угла превращает тригонометрическое выражение в обычную квадратичную функцию на отрезке $[-1;1]$ — а с параболой ты умеешь работать ещё со средней школы, никакого анализа не нужно.

7. Проверяй формулы численно на «круглом» угле, а не только алгебраически.

Подставь $\alpha=30°$, $45°$ или $60°$ в обе части выведенного тождества и сравни с табличными значениями — если ошибся знаком или множителем при выводе, несовпадение вылезет сразу, а не после сдачи работы.

Формулы двойного угла — редкий случай, когда «новая тема» на самом деле требует нуля новых фактов: весь урок укладывается в одну подстановку $\beta=\alpha$ в уже известные тебе формулы сложения. Но именно из-за этой простоты за формулами легко не разглядеть, насколько далеко они расходятся — от таблиц хорд Птолемея до матриц поворота, которые кодируют позицию токена в языковой модели, и до полиномов Чебышёва, на которых строят современные графовые нейросети. В следующем уроке мы развернём эту же логику на сто восемьдесят градусов: вместо того чтобы удваивать угол, начнём делить его пополам — и увидишь, что формулы половинного угла выводятся из сегодняшних тем так же естественно, как сегодняшние — из формул сложения. А теперь попробуй сам: возьми любое тригонометрическое выражение с квадратами синуса и косинуса, которое встречалось тебе раньше, и проверь, не прячется ли в нём формула двойного угла. 🚀