Обратные тригонометрические функции 🧭

Представь: у тебя есть two-мерный вектор — например, градиент яркости в пикселе изображения, или разница координат между двумя точками на карте, или направление скорости дрона. Ты знаешь его компоненты $x$ и $y$. А тебе нужен угол. Не синус угла, не косинус — сам угол, число в радианах или градусах, которое можно передать дальше в код, нарисовать стрелкой на экране или подставить в формулу поворота.

До сих пор в этом курсе ты решал прямую задачу: дан угол — найди значение синуса, косинуса, тангенса. Формулы сложения, двойного и половинного угла, которые ты изучал в последних уроках, — это всё способы что-то вычислить, зная угол. Но реальные задачи сплошь и рядом ставят вопрос наоборот: значение известно, угол — нет. Датчик акселерометра выдал отношение компонент ускорения. Алгоритм HOG (Histogram of Oriented Gradients), который используется в детекторах объектов, посчитал горизонтальный и вертикальный градиент яркости в пикселе. Косинусное сходство (cosine similarity) двух эмбеддингов в языковой модели равно $0{,}83$. Во всех этих случаях единственный вопрос — какой угол стоит за этим числом?

Обратные тригонометрические функции — arcsin, arccos, arctg и arcctg — это именно инструмент для такого «разворота». Но, как ты уже видел на примере обратной функции в целом (урок 82), развернуть можно не любое отображение: если функция не инъективна, то у одного значения найдётся несколько прообразов, и «функции, возвращающей угол», формально не получится. У синуса, косинуса и тангенса с инъективностью серьёзные проблемы — они периодические, и одно и то же значение достигается бесконечно много раз. Первая половина этого урока — про то, как математики выкрутились из этой ситуации: подрезали область определения ровно настолько, чтобы функция стала строго монотонной, а значит — обратимой.

Вторая половина — про практику. Ты научишься находить точные значения arcsin, arccos, arctg, arcctg для «хороших» углов, разбираться с чётностью и нечётностью каждой из них, и — специально для тех, кто пишет код, а не только решает уравнения — разберёшь функцию atan2, без которой не работает ни один алгоритм компьютерного зрения или робототехники, вычисляющий направление по двум координатам.

История: откуда это взялось?

Слово «арксинус» звучит пугающе, но раскладывается очень просто. Латинское arcus значит «дуга». На единичной окружности длина дуги, соответствующей углу в $\alpha$ радиан, численно равна самому углу $\alpha$ — это буквально определение радианной меры (урок 91). Поэтому запись $\arcsin x$ дословно означает «дуга (то есть угол), синус которой равен $x$». Это не случайное название — оно напоминает, что перед тобой именно угол, а не какое-то абстрактное число.

Идея вычислять угол по значению тригонометрической функции гораздо старше самого термина. Ещё индийские математики — Ариабхата в V веке и особенно Мадхава из Сангамаграмы в XIV веке — строили таблицы, по сути, обратных функций для нужд астрономии: чтобы предсказать положение планеты, требовалось идти и в прямом, и в обратном направлении между углом и отношением сторон в треугольнике. Мадхава же первым получил бесконечный ряд для $\arctan x$ — тот самый, который в Европе через три столетия независимо переоткрыли Джеймс Грегори и Готфрид Лейбниц. Частный случай этого ряда при $x=1$ даёт красивую формулу $\dfrac{\pi}{4} = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dots$ — один из первых способов вычислять цифры числа $\pi$ вручную.

Современные обозначения и строгое определение появились куда позже, в XVIII веке, когда Леонард Эйлер и швейцарские математики (в частности, семья Бернулли) начали трактовать тригонометрические функции как полноценные функции, а не просто отношения сторон треугольника. Именно тогда встал формальный вопрос: если $\sin$ — периодическая функция и одно значение синуса соответствует бесконечному множеству углов, то что вообще означает «обратная функция к синусу»? Ответ, к которому пришли математики, — тот же самый приём, который ты видел в уроке про обратную функцию: нужно искусственно сузить область определения до промежутка, где функция монотонна, и только на этом промежутке строить обратную. Тот факт, что этот выбор до сих пор общепринят и одинаков во всех учебниках, калькуляторах и языках программирования — от math.asin в Python до Excel — сам по себе показателен: это не математическая случайность, а зафиксированное всеми соглашение, без которого разные системы просто не могли бы обмениваться результатами.

Почему нельзя просто «развернуть» синус: монотонность и инъективность

Давай разберёмся, в чём проблема

Возьми уравнение $\sin \alpha = 0{,}5$. Какой угол ему удовлетворяет? Первый кандидат — $30°$. Но $\sin 150° = 0{,}5$ тоже. И $\sin 390°$ (то есть $30° + 360°$). И $\sin(-330°)$. Уравнение имеет бесконечно много решений, потому что синус периодичен и не является инъективным: разные входы $\alpha$ дают одинаковый выход.

Вспомни урок 82: обратная функция существует только тогда, когда исходная функция инъективна — разным аргументам соответствуют разные значения. Если этого нет, «обратной функции» в строгом смысле не бывает: правило «по значению $y$ восстанови $x$» перестаёт быть однозначным, а функция обязана каждому входу сопоставлять ровно один выход. Синус на всей числовой прямой — это ровно тот случай, когда однозначного обратного правила не существует, точно так же как для $y = x^2$ на всей прямой.

Выход один: сузить область определения синуса до такого промежутка, на котором он строго монотонен (а значит, автоматически инъективен — монотонная функция никогда не принимает одно значение дважды) и при этом покрывает весь диапазон значений $[-1; 1]$ ровно один раз. Такой промежуток называют главной ветвью.

Определение: Функция называется обратимой на промежутке, если на этом промежутке она строго монотонна (строго возрастает либо строго убывает). Обратная тригонометрическая функция определяется как обратная к тригонометрической функции, рассматриваемой не на всей области определения, а только на выбранном промежутке строгой монотонности — так называемой главной ветви.

Пример 1 (интуиция): почему $[-\pi/2; \pi/2]$ — не случайный выбор

Возьмём синус на промежутке $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$. На нём синус строго возрастает: от $-1$ при $\alpha = -\pi/2$ до $1$ при $\alpha = \pi/2$, проходя через $0$ при $\alpha = 0$. Каждое значение из $[-1; 1]$ достигается ровно один раз. Это и делает синус на этом промежутке обратимым — можно однозначно восстановить угол по значению.

А что, если взять другой промежуток, например $\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]$? Там синус тоже монотонен (убывает от $1$ до $-1$), и тоже покрывает весь диапазон $[-1;1]$ ровно один раз — формально это тоже годная «главная ветвь»! Математически оба выбора равноправны. Но весь мир — учебники, калькуляторы, numpy, math.h в C — договорился использовать именно $[-\pi/2; \pi/2]$. Это чистое соглашение, а не математическая необходимость. И понимание этого важно практически: если бы одна библиотека выбрала одну главную ветвь, а другая — другую, результаты одного и того же вычисления в разных системах отличались бы, и никто бы не заметил ошибки, пока не начал сравнивать числа. Именно поэтому в реальном программировании нельзя «придумывать своё» — нужно использовать зафиксированный стандарт.

Пример 2 (медиана строгости): а что будет, если не сужать область

Представь, что кто-то определил бы «arcsin» как множество всех углов, дающих нужный синус: $\arcsin(0{,}5) = \{30°, 150°, 390°, \dots\}$. Формально это корректное соответствие, но это не функция — функция обязана возвращать ровно одно значение на каждый вход. Такую конструкцию в математике называют не функцией, а отношением или многозначной функцией, и с ней нельзя работать привычными инструментами: её нельзя подставить в формулу, нельзя запрограммировать как обычный вызов f(x), у неё не определены естественным образом сложение и композиция с другими функциями. Именно поэтому однозначность — не бюрократическая формальность, а условие, без которого вся дальнейшая алгебра просто разваливается.

Пример 3 (почему это важно): инъективность в машинном обучении

Та же логика работает не только с тригонометрией. Функция softmax необратима: разным логитам $(1, 2, 3)$ и $(101, 102, 103)$ она сопоставляет одинаковый выход, потому что зависит только от разностей между логитами. Обратить её без дополнительной информации невозможно — ровно потому же, почему нельзя обратить $\sin$ на всей прямой. А вот сигмоида — функция $\sigma(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ — строго монотонна на всей прямой, и поэтому у неё есть корректная обратная функция (логит-функция, $\text{logit}(p) = \ln\dfrac{p}{1-p}$), которая широко используется в логистической регрессии. Вопрос «обратима эта функция или нет» — это в первую очередь вопрос «инъективна ли она», и обратные тригонометрические функции — самый наглядный пример того, как эту проблему решают искусственным сужением области.

Арксинус: угол по значению синуса

Интуиция

Арксинус отвечает на вопрос: «Синус какого угла из промежутка $[-\pi/2; \pi/2]$ равен данному числу?» Представь это как справочник наоборот: обычно ты открываешь справочник по имени человека и находишь его телефон, а здесь — знаешь телефон и ищешь имя, причём договорились искать только среди людей с именами от «А» до «Л» (это и есть аналог главной ветви — сужения, которое гарантирует единственный ответ).

Определение: Арксинусом числа $x$ называется угол $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $x$:

$$\arcsin x = \alpha \iff \sin \alpha = x, \quad \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$$

Область определения: $x \in [-1; 1]$ (синус не может выходить за эти границы, значит, и просить у арксинуса значение за их пределами бессмысленно). Область значений: $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Примеры с разбором

Пример 1 (лёгкий). Найди $\arcsin 1$.

Нужен угол из $[-\pi/2; \pi/2]$, синус которого равен $1$. Это верхняя граница промежутка: $\sin(\pi/2) = 1$.

Ответ: $\arcsin 1 = \dfrac{\pi}{2}$.

Пример 2 (средний). Вычисли $\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)$.

Ищем угол с синусом $-1/2$. Знаем, что $\sin(\pi/6) = 1/2$; поскольку нужен отрицательный синус, а промежуток $[-\pi/2;\pi/2]$ симметричен относительно нуля, берём противоположный угол: $\sin(-\pi/6) = -1/2$, и $-\pi/6$ действительно лежит в допустимом промежутке.

Ответ: $\arcsin\left(-\dfrac12\right) = -\dfrac{\pi}{6}$.

Пример 3 (сложный, прикладной). Тестовый стенд робота-манипулятора измерил скорость схвата: полная скорость $5$ м/с, вертикальная составляющая — $3$ м/с. Под каким углом к горизонту движется схват?

Вертикальная составляющая скорости связана с углом через синус: $v_y = v \cdot \sin\theta$, значит $\sin\theta = \dfrac{v_y}{v} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.

Это не «красивый» табличный угол — точное значение не выражается через привычные $\pi/6, \pi/4, \pi/3$. Здесь на сцену выходит калькулятор (или np.arcsin в коде): $\arcsin(0{,}6) \approx 0{,}6435$ рад $\approx 36{,}87°$.

Ответ: $\theta \approx 36{,}87°$.

Обрати внимание на тройку чисел $3, 4, 5$: это классический прямоугольный треугольник с целыми сторонами (пифагорова тройка). Он будет ещё не раз всплывать в этом уроке — авторы задач обожают такие «красивые», хоть и не табличные, значения, потому что они дают чистые дроби вместо длинных десятичных хвостов.

Почему это важно

Именно арксинус чаще всего появляется, когда известно отношение «противолежащий катет / гипотенуза» — то есть вертикальная компонента к полной длине вектора. В обработке сигналов, в физике колебаний, в анализе датчиков ориентации (акселерометр меряет проекции гравитации на оси) — везде, где интересует именно вертикальная составляющая, естественным образом появляется $\arcsin$.

Арккосинус: угол по значению косинуса

Интуиция

Косинус на всей числовой прямой инъективен ещё меньше, чем синус: он к тому же чётный ($\cos(-x) = \cos x$), а значит, симметричный относительно нуля промежуток никогда не будет промежутком строгой монотонности (при переходе через ноль косинус разворачивается). Поэтому для арккосинуса выбрали другой промежуток — не симметричный, а «односторонний»: от $0$ до $\pi$. На нём косинус строго убывает от $1$ до $-1$, покрывая весь диапазон значений ровно один раз.

Определение: Арккосинусом числа $x$ называется угол $\alpha \in [0; \pi]$, косинус которого равен $x$:

$$\arccos x = \alpha \iff \cos \alpha = x, \quad \alpha \in [0; \pi]$$

Область определения: $x \in [-1; 1]$. Область значений: $\alpha \in [0; \pi]$.

Примеры с разбором

Пример 1 (лёгкий). Найди $\arccos 1$.

Нужен угол из $[0;\pi]$ с косинусом $1$. Это левая граница: $\cos 0 = 1$.

Ответ: $\arccos 1 = 0$.

Пример 2 (средний). Вычисли $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$.

Знаем $\cos(\pi/6) = \sqrt3/2$. Косинус отрицателен во второй четверти, поэтому нужный угол — «зеркальный» относительно $\pi/2$: $\pi - \pi/6 = 5\pi/6$. Проверка: $\cos(5\pi/6) = -\cos(\pi/6) = -\sqrt3/2$ ✓, и $5\pi/6 \in [0;\pi]$.

Ответ: $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = \dfrac{5\pi}{6}$.

Пример 3 (сложный, прикладной). В системе рекомендаций два эмбеддинга товаров (векторы, которые модель строит для описания смысла товара) имеют косинусное сходство $\cos\theta = 0{,}6$. Насколько «далеки» товары друг от друга в угловом смысле?

Снова наш треугольник $3$–$4$–$5$, только в дополнительной роли: $\cos\theta = 3/5$ соответствует тому же прямоугольному треугольнику, что и синус $4/5$ в предыдущем разделе — это не совпадение, а прямое следствие того, что $0{,}6$ и $0{,}8$ — катеты одного и того же треугольника, поделённые на гипотенузу.

Ответ: угол между эмбеддингами $\approx 53{,}13°$ — довольно далеко (для сравнения, идентичные по смыслу векторы дают $\theta \approx 0°$, то есть $\cos\theta \approx 1$).

Почему это важно

Формула угла между векторами $\cos\theta = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$ — это одна из самых используемых формул во всём машинном обучении. Косинусное сходство между эмбеддингами слов, документов, изображений — это именно косинус угла между векторами в многомерном пространстве. Но сходство само по себе — число от $-1$ до $1$, которое неудобно интерпретировать напрямую. Применив $\arccos$, получаешь настоящий угол в градусах — величину, которую человек интуитивно понимает: «векторы почти сонаправлены» ($\theta$ близко к $0°$), «перпендикулярны, ничего общего» ($\theta \approx 90°$), «противоположны по смыслу» ($\theta$ близко к $180°$).

Арктангенс: угол по значению тангенса

Интуиция

Тангенс, в отличие от синуса и косинуса, не ограничен — он пробегает все действительные числа от $-\infty$ до $+\infty$ на каждом периоде. Зато область значений арктангенса от этого только выигрывает: он определён для абсолютно любого $x \in \mathbb{R}$, никаких «запрещённых» входов, в отличие от арксинуса и арккосинуса.

Определение: Арктангенсом числа $x$ называется угол $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $x$:

$$\operatorname{arctg} x = \alpha \iff \operatorname{tg} \alpha = x, \quad \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$$

Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$. Область значений: $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ — обрати внимание, границы открытые (не включены): тангенс не определён при $\pm\pi/2$, поэтому и арктангенс никогда не достигает этих значений, лишь стремится к ним.

Примеры с разбором

Пример 1 (лёгкий). Найди $\operatorname{arctg} 0$.

$\operatorname{tg} 0 = 0$, и $0 \in (-\pi/2; \pi/2)$.

Ответ: $\operatorname{arctg} 0 = 0$.

Пример 2 (средний). Вычисли $\operatorname{arctg}\left(-\dfrac{1}{\sqrt3}\right)$.

Знаем $\operatorname{tg}(\pi/6) = 1/\sqrt3$. Тангенс — нечётная функция (позже в этом уроке разберём, почему это важно для arctg), поэтому $\operatorname{tg}(-\pi/6) = -1/\sqrt3$.

Ответ: $\operatorname{arctg}\left(-\dfrac{1}{\sqrt3}\right) = -\dfrac{\pi}{6}$.

Пример 3 (сложный, прикладной). Линейная регрессия подобрала прямую с коэффициентом наклона $k = 2{,}5$ (то есть $y = 2{,}5x + b$). Под каким углом эта прямая наклонена к оси $Ox$?

Коэффициент наклона прямой — это в точности тангенс угла наклона: $k = \operatorname{tg}\theta$, значит:

И снова у нас нет «красивого» табличного угла — коэффициент $2{,}5$ не соответствует ни одному стандартному значению тангенса. Это нормальная ситуация: в реальных данных углы почти никогда не оказываются «удобными». Именно для таких случаев в науке о данных используют не таблицы, а функции вроде np.arctan:

import numpy as np

theta_rad = np.arctan(2.5)
theta_deg = np.degrees(theta_rad)
print(f"{theta_deg:.2f}°")   # ≈ 68.20°

Ответ: $\theta \approx 68{,}20°$.

Почему это важно

Арктангенс — гладкая, строго возрастающая, ограниченная функция: её значения зажаты между $-\pi/2$ и $\pi/2$, но сама она определена всюду. Это делает её похожей по форме на сигмоиду и гиперболический тангенс — недаром в некоторых задачах (например, в мягком ограничении диапазона значений или в отдельных схемах квантования нейросетевых весов) вместо $\tanh$ иногда используют именно $\operatorname{arctg}$ как альтернативную «сглаживающую» функцию: она тоже нечётная, тоже монотонная, тоже с горизонтальными асимптотами, просто с чуть другой скоростью насыщения на краях.

Арккотангенс: угол по значению котангенса

Интуиция

Арккотангенс — самый редко используемый из четырёх, но для полноты картины он необходим. Как и арктангенс, он принимает любые действительные числа, но, как и арккосинус, живёт на «одностороннем» промежутке значений — из-за того, что котангенс, как и косинус, не является нечётной функцией удобным для симметричного промежутка образом.

Определение: Арккотангенсом числа $x$ называется угол $\alpha \in (0; \pi)$, котангенс которого равен $x$:

$$\operatorname{arcctg} x = \alpha \iff \operatorname{ctg} \alpha = x, \quad \alpha \in (0; \pi)$$

Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$. Область значений: $\alpha \in (0; \pi)$ — границы снова открытые, поскольку котангенс не определён при $0$ и при $\pi$.

Примеры с разбором

Пример 1 (лёгкий). Найди $\operatorname{arcctg} 1$.

$\operatorname{ctg}(\pi/4) = 1$, и $\pi/4 \in (0;\pi)$.

Ответ: $\operatorname{arcctg} 1 = \dfrac{\pi}{4}$.

Пример 2 (средний). Вычисли $\operatorname{arcctg}(-1)$.

Котангенс отрицателен во второй четверти круга значений $(0;\pi)$ — то есть на промежутке $(\pi/2; \pi)$. Нужен угол, «зеркальный» к $\pi/4$ относительно $\pi/2$: $\pi - \pi/4 = 3\pi/4$. Проверка: $\operatorname{ctg}(3\pi/4) = \dfrac{\cos(3\pi/4)}{\sin(3\pi/4)} = \dfrac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2} = -1$ ✓.

Ответ: $\operatorname{arcctg}(-1) = \dfrac{3\pi}{4}$.

Пример 3 (сложный, практический). В Python (в модуле math) нет функции acot. Как посчитать $\operatorname{arcctg}(5)$?

Здесь пригождается тождество $\operatorname{arcctg} x = \dfrac{\pi}{2} - \operatorname{arctg} x$, которое верно для любого действительного $x$ (докажем его чуть позже, в разделе про тождества). Подставляем:

import math

def arcctg(x):
    return math.pi / 2 - math.atan(x)

print(math.degrees(arcctg(5)))   # ≈ 11.31

Ответ: $\operatorname{arcctg}(5) \approx 0{,}1974$ рад $\approx 11{,}31°$.

Почему это важно

На практике арккотангенс встречается заметно реже трёх остальных — большинство калькуляторов и библиотек его вообще не реализуют напрямую, именно потому что его всегда можно выразить через арктангенс. Но знать его нужно: он регулярно всплывает в геометрических задачах (угол между прямыми через отношение коэффициентов) и в некоторых инженерных формулах, где удобнее оперировать отношением «прилежащий / противолежащий», а не наоборот.

Итоговая таблица: область определения, значений и стандартные углы

Собери всё в одну картину — эта таблица понадобится тебе постоянно, пока ты не выучишь её наизусть.

А вот стандартные значения, которые встречаются в задачах чаще всего — их стоит держать в голове так же уверенно, как таблицу умножения:

Заметь закономерность в обеих таблицах: столбцы $\arcsin$ и $\arccos$ (или $\operatorname{arctg}$ и $\operatorname{arcctg}$) для одного и того же $x$ всегда складываются в $\pi/2$. Это не совпадение — это тождество, которое мы докажем в следующем разделе.

atan2: почему одного арктангенса мало

Давай разберёмся, в чём проблема

Представь, что тебе нужно найти направление вектора $(x, y)$ — например, направление, в котором сместился объект на видео между двумя кадрами. Естественная идея — посчитать $\operatorname{arctg}\left(\dfrac{y}{x}\right)$. Возьмём вектор $(-3, -4)$ — он указывает в третью четверть, влево и вниз. Компьютер вычисляет:

Но $53°$ — это направление вправо и вверх (первая четверть)! Отношение $y/x$ «забыло» знаки исходных $x$ и $y$ по отдельности — минус на минус даёт плюс, и информация о том, в какой четверти на самом деле находится вектор, теряется безвозвратно. Обычный $\operatorname{arctg}$ в принципе не может её восстановить: он видит только одно число $y/x$, а не пару $(x, y)$.

Решение — функция atan2(y, x) (в математике её также обозначают $\operatorname{arctg2}$), которая принимает оба числа по отдельности и, зная знак каждого, безошибочно определяет нужную четверть.

Определение: Функция $\operatorname{atan2}(y, x)$ возвращает угол $\theta \in (-\pi; \pi]$ между положительным направлением оси $Ox$ и вектором $(x, y)$, отсчитываемый с учётом того, в какой четверти находится вектор:

$$\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} \operatorname{arctg}(y/x), & x > 0 \\ \operatorname{arctg}(y/x) + \pi, & x < 0,\ y \geq 0 \\ \operatorname{arctg}(y/x) - \pi, & x < 0,\ y < 0 \\ \pi/2, & x = 0,\ y > 0 \\ -\pi/2, & x = 0,\ y < 0 \end{cases}$$

Формула выглядит громоздко, но идея простая: atan2 — это тот же арктангенс, только с «коррекцией четверти», подсмотренной из знаков $x$ и $y$ напрямую, а не из их частного.

Примеры с разбором

Пример 1 (лёгкий). Найди $\operatorname{atan2}(1, 1)$.

Вектор $(1, 1)$ — первая четверть, $x > 0$, значит $\operatorname{atan2}(1,1) = \operatorname{arctg}(1/1) = \operatorname{arctg} 1 = \pi/4$.

Ответ: $\pi/4$ (то есть $45°$) — как и ожидалось для диагонального вектора вправо-вверх.

Пример 2 (средний). Найди $\operatorname{atan2}(-4, -3)$ — тот самый вектор из вступления.

$x = -3 < 0$, $y = -4 < 0$ — третья четверть, применяем третью строку формулы:

Ответ: $\approx -126{,}87°$ (что то же самое, что $233{,}13°$, если считать угол от $0°$ до $360°$) — это действительно направление влево-вниз, в отличие от ошибочных $53°$, которые дал бы «наивный» арктангенс.

Пример 3 (сложный, прикладной — HOG-дескриптор в компьютерном зрении). Алгоритм HOG (Histogram of Oriented Gradients), лежащий в основе классических детекторов пешеходов и лиц, для каждого пикселя изображения вычисляет горизонтальный градиент $G_x$ и вертикальный градиент $G_y$ (через свёртку с оператором Собеля), а затем — направление градиента яркости. Пусть в одном пикселе $G_x = 3$, $G_y = 4$.

(здесь $x = 3 > 0$, поэтому применяется просто первая строка формулы — коррекция не нужна).

Ответ: направление градиента яркости $\approx 53{,}13°$. По таким углам HOG строит гистограмму направлений в каждой ячейке изображения — это и есть признаки, которые затем шли на вход классификатору.

Почему это важно

atan2 — это функция, у которой нет классического «школьного» аналога: она родилась не в геометрии XVIII века, а в инженерных библиотеках математических вычислений XX века, потому что программистам постоянно требовался угол вектора на полной окружности $(-\pi;\pi]$, а не на полуоборот $(-\pi/2;\pi/2)$, который даёт обычный арктангенс. Она используется буквально везде, где есть направление: расчёт курса в GPS-навигации, определение ориентации объекта в SLAM-алгоритмах робототехники, извлечение угла поворота из матрицы вращения в компьютерной графике, вычисление фазы комплексного числа. Если ты пишешь код, который вычисляет угол по двум координатам — используй atan2(y, x), а не atan(y/x). Это не мелочь: ошибка в четверти — это ошибка на $90°$–$180°$, а не небольшая неточность.

Чётность, нечётность и тождества между обратными функциями

Давай разберёмся

Тангенс и синус — нечётные функции: $\sin(-x) = -\sin x$, $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$. Их главные ветви — промежутки $[-\pi/2;\pi/2]$ и $(-\pi/2;\pi/2)$ — тоже симметричны относительно нуля. Из-за этого обратные к ним функции наследуют нечётность.

Косинус и котангенс — не нечётные (косинус вообще чётный), и их главные ветви для арккосинуса и арккотангенса — промежутки $[0;\pi]$ и $(0;\pi)$ — специально выбраны не симметрично относительно нуля, чтобы уместить весь диапазон значений в промежуток строгой монотонности. Поэтому у $\arccos$ и $\operatorname{arcctg}$ нет ни чётности, ни нечётности — зато есть похожее, но другое свойство: связь значения в точке $-x$ со значением в точке $x$ через дополнение до $\pi$.

Определение (чётность/нечётность и тождества дополнения):

$$\arcsin(-x) = -\arcsin x \qquad \text{(нечётная)}$$

$$\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg} x \qquad \text{(нечётная)}$$

$$\arccos(-x) = \pi - \arccos x \qquad \text{(не чётная и не нечётная)}$$

$$\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg} x \qquad \text{(не чётная и не нечётная)}$$

А также два тождества дополнения между парами функций, верные для любого допустимого $x$:

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in [-1;1]$$

$$\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Примеры с разбором

Пример 1 (лёгкий). Пользуясь нечётностью, вычисли $\arcsin(-\sqrt3/2)$, зная, что $\arcsin(\sqrt3/2) = \pi/3$.

Ответ: $-\pi/3$.

Пример 2 (средний). Докажи, что $\arccos$ не является ни чётной, ни нечётной функцией.

Если бы $\arccos$ была нечётной, выполнялось бы $\arccos(-x) = -\arccos(x)$ для всех допустимых $x$. Проверим на $x=1$: $\arccos(1) = 0$, тогда должно быть $\arccos(-1) = -0 = 0$. Но на самом деле $\arccos(-1) = \pi \neq 0$. Нечётность не выполняется.

Если бы функция была чётной, выполнялось бы $\arccos(-x) = \arccos(x)$. На том же примере: $\arccos(-1)$ должно было бы равняться $\arccos(1) = 0$, но на деле равно $\pi$. Чётность тоже не выполняется.

Вывод: $\arccos$ — функция общего вида, не обладающая ни одним из этих двух видов симметрии. Вместо этого у неё есть более слабое, но точное свойство — тождество дополнения $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$, которое мы сейчас докажем в общем виде.

Пример 3 (сложный). Докажи тождество $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ для любого $x \in [-1; 1]$.

Пусть $\alpha = \arcsin x$. По определению это значит: $\sin\alpha = x$ и $\alpha \in [-\pi/2; \pi/2]$.

Рассмотрим угол $\beta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha$. Так как $\alpha \in [-\pi/2;\pi/2]$, то $\beta = \pi/2 - \alpha \in [0; \pi]$ — то есть $\beta$ как раз попадает в промежуток, на котором определён арккосинус.

По формуле приведения (урок 96): $\cos\beta = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha = x$.

Итак, мы нашли угол $\beta \in [0;\pi]$ такой, что $\cos\beta = x$. А арккосинус по определению — это единственный такой угол в этом промежутке (единственность здесь гарантирована строгой монотонностью косинуса на $[0;\pi]$ — той самой инъективностью, о которой шла речь в начале урока). Значит, $\beta = \arccos x$.

Подставляя обратно $\beta = \pi/2 - \alpha$, получаем $\arccos x = \pi/2 - \alpha = \pi/2 - \arcsin x$, откуда:

Обрати внимание: всё доказательство опирается именно на строгую монотонность (инъективность) косинуса на выбранном промежутке — без этого шаг «значит, $\beta = \arccos x$» был бы недоказуем, потому что могло бы найтись другое $\beta'$ с тем же косинусом.

Почему это важно

Эти тождества — не просто красивая алгебра, а рабочий инструмент. Во-первых, они экономят вычисления: если ты уже знаешь $\arcsin x$, тебе не нужно отдельно искать $\arccos x$ — просто вычти из $\pi/2$. Во-вторых, именно тождество $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \pi/2$ (верное для абсолютно любого $x$, в отличие от многих других тригонометрических тождеств, обременённых условиями на знак) — это тот самый инструмент, которым в примере с арккотангенсом мы обошли отсутствие функции acot в языках программирования.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Вычисли $\arcsin\dfrac{1}{2}$.

Задание 2: Вычисли $\arccos\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Задание 3: Вычисли $\operatorname{arctg} 1$.

Задание 4: Вычисли $\operatorname{arcctg}\sqrt3$.

Задание 5: Вычисли $\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$.

Задание 6: Вычисли $\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)$.

Задание 7: Вычисли $\operatorname{arctg}(-1)$.

Задание 8: Вычисли $\operatorname{arcctg} 0$.

Задание 9: Почему выражение $\arcsin(1{,}5)$ не имеет смысла? Объясни через область определения.

Задание 10: Найди область определения функции $f(x) = \arcsin(2x-3)$.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Вычисли $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$, используя тождество дополнения.

Задание 12: Вычисли $\operatorname{arctg}(-\sqrt3)$.

Задание 13: Вычисли $\sin(\arccos\frac{3}{5})$.

Задание 14: Вычисли $\cos(\arcsin\frac{5}{13})$.

Задание 15: Вычисли $\operatorname{tg}(\arcsin\frac{5}{13})$.

Задание 16: Реши уравнение $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{3}$.

Задание 17: Найди область определения функции $f(x) = \arccos(x^2 - 2)$.

Задание 18: Вычисли $\operatorname{arctg} 2 + \operatorname{arctg}\dfrac12$.

Задание 19 (ML): Косинусное сходство между двумя эмбеддингами документов в векторной базе данных равно $0{,}8$. Найди угол между векторами.

Задание 20 (CV): Оператор Собеля в пикселе изображения дал горизонтальный градиент $G_x = 3$ и вертикальный градиент $G_y = 4$. Найди направление градиента яркости через atan2.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Докажи тождество $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ для произвольного $x \in [-1;1]$ (без ссылки на таблицу).

Задание 22: Докажи, что $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg}\dfrac1x = \dfrac{\pi}{2}$ при $x>0$ и $= -\dfrac{\pi}{2}$ при $x<0$.

Задание 23: Реши уравнение $\arcsin(2x-1) = \dfrac{\pi}{6}$.

Задание 24: Вычисли $\sin\left(2\arcsin\dfrac35\right)$, используя формулу синуса двойного угла из урока 98.

Задание 25: Вычисли $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 2 + \operatorname{arctg} 3)$, используя формулу тангенса суммы (урок 97).

Задание 26 (Data Science): Два вектора главных компонент (PCA) имеют угол между собой, для которого $\cos\theta = -0{,}6$. Найди $\theta$.

Задание 27 (робототехника): Двухзвенный манипулятор с длинами звеньев $L_1=3$, $L_2=4$ должен дотянуться до точки на расстоянии $d=\sqrt{13}$ от основания. По теореме косинусов угол в «локте» манипулятора удовлетворяет $\cos\theta = \dfrac{L_1^2+L_2^2-d^2}{2L_1L_2}$. Найди $\theta$.

Задание 28: Реши неравенство $\arcsin(2x-1) < \dfrac{\pi}{4}$.

Задание 29 (компьютерное зрение): Вычисли $\operatorname{atan2}(-4,-3)$ в градусах и объясни, чем этот ответ отличается от наивного $\operatorname{arctg}(-4/-3)$.

Задание 30: Докажи, что функция $\arccos x$ не является ни чётной, ни нечётной, но удовлетворяет тождеству $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$ для любого $x \in [-1;1]$.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: путать $\arcsin x$ с $\dfrac{1}{\sin x}$

Обозначение $\arcsin$ не имеет никакого отношения к дроби $1/\sin$ — это совершенно разные функции. У $1/\sin x$ (косеканс) другая область определения и другой смысл. Значок «$\arcsin$» — единое неразделимое имя функции, а не произведение и не степень.

❌ Ошибка 2: считать, что арккосинус может дать два ответа — «плюс-минус» угол

Неправильно: $\arccos(1/2) = \pm 60°$. Правильно: $\arccos(1/2) = 60°$ — только одно значение, потому что область значений арккосинуса ограничена промежутком $[0;\pi]$, а угол $-60°$ туда не входит.

❌ Ошибка 3: применять обратные функции к значениям вне допустимой области

$\arcsin(2)$, $\arccos(-1{,}5)$ и подобные выражения не определены. В коде это особенно коварно: если косинусное сходство двух векторов из-за погрешности вычислений с плавающей точкой оказалось равным $1{,}0000000002$ вместо ровно $1{,}0$, вызов np.arccos() вернёт NaN. Правильная защита — обрезать значение перед вызовом: np.arccos(np.clip(value, -1.0, 1.0)).

❌ Ошибка 4: путать $\operatorname{arctg}(y/x)$ и atan2(y, x)

Как показано в разделе про atan2, деление $y/x$ теряет информацию о знаках $x$ и $y$ по отдельности, и наивный арктангенс может «промахнуться» на целую четверть — то есть на $90°$–$180°$. Для вычисления направления вектора по двум координатам всегда используй atan2, а не atan от отношения.

❌ Ошибка 5: считать, что $\arcsin(\sin x) = x$ для любого $x$

Это тождество верно только при $x \in [-\pi/2;\pi/2]$ — там, где и живёт синус на своей главной ветви. Например, $\sin(2\pi/3) = \sqrt3/2$, но $\arcsin(\sqrt3/2) = \pi/3$, а вовсе не $2\pi/3$: арксинус всегда возвращает угол из своей области значений, даже если исходный угол был другим. То же самое верно для $\arccos(\cos x) = x$ только при $x \in [0;\pi]$, для $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)=x$ только при $x\in(-\pi/2;\pi/2)$.

❌ Ошибка 6: считать, что обратные тригонометрические функции периодичны

Синус, косинус и тангенс периодичны — а вот $\arcsin$, $\arccos$, $\operatorname{arctg}$, $\operatorname{arcctg}$ не периодичны: это обычные функции с фиксированной, ограниченной областью значений, определённые (там, где определены) один раз, без повторов. Путать это с периодичностью исходных функций — распространённая ошибка при решении тригонометрических уравнений (следующий урок разберёт это подробно).

❌ Ошибка 7: доверять формуле сложения тангенсов без проверки четверти

Как показано в Задании 25, формула $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} a + \operatorname{arctg} b)$ даёт корректное значение тангенса суммы, но сама сумма углов $\operatorname{arctg} a + \operatorname{arctg} b$ может выйти за пределы области значений арктангенса. Бездумно писать «значит, сумма равна $\operatorname{arctg}$ от результата» — источник систематических ошибок на $\pm\pi$.

Главное запомнить

✅ Обратные тригонометрические функции существуют только потому, что для sin, cos, tg, ctg искусственно выбрали промежуток строгой монотонности (главную ветвь) — без этого сужения обратной функции просто не могло бы быть, потому что исходные функции периодичны и неинъективны.

✅ $\arcsin x$: область определения $[-1;1]$, область значений $\left[-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right]$, нечётная функция.

✅ $\arccos x$: область определения $[-1;1]$, область значений $[0;\pi]$, не чётная и не нечётная.

✅ $\operatorname{arctg} x$: область определения — все действительные числа, область значений $\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)$, нечётная функция.

✅ $\operatorname{arcctg} x$: область определения — все действительные числа, область значений $(0;\pi)$, не чётная и не нечётная.

✅ Тождества дополнения работают всегда без исключений: $\arcsin x+\arccos x=\pi/2$ на $[-1;1]$ и $\operatorname{arctg} x+\operatorname{arcctg} x=\pi/2$ на всей числовой прямой.

✅ Тождество $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg}(1/x) = \pm\pi/2$ зависит от знака $x$ — это не то же самое, что тождество с $\operatorname{arcctg}$.

✅ atan2(y, x) учитывает знаки $x$ и $y$ по отдельности и покрывает весь круг $(-\pi;\pi]$ — обычный $\operatorname{arctg}(y/x)$ теряет информацию о четверти.

✅ $\arcsin(\sin x)=x$ и подобные «самоочевидные» тождества верны только внутри области значений соответствующей обратной функции — вне неё результат будет другим.

✅ Перед вызовом arccos на вычисленном косинусном сходстве обязательно обрезай значение в $[-1;1]$ — иначе погрешность плавающей точки даст NaN.

✅ Формула угла между векторами $\theta = \arccos\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$ — одна из самых часто используемых формул в ML: именно так интерпретируют косинусное сходство эмбеддингов как настоящий угол.

Связь с другими темами курса

Что уже пригодилось из прошлых уроков:

• Радианная мера угла и единичная окружность (уроки 91–92) — без них бессмысленно говорить о «промежутке $[-\pi/2;\pi/2]$»
• Определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса (уроки 93–94) и основное тригонометрическое тождество (урок 95) — они использовались в задачах на композицию вроде $\sin(\arccos x)$
• Формулы приведения (урок 96) — ключевой инструмент в доказательстве тождеств дополнения
• Формулы сложения и двойного угла (уроки 97–98) — понадобились в заданиях 24–25
• Понятие обратной функции и условие обратимости через монотонность (урок 82) — прямой концептуальный фундамент всего этого урока

Что понадобится дальше:

• Простейшие тригонометрические уравнения (урок 103) — обратные тригонометрические функции появятся там в самом сердце общей формулы решения: $\sin x = a \implies x = (-1)^n\arcsin a + \pi n$
• В курсе математического анализа (после знакомства с производной, урок 133) ты узнаешь, что $\operatorname{arctg} x$ имеет удивительно простую производную $\dfrac1{1+x^2}$ — одну из самых красивых формул анализа, но сейчас, до изучения производной, тебе это не понадобится
• В теории вероятностей и статистике обратные тригонометрические функции встречаются в преобразованиях данных (arcsine-преобразование долей)

Где это работает в реальных задачах:

🤖 В машинном обучении: превращение косинусного сходства эмбеддингов в интерпретируемый угол через $\arccos$; вычисление направления градиента в HOG-дескрипторах и Sobel-фильтрах через atan2.

🦾 В робототехнике: обратная кинематика — вычисление углов суставов манипулятора по желаемому положению схвата через теорему косинусов и $\arccos$.

📷 В компьютерной графике: извлечение угла поворота из матрицы вращения или кватерниона, вычисление курса камеры.

🧭 В навигации: курс движения объекта на плоскости по компонентам скорости через atan2.

Интересные факты

💡 Слово «arc» — не украшение, а точный смысл. «Arcus» по-латински — дуга. На единичной окружности длина дуги в радианах численно совпадает с самим углом, поэтому «$\arcsin x$» дословно значит «дуга (угол), синус которой равен $x$» — очень буквальное название, редкое для математики.

💡 Первый бесконечный ряд для арктангенса открыли не в Европе. Индийский математик Мадхава из Сангамаграмы вывел ряд $\arctan x = x - \dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5-\dots$ ещё в XIV веке — за три столетия до того, как его независимо переоткрыли Джеймс Грегори и Готфрид Лейбниц в Европе. Подставив $x=1$, получаем формулу для $\pi$, которой столетиями вычисляли его цифры вручную.

💡 atan2 не имеет классического математического «предка». В отличие от $\arcsin$, $\arccos$ и $\operatorname{arctg}$, у которых есть многовековая история в геометрии и астрономии, atan2 появилась как инженерная функция в библиотеках вычислительной математики XX века — она понадобилась именно программистам, которым нужен был угол вектора на полном круге, а не на полуобороте.

💡 Область значений арккосинуса выбрана не по необходимости, а по договорённости. Формально годился бы и другой промежуток строгой монотонности косинуса — например, $[-\pi;0]$, где косинус тоже возрастает от $-1$ до $1$. Но весь мир договорился использовать именно $[0;\pi]$ — и именно поэтому калькулятор, Python и учебник дают одинаковый ответ.

💡 Обратная кинематика роботов — это по сути десятки уравнений с $\arccos$ и atan2 подряд. Каждый раз, когда роборука в промышленности или манипулятор марсохода получает команду «дотянись до точки $(x,y,z)$», где-то внутри контроллера вычисляется цепочка обратных тригонометрических функций, переводящая координаты цели в углы поворота каждого сустава.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Как быстро вспомнить область значений каждой функции

Запомни пару: «arcsin и arctg живут симметрично вокруг нуля» ($[-\pi/2;\pi/2]$ и $(-\pi/2;\pi/2)$), а «arccos и arcctg поднимаются по лестнице от 0 до $\pi$» ($[0;\pi]$ и $(0;\pi)$). Синус и тангенс — нечётные, отсюда и симметрия их обратных функций; косинус и котангенс — нет, отсюда и «лестница».

2. Одна формула на два случая композиции

Если тебе нужно посчитать и $\sin(\arccos x)$, и $\cos(\arcsin x)$ — не удивляйся, что ответ один и тот же: $\sqrt{1-x^2}$. Оба выражения на всей области определения дают неотрицательный корень, потому что синус неотрицателен на $[0;\pi]$ (область значений arccos), а косинус неотрицателен на $[-\pi/2;\pi/2]$ (область значений arcsin). Одна формула закрывает сразу оба случая.

3. Всегда обрезай косинусное сходство перед arccos в коде

import numpy as np

cos_sim = np.dot(a, b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b))
cos_sim = np.clip(cos_sim, -1.0, 1.0)   # защита от NaN из-за погрешности округления
angle = np.arccos(cos_sim)

Это не паранойя — с плавающей точкой значение вроде $1{,}0000000002$ возникает регулярно, особенно на нормализованных векторах.

4. Для угла вектора в коде — только atan2, никогда не голый atan(y/x)

Соблазн написать math.atan(y/x) велик, но он сломается на любом векторе с $x<0$ и даст ZeroDivisionError при $x=0$. math.atan2(y, x) (или np.arctan2) решает обе проблемы сразу и всегда возвращает угол в правильной четверти.

5. Как посчитать арккотангенс, если под рукой только atan

Пользуйся тождеством $\operatorname{arcctg} x = \dfrac{\pi}2 - \operatorname{arctg} x$ — оно верно для любого $x$, без исключений на знак, в отличие от похожего, но более капризного тождества $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg}(1/x)$.

6. Проверяй ответ, подставляя обратно

После вычисления $\arcsin$, $\arccos$ или любой другой обратной функции всегда можно (и нужно) подставить результат в исходную функцию и убедиться, что получилось исходное число — это буквально то же самое тождество $f(f^{-1}(y))=y$, которое ты видел в уроке про обратные функции.

Обратные тригонометрические функции на первый взгляд кажутся набором сухих формул с ограничениями на область определения — но на деле это ровно та математика, которая ежедневно скрыта внутри камеры телефона, распознающей лица, внутри робота, дотягивающегося до предмета, и внутри модели, объясняющей, насколько похожи два смысла в тексте. Дальше, в уроке 103, ты используешь эти функции по прямому назначению — для решения тригонометрических уравнений, и увидишь, как аккуратно выбранные промежутки главных ветвей превращаются в универсальные формулы общего решения.