Единичная окружность ⭕

Представь, что ты готовишь признак «час суток» для модели, которая предсказывает загрузку сервера или спрос на такси. Час — число от 0 до 23. Кажется, можно просто скормить его модели как есть. Но у этого числа есть уродливый разрыв: час $23$ и час $0$ — соседи, между ними одна минута, а для модели, которая видит только числа, это максимально далёкие друг от друга значения на шкале. Модель будет учиться так, будто между 23:00 и 00:00 пролегла пропасть, хотя на самом деле это одна и та же ночная граница, просто с двух сторон.

Проблема не только в часах. День недели, месяц, направление ветра, фаза Луны, угол поворота детали на конвейере — любая величина, которая зацикливается, ломает обычную числовую прямую: у прямой есть начало и конец, а у цикла их нет. Нужна геометрическая фигура, у которой тоже нет ни начала, ни конца — и она, конечно, давно существует. Это окружность.

В прошлом уроке ты разобрался с радианной мерой — узнал, что угол можно измерять не «условными» градусами, а длиной дуги, которую он вырезает на окружности. Сегодня мы берём самую простую окружность, какая только бывает — радиуса $1$, с центром в начале координат — и превращаем её в универсальный инструмент: адресную книгу, которая каждому углу ставит в соответствие ровно одну точку с двумя координатами. Эти координаты и называются косинусом и синусом, но сегодняшний урок — не про формулы для конкретных углов (this we still keep for lesson 93), а про саму конструкцию: почему окружность радиуса именно $1$, что значит «точка, соответствующая углу», как читать знаки координат по четвертям и почему та же самая идея лежит в основе кодирования периодических признаков в машинном обучении.

🎯 Ты узнаешь:

• Что такое единичная окружность и почему её уравнение $x^2+y^2=1$ — это буквально теорема Пифагора в переодетом виде
• Как угол поворота превращается в единственную точку на окружности, и почему координаты этой точки называют $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$
• Как по величине угла мгновенно определить четверть и знаки координат, не вычисляя ничего
• Почему именно на единичной окружности длина дуги и величина угла в радианах — одно и то же число
• Как эта конструкция превращается в рабочий приём кодирования цикличных признаков — часов, дней недели, месяцев — в реальных ML-пайплайнах

История: откуда это взялось?

Античные астрономы — Гиппарх во II веке до н. э., позже Птолемей — работали не с синусом и косинусом, а с хордами: для окружности заданного (обычно большого, неудобного) радиуса они составляли таблицы, сколько составляет хорда, стягивающая дугу в столько-то градусов. Это работало, но было громоздко: каждая формула тащила за собой радиус конкретной окружности, и перенести результат на окружность другого размера значило пересчитывать заново. Индийские математики примерно с IV–V веков нашей эры (Арьябхата и его школа) перешли от хорды целой дуги к половине хорды — это и была предтеча синуса, — но всё ещё в рамках окружности произвольного радиуса.

Настоящий концептуальный скачок сделал Леонард Эйлер в 1748 году, в трактате «Введение в анализ бесконечных» (Introductio in analysin infinitorum). Эйлер предложил зафиксировать радиус раз и навсегда равным единице — и тогда синус с косинусом перестают быть «отношениями сторон в треугольнике» или «половинами хорд» и становятся именно тем, чем мы пользуемся сегодня: координатами точки, которая едет по окружности вслед за углом. Это освободило тригонометрию от треугольника: угол мог стать каким угодно — больше $90°$, отрицательным, больше полного оборота — а определение продолжало работать без единой оговорки, потому что окружность, в отличие от прямоугольного треугольника, никак не ограничена диапазоном $0$–$90°$.

Единичная окружность оказалась не просто удобной абстракцией. У неё завидное будущее: чуть позже Эйлер же выведет формулу $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, которая свяжет эту самую окружность с комплексными числами и экспонентой (мы вернёмся к этой красоте в одном из следующих уроков, посвящённых комплексным числам, — здесь достаточно знать, что дверь туда открывается именно отсюда). А спустя почти три века та же конструкция — угол, превращённый в пару координат на окружности радиуса 1, — стала стандартным приёмом кодирования периодических признаков в анализе данных и глубоком обучении: от прогноза спроса по часам суток до позиционного кодирования в трансформерах. Идея, придуманная ради чистоты формул анализа, оказалась ровно тем, что нужно современным моделям, чтобы не путать 23:59 с полночью.

Что такое единичная окружность

Интуиция

Представь обычный циферблат часов, но без цифр — просто окружность и центр. Если ты зафиксируешь, что расстояние от центра до края циферблата равно ровно единице (неважно, в чём измерять — в сантиметрах, в метрах, это просто число $1$), у тебя получится единичная окружность. Радиус здесь не случайная деталь, а сознательный выбор: единица — самое простое число для умножения и деления, и когда радиус равен $1$, из формул исчезают лишние множители. Скоро увидишь, насколько это удобно.

Уравнение такой окружности выводится из теоремы Пифагора за один шаг. Возьми произвольную точку $M(x; y)$ на окружности радиуса $R$ с центром в начале координат. Соедини её с центром и опусти перпендикуляр на ось $Ox$ — получится прямоугольный треугольник с катетами $|x|$ и $|y|$ и гипотенузой, равной радиусу $R$. По теореме Пифагора: $x^2 + y^2 = R^2$. При $R = 1$ это превращается в удивительно простую запись.

Определение: Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным $1$. Её уравнение:

$$x^2 + y^2 = 1$$

Точка $(x; y)$ лежит на единичной окружности тогда и только тогда, когда сумма квадратов её координат равна единице.

Обрати внимание: это уравнение ничего не говорит об углах — оно чисто про координаты. Угол мы добавим в следующем разделе. А пока разберём, как этим уравнением пользоваться.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): лежит ли точка $(0{,}6;\ -0{,}8)$ на единичной окружности?

Решение:

Подставляем координаты в уравнение и проверяем равенство:

Равенство выполняется.

Ответ: да, точка лежит на единичной окружности (это масштабированная версия классического пифагорова треугольника $3$–$4$–$5$: $0{,}6 = 3/5$, $0{,}8 = 4/5$).

Пример 2 (средний): на единичной окружности точка имеет абсциссу $x = \dfrac{3}{5}$ и положительную ординату. Найди $y$.

Решение:

Шаг 1. Выражаем $y$ из уравнения окружности:

Шаг 2. Извлекаем корень, учитывая, что по условию $y > 0$:

Проверим наш ответ: $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = \dfrac{25}{25} = 1$ ✅

Ответ: $y = \dfrac{4}{5}$.

Пример 3 (сложный): точка $\left(-\dfrac{12}{13};\ \dfrac{5}{13}\right)$ — это координаты направления некоторого нормализованного вектора-эмбеддинга. Проверь, что вектор действительно единичной длины, и определи, в какой четверти он лежит.

Решение:

Шаг 1. «Единичная длина» вектора и «лежит на единичной окружности» — это одно и то же условие: сумма квадратов координат равна единице.

Шаг 2. Условие выполняется — вектор действительно единичный.

Шаг 3. Определяем четверть: $x = -12/13 < 0$, $y = 5/13 > 0$. Отрицательная абсцисса и положительная ордината — это вторая четверть.

Ответ: вектор единичный, точка лежит во второй четверти.

Почему это важно

Уравнение $x^2+y^2=1$ — это не просто формула из учебника, это определение того, что в линейной алгебре и ML называют «единичным вектором» (unit vector) на плоскости: вектор длины 1. Когда ты нормализуешь эмбеддинг перед вычислением косинусной близости, ты буквально проецируешь его на единичную окружность (в двумерном случае) или на единичную сферу (в многомерном). Проверка $x^2+y^2=1$ — это ровно та проверка, которую библиотеки делают, чтобы отловить ошибку нормализации: если после vector / np.linalg.norm(vector) сумма квадратов координат не единица (с точностью до погрешности плавающей точки), значит, где-то в пайплайне вектор нормализовали неправильно или не полностью.

Угол как адрес точки: рождение $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$

Интуиция

Теперь добавим движение. Представь, что у тебя есть невидимая стрелка, закреплённая в центре окружности и изначально указывающая строго вправо — в точку $(1; 0)$. Ты берёшь эту стрелку и поворачиваешь её на угол $\alpha$: против часовой стрелки, если $\alpha$ положителен, по часовой — если отрицателен (эта договорённость о знаке уже была в прошлом уроке, когда мы обсуждали углы поворота). Конец стрелки после поворота — это точка на единичной окружности, и у каждого угла $\alpha$ есть ровно одна такая точка.

Вот в чём фокус: раз у этой точки всегда есть координаты $(x; y)$, а угол $\alpha$ однозначно её определяет, у нас появляется способ превратить любое число $\alpha$ (значение угла в радианах) в пару чисел $(x; y)$. Этим координатам дали собственные имена — и это, по сути, всё определение синуса и косинуса, с которым ты подробно поработаешь в следующем уроке. Здесь важно другое: сама механика «угол → точка → пара координат» — это и есть единичная окружность в действии.

Определение: Пусть точка $M$ получена поворотом точки $(1; 0)$ на угол $\alpha$ (в радианах) вокруг начала координат против часовой стрелки при $\alpha > 0$ и по часовой стрелке при $\alpha < 0$. Тогда:

$$\cos\alpha = x_M \quad \text{(абсцисса точки } M\text{)}, \qquad \sin\alpha = y_M \quad \text{(ордината точки } M\text{)}$$

Из этого определения и уравнения окружности мгновенно следует главное тождество тригонометрии — оно не постулируется отдельно, а просто является уравнением $x^2+y^2=1$, записанным в новых обозначениях:

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): найди координаты точки, соответствующей углу $\alpha = \pi$.

Решение:

Шаг 1. Угол $\pi$ — это поворот на половину оборота (развёрнутый угол, $180°$).

Шаг 2. Начинаем в точке $(1; 0)$ и поворачиваем на пол-оборота против часовой стрелки. Точка окажется строго напротив стартовой, на противоположном конце того же диаметра.

Шаг 3. Это точка $(-1; 0)$.

Ответ: $\cos\pi = -1$, $\sin\pi = 0$.

Пример 2 (средний): найди координаты точки, соответствующей углу $\alpha = \dfrac{3\pi}{2}$.

Решение:

Шаг 1. $\dfrac{3\pi}{2}$ — это три четверти полного оборота ($270°$).

Шаг 2. Четверть оборота от $(1;0)$ приводит в $(0;1)$ (верх), половина — в $(-1;0)$ (лево), три четверти — в $(0;-1)$ (низ).

Ответ: $\cos\dfrac{3\pi}{2} = 0$, $\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1$.

Пример 3 (сложный): найди координаты точки, соответствующей углу $\alpha = \dfrac{13\pi}{2}$.

Решение:

Шаг 1. Угол больше $2\pi$ — сначала приводим его к промежутку $[0; 2\pi)$ по алгоритму из прошлого урока: делим на $2\pi$ и вычитаем целое число полных оборотов.

Шаг 2. Вычитаем три полных оборота ($3 \cdot 2\pi = 6\pi = \dfrac{12\pi}{2}$):

Шаг 3. Угол $\dfrac{13\pi}{2}$ и угол $\dfrac{\pi}{2}$ задают одну и ту же точку — это четверть оборота, точка $(0; 1)$.

Ответ: $\cos\dfrac{13\pi}{2} = 0$, $\sin\dfrac{13\pi}{2} = 1$.

Почему это важно

Механика «угол → единственная точка» — это то, что делает $\cos$ и $\sin$ функциями, определёнными для абсолютно любого вещественного числа, а не только для углов треугольника от $0°$ до $90°$. Без единичной окружности бессмысленно было бы говорить о синусе угла $1000$ радиан или синусе отрицательного угла — в треугольнике таких углов просто не бывает. А в компьютерных вычислениях функции np.sin и np.cos принимают на вход буквально любое число с плавающей точкой именно потому, что за ними стоит эта геометрическая машина: какой бы вход ни пришёл, всегда найдётся точка на окружности, которая ему отвечает.

Четверти и знаки координат

Интуиция

Раз координаты точки на единичной окружности — это $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$, а координатная плоскость поделена осями на четыре четверти, у координат каждой четверти свой набор знаков. Тебе не нужно ничего вычислять, чтобы понять, положителен синус или отрицателен, — достаточно понять, в какой четверти оказалась точка. Это как понять, идёт ли сейчас день или ночь, просто взглянув, над горизонтом Солнце или под ним, — не считая точное время.

Четверти нумеруются против часовой стрелки, начиная с той, что справа сверху (там, где заканчивается угол $0$ и начинается движение):

• I четверть ($0 < \alpha < \pi/2$): $x > 0$, $y > 0$ → $\cos\alpha > 0$, $\sin\alpha > 0$

• II четверть ($\pi/2 < \alpha < \pi$): $x < 0$, $y > 0$ → $\cos\alpha < 0$, $\sin\alpha > 0$

• III четверть ($\pi < \alpha < 3\pi/2$): $x < 0$, $y < 0$ → $\cos\alpha < 0$, $\sin\alpha < 0$

• IV четверть ($3\pi/2 < \alpha < 2\pi$): $x > 0$, $y < 0$ → $\cos\alpha > 0$, $\sin\alpha < 0$

Определение: Четверть, в которой лежит точка единичной окружности, соответствующая углу $\alpha \in [0; 2\pi)$, определяется тем, в какой из четырёх промежутков — $(0;\pi/2)$, $(\pi/2;\pi)$, $(\pi;3\pi/2)$ или $(3\pi/2;2\pi)$ — попадает $\alpha$. Знаки $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ в каждой четверти совпадают со знаками координат $x$ и $y$ в этой части плоскости.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): в какой четверти находится точка, соответствующая углу $\alpha = \dfrac{5\pi}{6}$?

Решение:

Шаг 1. Сравниваем угол с границами четвертей: $\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{6}$, $\pi = \dfrac{6\pi}{6}$.

Шаг 2. Так как $\dfrac{3\pi}{6} < \dfrac{5\pi}{6} < \dfrac{6\pi}{6}$, угол лежит между $\pi/2$ и $\pi$.

Ответ: вторая четверть ($\cos\alpha < 0$, $\sin\alpha > 0$).

Пример 2 (средний): в какой четверти находится точка, соответствующая углу $\alpha = -\dfrac{2\pi}{5}$?

Решение:

Шаг 1. Угол отрицателен — поворот идёт по часовой стрелке от $(1;0)$, то есть сразу «вниз», в сторону четвёртой четверти (а не в сторону первой).

Шаг 2. Сравним по модулю с $\pi/2$: $\dfrac{\pi}{2} = 0{,}5\pi \approx 1{,}5708$, а $\dfrac{2\pi}{5} = 0{,}4\pi \approx 1{,}2566$.

Шаг 3. Так как $0 < \dfrac{2\pi}{5} < \dfrac{\pi}{2}$, угол $-\dfrac{2\pi}{5}$ лежит строго между $-\pi/2$ и $0$ — это нижняя половина IV четверти.

Ответ: четвёртая четверть ($\cos\alpha > 0$, $\sin\alpha < 0$).

Пример 3 (сложный): точка единичной окружности имеет $x = -\dfrac{1}{2}$ и лежит в третьей четверти. Найди $y$.

Решение:

Шаг 1. Из уравнения окружности:

Шаг 2. Извлекаем корень: $y = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 3. В третьей четверти обе координаты отрицательны, значит выбираем отрицательный корень.

Ответ: $y = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Почему это важно

Правило знаков по четвертям экономит массу вычислений: прежде чем что-то считать, полезно прикинуть, какого знака должен получиться ответ, — это первая линия защиты от арифметических ошибок (в том числе в коде: если функция вернула положительный косинус для угла, который по смыслу должен лежать во второй четверти, значит где-то ошибка в вычислении самого угла, а не в тригонометрии). В геометрической обработке изображений и в робототехнике знание четверти без вычисления точного значения часто достаточно: например, чтобы понять, движется ли объект «в целом вправо» или «в целом влево» относительно опорного направления, достаточно знака косинуса угла между векторами скорости.

Единичная окружность и радианная мера: дуга равна углу

Интуиция

В прошлом уроке ты выучил универсальную формулу длины дуги: $s = R\alpha$, где $\alpha$ — угол в радианах. Формула работает для окружности любого радиуса. А теперь подставь в неё $R = 1$:

Длина дуги и величина угла в радианах буквально совпадают как числа. Это не приближение и не совпадение — это прямое следствие того, что радиан вообще определён как отношение дуги к радиусу, а на единичной окружности радиус равен единице, и делить на единицу — значит ничего не менять. Отсюда, кстати, можно было бы вывести саму идею радианной меры заново: измерять угол расстоянием, которое проходит точка по единичной окружности от старта $(1;0)$ до финиша.

Эта идея даёт очень наглядную картинку: единичная окружность — это как круговая беговая дорожка длиной ровно $2\pi \approx 6{,}283$. Если объект «пробежал» путь $s$ по этой дорожке от старта, его угловое положение — это в точности $s$, тот же самый номер.

Определение: На единичной окружности длина дуги $s$, пройденной точкой от $(1;0)$ против часовой стрелки, численно равна величине центрального угла $\alpha$ в радианах: $s = \alpha$. Обратное тоже верно: величина угла в радианах — это длина соответствующей дуги единичной окружности.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): точка стартует в $(1;0)$ и проходит по единичной окружности путь длиной $2$ (в тех же единицах, что и радиус). Какому углу в радианах это соответствует?

Решение:

По определению на единичной окружности путь и угол совпадают численно:

Ответ: $\alpha = 2$ радиана (это чуть меньше $\pi \approx 3{,}1416$, то есть точка ещё не дошла до противоположной стороны окружности).

Пример 2 (средний): точка стартует в $(1;0)$ и проходит путь $7{,}5$ против часовой стрелки. В какой четверти она окажется?

Решение:

Шаг 1. Путь равен углу: $\alpha = 7{,}5$ рад. Это больше $2\pi \approx 6{,}2832$, значит точка сделала больше одного полного оборота.

Шаг 2. Приводим угол к $[0; 2\pi)$:

Шаг 3. Сравниваем с границами четвертей: $\pi/2 \approx 1{,}5708$. Так как $1{,}2168 < 1{,}5708$, угол лежит между $0$ и $\pi/2$.

Ответ: первая четверть.

Пример 3 (сложный): точка равномерно движется по единичной окружности против часовой стрелки, начиная из $(1;0)$, и за одну секунду проходит путь $\dfrac{\pi}{3}$. Где она окажется через 5 секунд? В какой четверти, и каковы её координаты?

Решение:

Шаг 1. Пройденный путь за 5 секунд — это угол:

Шаг 2. Это уже меньше $2\pi = \dfrac{6\pi}{3}$, приводить не нужно.

Шаг 3. Сравниваем с $\dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{9\pi}{6}$ и $2\pi = \dfrac{12\pi}{6}$: наш угол $\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{10\pi}{6}$ лежит между ними — четвёртая четверть.

Шаг 4. Найдём координаты через опорный угол. Заметим, что $\dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3}$, то есть точка на $\dfrac{\pi}{3}$ «не дошла» до полного оборота. Для такого случая координаты — это координаты угла $\pi/3$ с изменённым знаком ординаты: $\cos\dfrac{5\pi}{3} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, $\sin\dfrac{5\pi}{3} = -\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Ответ: четвёртая четверть, точка $\left(\dfrac{1}{2};\ -\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$.

Почему это важно

Совпадение дуги и угла именно на единичной окружности — не красивая деталь, а причина, по которой в компьютерных вычислениях радианы победили градусы. Когда алгоритм должен, например, равномерно расставить $N$ точек по окружности (сетки, антенны, точки выборки при рейтрейсинге, узлы в генеративных моделях геометрии), проще всего разбить именно длину окружности $2\pi$ на $N$ равных частей — и полученные числа сразу же являются углами: angles = np.linspace(0, 2*np.pi, N, endpoint=False). Никакого дополнительного пересчёта не требуется, потому что «доля дуги» и «доля угла» на единичной окружности — одно и то же.

Единичная окружность в данных: кодирование цикличных признаков

Интуиция

Вернёмся к задаче из самого начала урока — час суток. Проблема была в том, что число $23$ и число $0$ далеки друг от друга на обычной числовой прямой, хотя по смыслу это соседние моменты. Единичная окружность решает эту проблему буквально: вместо того чтобы класть час на прямую, мы кладём его на окружность — а у окружности, как ты уже понял, нет ни начала, ни конца.

Идея простая: если период цикла равен $T$ (для часов $T=24$, для дней недели $T=7$, для месяцев $T=12$), то значению $t$ ставим в соответствие угол, который проходит долю $t/T$ от полного оборота:

А дальше берём не сам угол, а координаты точки, в которую он ведёт, — то есть ровно ту конструкцию, которую мы разобрали двумя разделами выше. Получаем два числовых признака вместо одного:

Почему обязательно два, а не одно? Потому что один только синус или один только косинус не различает разные моменты цикла однозначно: например, $\sin\alpha$ одинаков для $t$ и для «зеркального» момента по другую сторону от пика. А пара $(\cos, \sin)$ задаёт точку на окружности однозначно — ровно потому, что мы находимся именно на единичной окружности, где $x^2+y^2=1$ и каждой точке отвечает единственный угол в $[0;2\pi)$.

Определение: Кодирование периодического признака $t$ с периодом $T$ через единичную окружность — это замена одного числа $t$ на пару чисел $\left(\cos\dfrac{2\pi t}{T},\ \sin\dfrac{2\pi t}{T}\right)$. Соседние по циклу значения (в том числе $t$ около $0$ и $t$ около $T$) переходят в близкие точки окружности, то есть в близкие по обычному евклидову расстоянию пары чисел.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): закодируй час $t = 6$ (шесть утра) при периоде $T = 24$.

Решение:

Шаг 1. Считаем угол:

Шаг 2. Угол $\pi/2$ — это уже знакомая точка $(0; 1)$.

Ответ: $(x; y) = (0; 1)$.

Пример 2 (средний): покажи, что час $t=23$ и час $t=0$ (то есть 23:00 и полночь, разница в один час) кодируются близкими точками, хотя как «сырые» числа они отличаются на 23.

Решение:

Шаг 1. Для $t = 0$: $\alpha = 0$, точка $(1; 0)$.

Шаг 2. Для $t = 23$, $T=24$:

Заметим, что $\dfrac{23\pi}{12} = 2\pi - \dfrac{\pi}{12}$ — то есть угол «не дошёл» на $\pi/12$ ($=15°$) до полного оборота. Значит координаты — как у угла $\pi/12$, но с обратным знаком ординаты: $\cos\dfrac{23\pi}{12} = \cos\dfrac{\pi}{12} \approx 0{,}9659$, $\sin\dfrac{23\pi}{12} = -\sin\dfrac{\pi}{12} \approx -0{,}2588$.

Шаг 3. Считаем евклидово расстояние между точками $(1;0)$ и $(0{,}9659;\ -0{,}2588)$:

Ответ: расстояние между закодированными точками $\approx 0{,}261$ — крошечное, хотя «сырая» разница часов равна $23$. Кодирование через окружность честно отражает, что 23:00 и полночь — почти одно и то же время суток.

Пример 3 (сложный): закодируй воскресенье ($t=6$) и субботу ($t=5$) при недельном периоде $T=7$ (понедельник $t=0$) и сравни расстояние между ними с расстоянием между воскресеньем ($t=6$) и понедельником ($t=0$) — двумя реально соседними днями через границу недели.

Решение:

Шаг 1. Угол для $t=6$: $\alpha_6 = \dfrac{2\pi \cdot 6}{7} = \dfrac{12\pi}{7} \approx 5{,}3856$ рад $\approx 308{,}57°$. Численно: $\cos\alpha_6 \approx 0{,}6235$, $\sin\alpha_6 \approx -0{,}7818$.

Шаг 2. Угол для $t=5$: $\alpha_5 = \dfrac{2\pi \cdot 5}{7} = \dfrac{10\pi}{7} \approx 4{,}4880$ рад $\approx 257{,}14°$. Численно: $\cos\alpha_5 \approx -0{,}2225$, $\sin\alpha_5 \approx -0{,}9749$.

Шаг 3. Расстояние между субботой и воскресеньем (реально соседние дни, но также соседние и по номеру):

Шаг 4. Расстояние между воскресеньем ($t=6$) и понедельником ($t=0$, $\cos=1,\ \sin=0$) — тоже реально соседние дни, но по номеру максимально далёкие ($6$ и $0$):

Наблюдение: оба расстояния практически совпали ($\approx 0{,}868$) — потому что и там, и там угловой разрыв между днями одинаковый: одна седьмая полного оборота. Кодирование через окружность делает субботу-воскресенье и воскресенье-понедельник одинаково близкими соседями, хотя по «сырым» номерам разница $1$ и $6$ выглядела бы совершенно по-разному.

Ответ: $d_{56} \approx d_{60} \approx 0{,}868$ — расстояния равны, что подтверждает: окружность честно кодирует цикличность недели.

Почему это важно

Этот приём — рабочая лошадка в реальных пайплайнах данных: временные ряды со спросом, погодой, трафиком, циклами продаж почти всегда содержат час, день недели, месяц, направление ветра, фазу — и всё это кодируют парой $(\cos, \sin)$ вместо того, чтобы скармливать модели «сырое» число или (что ещё хуже) one-hot вектор, который вообще не видит близость соседних значений. Ты встретишь ровно ту же идею — угол, зависящий от позиции, превращённый в пару $(\cos, \sin)$, — в позиционном кодировании трансформеров (там угол зависит не от времени суток, а от номера токена в последовательности и от индекса измерения эмбеддинга) и в матрицах поворота, которыми в современных языковых моделях (LLaMA, Qwen и другие) кодируют относительную позицию через буквальный поворот вектора на плоскости. Единичная окружность — это не отдельный трюк, а один и тот же геометрический объект, который всплывает в анализе данных снова и снова, стоит только величине начать «зацикливаться».

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Проверь, лежит ли точка $(0{,}6;\ -0{,}8)$ на единичной окружности, и укажи её четверть.

Задание 2: На единичной окружности $x = \dfrac{3}{5}$, $y > 0$. Найди $y$.

Задание 3: Найди координаты точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha = 0$.

Задание 4: Найди координаты точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha = \pi$.

Задание 5: Найди координаты точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$.

Задание 6: Найди координаты точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha = \dfrac{3\pi}{2}$.

Задание 7: В какой четверти находится точка, соответствующая углу $\alpha = \dfrac{7\pi}{6}$?

Задание 8: Определи знаки $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ для угла $\alpha = \dfrac{5\pi}{3}$.

Задание 9: Дуга единичной окружности имеет длину $2$. Чему равен соответствующий центральный угол в радианах?

Задание 10: Закодируй час $t = 12$ (полдень) при периоде $T = 24$ парой $(\cos, \sin)$.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Проверь, что точка $\left(-\dfrac{12}{13};\ \dfrac{5}{13}\right)$ лежит на единичной окружности, и укажи четверть.

Задание 12: Приведи угол $\dfrac{17\pi}{4}$ к промежутку $[0; 2\pi)$ и определи четверть.

Задание 13: Приведи угол $-\dfrac{5\pi}{3}$ к промежутку $[0; 2\pi)$ и определи четверть.

Задание 14: Найди координаты точки, соответствующей углу $\alpha = \dfrac{5\pi}{4}$, используя симметрию окружности.

Задание 15: На единичной окружности $x = -0{,}6$, точка лежит в третьей четверти. Найди $y$.

Задание 16: Точка стартует в $(1;0)$ и проходит путь $10$ против часовой стрелки по единичной окружности. В какой четверти она окажется?

Задание 17: Месяцы пронумерованы от $0$ (январь) до $11$ (декабрь), период $T = 12$. Закодируй март ($t = 2$) парой $(\cos, \sin)$.

Задание 18: Покажи, что декабрь ($t=11$) и январь ($t=0$) при кодировании месяцев ($T=12$) дают близкие точки, вычислив расстояние между ними.

Задание 19: Направления заданы углами $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$ и $\beta = \dfrac{2\pi}{3}$. Лежат ли соответствующие точки в одной четверти?

Задание 20: Дуга единичной окружности стягивает угол $5$ радиан. Какую долю (в процентах) от всей окружности составляет эта дуга?

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Известно, что $\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$ и точка лежит в третьей четверти. Найди $\sin\alpha$ и координаты точки.

Задание 22: Точка единичной окружности имеет координаты $\left(\dfrac{\sqrt3}{2};\ -\dfrac{1}{2}\right)$. Найди соответствующий угол $\alpha \in [0; 2\pi)$.

Задание 23: Приведи угол $\dfrac{40\pi}{3}$ к промежутку $[0; 2\pi)$ и найди точные координаты соответствующей точки.

Задание 24: На единичной окружности $x = \dfrac{7}{25}$, известно, что $\sin\alpha < 0$. Найди $y$ и укажи четверть.

Задание 25: Приведи угол $-\dfrac{7\pi}{4}$ к промежутку $[0; 2\pi)$ и найди координаты соответствующей точки.

Задание 26: Покажи на конкретном примере, что при увеличении угла на $\pi$ обе координаты точки меняют знак на противоположный: возьми $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ и $\beta = \dfrac{\pi}{3} + \pi$.

Задание 27: Найди прямое (евклидово, не по дуге) расстояние между точками единичной окружности, соответствующими углам $\alpha = 0$ и $\beta = \dfrac{\pi}{2}$.

Задание 28: Закодируй часы $t=23$ и $t=1$ при $T=24$ (это 23:00 и час ночи, разница в реальности — 2 часа) и найди расстояние между закодированными точками.

Задание 29: Известно, что $\cos\alpha = \dfrac{24}{25}$, точка лежит в четвёртой четверти. Найди $\sin\alpha$ и координаты в виде обыкновенных дробей.

Задание 30: Направление $A$ соответствует углу $\dfrac{\pi}{6}$, направление $B$ — углу $\dfrac{2\pi}{3}$ (представь их как два единичных вектора-эмбеддинга). а) Найди координаты $A$ и $B$. б) Вычисли скалярное произведение координат — это и есть косинусная близость единичных векторов. в) Какому углу между направлениями соответствует результат, и согласуется ли это с разностью исходных углов?

Частые ошибки

❌ Ошибка: Путать координаты точки с самим углом — говорить «точка равна $\pi/4$» вместо «углу $\pi/4$ соответствует точка $(\sqrt2/2;\ \sqrt2/2)$».

✅ Правильно: Угол — это входное число, точка на окружности — результат. Между ними стоит операция поворота, и путать вход с выходом нельзя.

💡 Почему важно: В коде это превращается в баг типа «использовал угол там, где нужны были координаты», например при построении вектора направления.

❌ Ошибка: Путать, какая координата — косинус, а какая — синус (например, писать $y=\cos\alpha$).

✅ Правильно: По определению $\cos\alpha$ — это абсцисса (горизонталь, $x$), $\sin\alpha$ — ордината (вертикаль, $y$). Запомни через алфавитный порядок: cos идёт по «горизонтальной» оси x, как и в паре (x; y) первым стоит x.

💡 Почему важно: Перепутанные местами $\sin$ и $\cos$ в матрице поворота или в формуле координат дают зеркально неверный результат — объект будет вращаться не в ту сторону.

❌ Ошибка: Считать, что раз окружность единичная, координаты всегда положительны.

✅ Правильно: Координаты меняют знак от четверти к четверти: I(+,+), II(-,+), III(-,-), IV(+,-). Единичность окружности касается только длины радиуса, а не знаков.

💡 Почему важно: Забыв про отрицательные значения, легко получить «положительный» ответ там, где по геометрии он обязан быть отрицательным.

❌ Ошибка: Путать длину дуги с углом на окружности произвольного радиуса — переносить правило «дуга = угол» с единичной окружности на окружность другого радиуса.

✅ Правильно: Совпадение $s=\alpha$ верно только при $R=1$. В общем случае $s = R\alpha$, и про множитель $R$ забывать нельзя.

💡 Почему важно: Ошибка здесь напрямую портит физические и инженерные расчёты — например, пройденный путь колеса, если забыть умножить угол на его реальный радиус.

❌ Ошибка: При кодировании цикличного признака в ML использовать только $\sin$ (или только $\cos$), без пары.

✅ Правильно: Всегда кодируй парой $(\cos, \sin)$ вместе — только пара однозначно задаёт точку на окружности и не путает разные моменты цикла, у которых совпадает один из двух синусов/косинусов.

💡 Почему важно: Одна лишь синус-компонента даёт одинаковое значение для двух разных моментов (например, для $t$ и для симметричного ему относительно пика), и модель теряет способность их различать.

❌ Ошибка: Забывать привести большой или отрицательный угол к промежутку $[0; 2\pi)$ перед определением четверти или координат.

✅ Правильно: Сначала — приведение угла по модулю $2\pi$ (тот же алгоритм из прошлого урока), и только потом — определение четверти и вычисление координат.

💡 Почему важно: Без приведения легко ошибиться в четверти, особенно когда угол — не «красивое» число, а результат вычислений или накопленный поворот в симуляции.

Главное запомнить

• Единичная окружность — окружность с центром в начале координат и радиусом $1$, её уравнение: $x^2+y^2=1$

• Любой угол $\alpha$ задаёт единственную точку на окружности: поворот точки $(1;0)$ на угол $\alpha$ (против часовой стрелки при $\alpha>0$, по часовой — при $\alpha<0$)

• Координаты этой точки называются $\cos\alpha$ (абсцисса) и $\sin\alpha$ (ордината)

• Тождество $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ — не отдельный постулат, а само уравнение окружности, записанное через новые обозначения

• На единичной окружности длина дуги от старта до точки численно совпадает с величиной угла в радианах, потому что $s=R\alpha$ при $R=1$ даёт $s=\alpha$

• Знаки координат по четвертям: I$(+,+)$, II$(-,+)$, III$(-,-)$, IV$(+,-)$ — определяются без вычислений, только по расположению угла

• Углы, отличающиеся на $2\pi k$ ($k$ — любое целое число), задают одну и ту же точку — окружность «сворачивает» числовую прямую углов в кольцо

• Точка, соответствующая углу $\alpha+\pi$, диаметрально противоположна точке угла $\alpha$: обе координаты меняют знак

• В машинном обучении периодические признаки (час, день недели, месяц) кодируют парой $\left(\cos\dfrac{2\pi t}{T}, \sin\dfrac{2\pi t}{T}\right)$, чтобы соседние по циклу значения оказывались рядом и в закодированном виде

• Скалярное произведение координат двух точек единичной окружности равно косинусу угла между направлениями — это и есть косинусная близость единичных векторов

Связь с другими темами курса

🔙 Откуда пришли: урок 91 «Радианная мера угла» дал сам язык измерения — здесь этот язык впервые получил геометрический носитель: конкретную окружность, на которой угол превращается в точку. Алгоритм приведения угла к $[0;2\pi)$ из прошлого урока используется здесь на каждом шагу.

🔜 Куда идём: следующий урок «Определение синуса и косинуса» берёт именно эту конструкцию и превращает её в набор формул и свойств — значения для стандартных углов, чётность и нечётность, периодичность, поведение на границах четвертей. Дальше — графики тригонометрических функций, тригонометрические тождества и уравнения, а ещё дальше — формулы сложения и приведения, где симметрии окружности, которые ты сегодня только нащупал, станут строгими формулами.

💫 Неожиданные связи: та же самая конструкция «угол → точка на окружности» лежит в основе формулы Эйлера $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$, которая появится в уроках про комплексные числа; в физике — во вращательном движении и переменном токе; в анализе данных и глубоком обучении — в кодировании цикличных признаков, позиционном кодировании трансформеров и матрицах поворота эмбеддингов.

Интересные факты

📌 До Эйлера синус и косинус существовали только как отношения сторон в прямоугольном треугольнике или как половины хорд — и потому не имели смысла для углов больше $90°$. Перенос определения на единичную окружность в 1748 году одним махом расширил их на все вещественные числа, включая отрицательные и сколь угодно большие.

📌 Рациональные точки на единичной окружности (то есть точки, обе координаты которых — обыкновенные дроби) тесно связаны с пифагоровыми тройками: $(3/5, 4/5)$, $(5/13, 12/13)$, $(7/25, 24/25)$, которые встречались в задачах этого урока, — не случайные удобные числа, а прямое следствие троек $3$-$4$-$5$, $5$-$12$-$13$, $7$-$24$-$25$, известных ещё вавилонским математикам за тысячи лет до нашей эры.

📌 Формула Эйлера $e^{i\pi}+1=0$, которую физик Ричард Фейнман называл «самой замечательной формулой в математике», — это утверждение именно о точке единичной окружности: при повороте на угол $\pi$ точка $e^{i\theta}$ приходит ровно в $-1$.

📌 В GPS-навигации, в компьютерной графике и в аудиосинтезе для быстрого вычисления множества точек на окружности программы часто не вызывают $\sin$ и $\cos$ заново для каждого угла, а используют формулу поворота предыдущей точки на маленький фиксированный угол — это быстрее, чем пересчитывать тригонометрические функции с нуля миллионы раз за кадр.

Лайфхаки и полезные трюки

📌 Чтобы быстро проверить, что точка лежит на единичной окружности, держи в голове не только $3$-$4$-$5$, но и $5$-$12$-$13$, $7$-$24$-$25$, $8$-$15$-$17$ — эти пифагоровы тройки, делённые на гипотенузу, то и дело всплывают в задачах и дают «красивые» координаты без калькулятора.

📌 Знаки координат по четвертям удобно держать в голове как движение по кругу: I — оба плюс, дальше на каждом шаге против часовой стрелки одна из координат меняет знак — сначала $x$ (во II), потом $y$ (в III), потом снова $x$ (в IV, возвращаясь к плюсу).

📌 Приведение угла к $[0;2\pi)$ на единичной окружности — та же операция, что и в прошлом уроке; в коде это одна строка: np.mod(alpha, 2*np.pi), и её стоит вызывать на входе в любую функцию, которая определяет четверть или знак.

📌 Точка угла $-\alpha$ — это зеркальное отражение точки угла $\alpha$ относительно оси $Ox$: абсцисса та же, ордината с обратным знаком ($\cos(-\alpha)=\cos\alpha$, $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$). Это мгновенно избавляет от лишних вычислений для отрицательных углов.

📌 Точка угла $\alpha+\pi$ — это точка, диаметрально противоположная точке угла $\alpha$, обе координаты меняют знак. Пользуйся этим, чтобы за секунду находить координаты «дальних» углов через уже известные «ближние».

📌 При кодировании цикличных признаков в данных всегда явно фиксируй период $T$ по смыслу величины: $24$ для часов, $7$ для дней недели, $12$ для месяцев, $60$ для минут — перепутанный период молча ломает всю идею близости соседних значений.

Единичная окружность — маленький объект (радиус всего единица!), но именно на нём держится вся тригонометрия, которую ты будешь изучать следующие несколько десятков уроков: любое тождество, любой график синуса или косинуса, любая формула сложения углов — всё это в конечном счёте разговор про одну и ту же окружность, просто увиденную под разными углами (в прямом и переносном смысле). А в мире данных та же самая идея — угол, превращённый в пару координат, — оказалась неожиданно практичным инструментом: стоит увидеть в задаче слово «цикличный», «периодический» или «час/день/месяц», как единичная окружность тут же готова прийти на помощь.