Тригонометрические неравенства 🌀

Представь, что ты обучаешь модель, которая работает с временными рядами — прогноз нагрузки на сервер, потребление электричества, активность пользователей. Один из первых трюков в такой задаче — закодировать час суток не числом от 0 до 23 (модель решит, что 23 и 0 — далёкие друг от друга значения, хотя это соседние часы), а парой $(\sin\theta, \cos\theta)$, где $\theta$ пропорционален времени. И вот тебе нужно ответить на вопрос: "при каких часах эта синусоида превышает такой-то порог?" Это и есть тригонометрическое неравенство — только в естественной прикладной обёртке.

До сих пор в курсе ты решал тригонометрические уравнения: находил точные значения $x$, при которых $\sin x$ равен конкретному числу. Неравенство — это следующий шаг: вместо точек ты ищешь целые промежутки, где функция ведёт себя определённым образом — больше порога, меньше порога, между двумя границами. Задача усложняется одной особенностью, которой не было у обычных алгебраических неравенств: тригонометрические функции периодичны. Ответ никогда не бывает одним промежутком — он повторяется бесконечно, и это нужно явно записать.

Хорошая новость: решать такие неравенства не сложнее, чем уравнения — просто добавляется один шаг. Тебе уже знаком главный инструмент — единичная окружность. Мы просто перестанем искать на ней точки и начнём искать дуги.

В этом уроке разберём три базовых типа неравенств (с синусом, косинусом, тангенсом), графический способ как альтернативу окружности, и более коварные случаи — сложный аргумент вида $\sin(2x - \pi/3)$ и квадратичные неравенства относительно $\sin x$ или $\cos x$. Заодно увидим, где вся эта конструкция всплывает в реальных ML-задачах: от позиционного кодирования трансформеров до обнаружения аномалий в периодических сигналах.

История: откуда это взялось?

Тригонометрические неравенства родились не в кабинете математика, а под открытым небом. Древнеиндийские и арабские астрономы, составлявшие таблицы синусов ещё в IV–IX веках (Арьябхата, аль-Баттани), решали ровно такую задачу: в какие часы ночи звезда находится выше горизонта настолько, чтобы её было видно? Видимость звезды — это буквально условие $\sin(\text{высота над горизонтом}) > 0$. Календари, определяющие даты затмений и религиозных праздников, требовали находить не момент, а целый промежуток времени, когда выполняется астрономическое условие — то есть именно тригонометрическое неравенство, хотя никто тогда не называл это так.

Позже, в эпоху навигации (XV–XVII века), штурманы кораблей решали похожую задачу практически: при каком угле склонения звезды судно ещё может безопасно держать курс по ней, не теряя её из виду за горизонтом. Христиан Гюйгенс, изобретая маятниковые часы в 1656 году, тоже упирался в неравенства: угол отклонения маятника от вертикали должен был оставаться в определённом диапазоне, иначе механизм работал неточно (при больших углах период колебаний маятника уже не описывается простой формулой).

Сегодня та же математика управляет вещами, о которых Гюйгенс и не подозревал. В радиотехнике и телекоммуникациях диаграмма направленности антенны описывается через $\cos^2\theta$ — и инженеры решают неравенства, чтобы найти зону уверенного приёма сигнала. В робототехнике угол поворота сустава манипулятора ограничен "безопасной зоной", заданной тригонометрическим неравенством, чтобы рука робота не столкнулась сама с собой. А в машинном обучении, о котором мы будем говорить весь урок, периодические признаки времени (час, день недели, месяц) кодируются через $\sin$ и $\cos$, и вопрос "модель активна в этом диапазоне фазы или нет" — снова тригонометрическое неравенство.

Синус больше или меньше числа: $\sin x > a$

Интуиция

Вспомни, что на единичной окружности $\sin x$ — это высота точки, соответствующей углу $x$, то есть её координата $y$. Уравнение $\sin x = a$ отвечало на вопрос "в какой точке высота равна ровно $a$?" — и таких точек на окружности ровно две (не считая периода). Неравенство $\sin x > a$ спрашивает про целую дугу: "где высота точки больше $a$?".

Представь, что ты медленно поднимаешь горизонтальную линию на уровне $y = a$ через единичную окружность. Она пересекает окружность в двух точках (если $-1 < a < 1$) и делит её на две дуги: верхнюю, где $y > a$, и нижнюю, где $y < a$. Вся работа — правильно найти границы этой дуги и красиво записать её с учётом периода.

Определение: Решить неравенство $\sin x > a$ — значит найти все значения $x$, при которых ордината (координата $y$) точки единичной окружности, соответствующей углу $x$, больше числа $a$. Аналогично для знаков $<$, $\geq$, $\leq$.

Для $-1 < a < 1$ общая схема такая: находим $\alpha = \arcsin a$ — это "верхняя точка отсчёта" в диапазоне $[-\pi/2; \pi/2]$. Тогда:

Дуга идёт от $\alpha$ через "макушку" окружности (точку $\pi/2$, где синус максимален и равен 1) до симметричной точки $\pi - \alpha$.

Пример 1 (лёгкий): $\sin x > \dfrac{1}{2}$

Шаг 1. Находим $\alpha = \arcsin \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$ — табличное значение.

Шаг 2. По схеме выше дуга идёт от $\pi/6$ до $\pi - \pi/6 = 5\pi/6$, проходя через макушку $\pi/2$.

Ответ: $x \in \left(\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверка: возьмём $x = \pi/2$ (середина дуги): $\sin(\pi/2) = 1 > 1/2$ ✅. Возьмём $x = 0$ (вне дуги): $\sin 0 = 0$, не больше $1/2$ ✅ корректно исключён.

Пример 2 (средний): $\sin x \leq -\dfrac{1}{2}$

Здесь $a$ отрицательное и знак нестрогий — разберём вручную, не подставляя слепо в формулу.

Шаг 1. Решаем уравнение $\sin x = -\dfrac12$: корни $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

Шаг 2. На окружности эти точки — симметричны относительно нижней точки $3\pi/2$ (там $\sin = -1$, самое отрицательное значение). Значит, дуга, где $\sin x \leq -1/2$, идёт от $7\pi/6$ до $11\pi/6$ (это то же самое, что $-\pi/6 + 2\pi$), проходя через низ окружности.

Шаг 3. Знак нестрогий — границы включаем.

Ответ: $x \in \left[\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверка: $x = 3\pi/2$: $\sin(3\pi/2) = -1 \leq -1/2$ ✅. Граница $x = 7\pi/6$: $\sin(7\pi/6) = -1/2$, включена ✅ (знак нестрогий).

Пример 3 (сложный): $\sin\!\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) > \dfrac{\sqrt3}{2}$

Сложный аргумент — вводим замену.

Шаг 1. Пусть $t = 2x - \dfrac{\pi}{3}$. Решаем $\sin t > \dfrac{\sqrt3}{2}$: $\alpha = \arcsin\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{\pi}{3}$, значит

Шаг 2. Возвращаемся к $x$: $2x - \dfrac{\pi}{3} \in \left(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n;\ \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n\right)$.

Прибавим $\pi/3$ ко всем частям:

Разделим на 2 (и заметим: период тоже делится на 2!):

Ответ: $x \in \left(\dfrac{\pi}{3} + \pi n;\ \dfrac{\pi}{2} + \pi n\right)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ключевой момент: коэффициент 2 перед $x$ не только растягивает саму дугу вдвое уже — он ещё и делит период пополам: было $2\pi n$, стало $\pi n$. Это одна из самых частых ошибок — забыть поделить период на тот же коэффициент, что стоит перед $x$.

Почему это важно

В позиционном кодировании трансформеров (архитектура Transformer, статья "Attention Is All You Need", 2017) координаты токена вычисляются как $\mathrm{PE}(pos, 2i) = \sin\!\left(pos / 10000^{2i/d}\right)$ — то есть буквально синус с "сложным аргументом", где сам аргумент зависит от позиции токена и номера измерения эмбеддинга. Когда инженеры анализируют, какие пары позиций модель считает "близкими" (через скалярное произведение таких векторов), они на практике исследуют именно диапазоны, где такой синус превышает порог. Понимание того, как коэффициент внутри синуса сжимает период, — это не абстрактная школьная тема, а рабочий инструмент для чтения архитектур нейросетей.

Косинус больше или меньше числа: $\cos x < a$

Интуиция

Если синус — это высота точки на окружности, то косинус — это её горизонтальная координата, $x$-координата. Неравенство $\cos x < a$ спрашивает: "где точка окружности находится левее вертикальной линии $x = a$?"

Представь турникет вагона метро: чем правее (ближе к $\cos x = 1$) находится точка, тем "более открыт" турникет; чем левее (ближе к $\cos x = -1$) — тем более он закрыт. Неравенство $\cos x < a$ — это условие "турникет закрыт больше, чем на уровень $a$".

Определение: Решить неравенство $\cos x < a$ — значит найти все значения $x$, при которых абсцисса (координата $x$) точки единичной окружности, соответствующей углу $x$, меньше числа $a$. Аналогично для $>$, $\geq$, $\leq$.

Для $-1 < a < 1$: пусть $\gamma = \arccos a \in (0, \pi)$ — это "правая точка отсчёта". Тогда:

Дуга идёт от $\gamma$ через "левый край" окружности (точку $\pi$, где косинус минимален и равен $-1$) до симметричной точки $2\pi - \gamma$.

Пример 1 (лёгкий): $\cos x < \dfrac12$

Шаг 1. $\gamma = \arccos\dfrac12 = \dfrac{\pi}{3}$.

Шаг 2. Дуга: от $\pi/3$ до $2\pi - \pi/3 = 5\pi/3$, через левый край окружности ($\pi$, где $\cos\pi = -1$).

Ответ: $x \in \left(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{3} + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверка: $x = \pi$: $\cos\pi = -1 < 1/2$ ✅. $x = 0$: $\cos 0 = 1$, не входит в дугу (границы $\pi/3 \approx 1{,}05$ и $5\pi/3 \approx 5{,}24$, а $0$ туда не попадает) ✅.

Пример 2 (средний): $\cos x \geq -\dfrac{\sqrt2}{2}$

Знак $\geq$, значит нам нужна не "левая" дуга, а "правая" — которая содержит точку $\cos x = 1$.

Шаг 1. $\gamma = \arccos\!\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = \dfrac{3\pi}{4}$.

Шаг 2. Для $\cos x \geq a$ дуга симметрична относительно нуля и содержит точку $x=0$ (там $\cos = 1$, максимум):

Ответ: $x \in \left[-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверка: $x = 0$: $\cos 0 = 1 \geq -\sqrt2/2$ ✅. $x = \pi$: $\cos\pi = -1$, не $\geq -\sqrt2/2 \approx -0{,}707$, и $\pi \approx 3{,}14 > 3\pi/4 \approx 2{,}36$ — корректно вне дуги ✅.

Пример 3 (сложный): $\cos\!\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) \leq 0$

Шаг 1. Пусть $t = 3x + \dfrac{\pi}{4}$. Решаем $\cos t \leq 0$ — это классика: косинус неположителен на правой половине окружности от $\pi/2$ до $3\pi/2$:

Шаг 2. Возвращаемся к $x$: $3x + \dfrac{\pi}{4} \in \left[\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi n\right]$.

Вычтем $\pi/4$:

Разделим на 3 (и период тоже делим на 3!):

Ответ: $x \in \left[\dfrac{\pi}{12} + \dfrac{2\pi n}{3};\ \dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{2\pi n}{3}\right]$, $n \in \mathbb{Z}$.

Почему это важно

В обработке звука сигнал часто представляют как сумму косинусоид (дискретное косинусное преобразование, DCT — основа формата JPEG и MP3). Когда алгоритм сжатия решает, какие частотные компоненты "существенны", а какие можно отбросить, он фактически проверяет неравенства вида $\cos(\omega t + \varphi) \geq$ порог на разных частотах $\omega$. А в антенных решётках диаграмма направленности пропорциональна $\cos^2\theta$ — зону уверенного приёма сигнала инженеры находят именно решением такого неравенства (мы разберём это в практике).

Тангенс и котангенс: период $\pi$ и точки разрыва

Интуиция

У тангенса и котангенса есть особенность, которой нет у синуса и косинуса: они не определены в некоторых точках (тангенс — там, где $\cos x = 0$, котангенс — где $\sin x = 0$), и их период вдвое короче — не $2\pi$, а $\pi$.

Удобный образ — "линия тангенсов": представь вертикальную прямую, касающуюся единичной окружности в точке $(1, 0)$. Проведи луч из центра окружности под углом $x$ и продли его до пересечения с этой вертикальной прямой. Высота точки пересечения — это и есть $\operatorname{tg} x$. Если луч горизонтален (направлен вдоль оси $y$, то есть $x = \pi/2$), он никогда не пересечёт вертикальную прямую — отсюда разрыв.

Определение: Решить неравенство $\operatorname{tg} x > a$ — значит найти все $x \neq \pi/2 + \pi k$, при которых высота точки пересечения луча под углом $x$ с линией тангенсов больше $a$. Аналогично для $\operatorname{ctg} x$, но с линией котангенсов и разрывом при $x = \pi k$.

Поскольку тангенс монотонно возрастает на каждом промежутке между разрывами, неравенства решаются просто:

Для котангенса (он убывает на каждом промежутке) неравенства "переворачиваются": $\operatorname{ctg} x > a \iff x \in (\pi k;\ \operatorname{arcctg} a + \pi k)$.

Пример 1 (лёгкий): $\operatorname{tg} x > 1$

Шаг 1. $\arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}$.

Ответ: $x \in \left(\dfrac{\pi}{4} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{2} + \pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверка: $x = \pi/3$: $\operatorname{tg}(\pi/3) = \sqrt3 \approx 1{,}73 > 1$ ✅, и $\pi/3 \approx 1{,}05$ лежит между $\pi/4 \approx 0{,}79$ и $\pi/2 \approx 1{,}57$ ✅.

Пример 2 (средний): $\operatorname{tg} x \leq -\sqrt3$

Шаг 1. $\arctan(-\sqrt3) = -\dfrac{\pi}{3}$.

Шаг 2. Тангенс возрастает от $-\infty$ (у левого разрыва $-\pi/2$) до $+\infty$; значение $-\sqrt3$ он принимает в точке $-\pi/3$, и всё, что левее этой точки (но правее разрыва), меньше или равно $-\sqrt3$.

Ответ: $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ -\dfrac{\pi}{3} + \pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Важно: граница у разрыва $-\pi/2$ всегда открытая — там функция вообще не определена, никакой знак неравенства (даже $\leq$ или $\geq$) не может "включить" точку разрыва.

Пример 3 (сложный): $\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6}\right) < \dfrac{\sqrt3}{3}$

Шаг 1. Пусть $t = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6}$. Решаем $\operatorname{tg} t < \dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$: $\arctan\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\pi}{6}$, значит

Шаг 2. Возвращаемся: $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6} \in \left(-\dfrac{\pi}{2} + \pi n;\ \dfrac{\pi}{6} + \pi n\right)$.

Прибавим $\pi/6$: $\dfrac{x}{2} \in \left(-\dfrac{\pi}{3} + \pi n;\ \dfrac{\pi}{3} + \pi n\right)$.

Умножим на 2 (и период тоже умножается на 2 — коэффициент перед $x$ был $1/2$, значит период не сжимается, а растягивается):

Ответ: $x \in \left(-\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n;\ \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n\right)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Почему это важно

Тангенс возникает при работе со склоном (slope) — в computer vision это угол наклона линии на изображении, в геодезии и робототехнике — угол подъёма поверхности. Когда алгоритм должен решить, "слишком ли крутой" склон для проезда робота, он сравнивает тангенс угла наклона с порогом: ровно та же математика, что мы разобрали.

Графический метод: когда единичная окружность неудобна

Интуиция

Единичная окружность отлично работает, когда неравенство сводится к одной тригонометрической функции от одного аргумента. Но что делать с неравенством вида $\sin x > \cos x$, где сравниваются две разные функции? Здесь удобнее не окружность, а обычный график: нарисовать $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на одной координатной плоскости и посмотреть, где синусоида выше косинусоиды.

Более строгий способ — свести сравнение двух функций к одному неравенству через формулы приведения или через вспомогательный угол $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Этот приём превращает "смешанное" неравенство обратно в простейшее — и снова можно применить окружность.

Определение: Графический способ решения тригонометрического неравенства $f(x) > g(x)$ — это определение промежутков оси $x$, на которых график функции $f$ расположен выше графика функции $g$, без явного построения окружности.

Пример 1: $\sin x > \cos x$

Шаг 1. Переносим всё в одну сторону: $\sin x - \cos x > 0$.

Шаг 2. Сворачиваем по формуле вспомогательного угла. Здесь $a = 1$, $b = -1$, $R = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt2$:

(Проверить легко: раскрой $\sqrt2\sin(x-\pi/4) = \sqrt2(\sin x\cos\frac\pi4 - \cos x\sin\frac\pi4) = \sqrt2 \cdot \frac{\sqrt2}{2}(\sin x - \cos x) = \sin x - \cos x$.)

Шаг 3. Неравенство принимает вид $\sqrt2\sin\!\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$, то есть $\sin\!\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$.

Шаг 4. Синус положителен на верхней половине окружности: $x - \dfrac{\pi}{4} \in (2\pi k;\ \pi + 2\pi k)$.

Ответ: $x \in \left(\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверка через график: на $[0, 2\pi]$ синусоида и косинусоида пересекаются в точках $\pi/4$ и $5\pi/4$; между ними синусоида действительно проходит выше (например, в $x=\pi/2$: $\sin=1$, $\cos=0$, синус выше) ✅.

Пример 2: применение к сумме амплитуд

Неравенство $\sin x + \sqrt3\cos x > 1$ — снова смешанное. Свернём: $a=1, b=\sqrt3$, $R=\sqrt{1+3}=2$, и $\cos\varphi = 1/2, \sin\varphi=\sqrt3/2 \Rightarrow \varphi = \pi/3$:

Неравенство становится $2\sin\!\left(x+\dfrac\pi3\right) > 1 \iff \sin\!\left(x+\dfrac\pi3\right) > \dfrac12$, а это уже привычный простейший тип из первого блока. Полное решение этой задачи мы разберём в практике (это прикладная задача про "безопасную зону" робота-манипулятора).

Почему это важно

Приведение $a\sin x + b\cos x$ к одной функции $R\sin(x+\varphi)$ — это, по сути, элементарная версия анализа Фурье: любой периодический сигнал раскладывается в сумму синусов и косинусов, а задача "превышает ли комбинированный сигнал порог" всегда сводится к такому свёртыванию. В цифровой обработке сигналов (DSP) эта техника — рутинная операция при построении фильтров.

Хитрые случаи: сложный аргумент и квадратичные неравенства

Интуиция

Иногда неравенство маскируется под что-то незнакомое: $2\sin^2 x - \sin x - 1 > 0$ выглядит пугающе, но это обычное квадратное неравенство, где вместо переменной $x$ стоит $\sin x$. Общий приём: делаем замену $t = \sin x$ (помня, что $t \in [-1, 1]$!), решаем алгебраическое неравенство относительно $t$, а затем возвращаемся к $x$ — уже знакомым способом через окружность.

Определение: Квадратичное тригонометрическое неравенство — это неравенство вида $A\cdot f^2(x) + B \cdot f(x) + C \lessgtr 0$, где $f(x)$ — одна из тригонометрических функций. Решается заменой $t = f(x)$ с обязательным учётом области значений $t$.

Пример 1: $2\sin^2 x - \sin x - 1 > 0$

Шаг 1. Замена $t = \sin x$, $t \in [-1, 1]$: неравенство $2t^2 - t - 1 > 0$.

Шаг 2. Дискриминант: $D = 1 + 8 = 9$, корни $t = \dfrac{1\pm3}{4}$, то есть $t=1$ или $t=-\dfrac12$.

Шаг 3. Парабола $2t^2-t-1$ смотрит вверх, значит выражение положительно вне корней: $t < -\dfrac12$ или $t > 1$.

Шаг 4. Но $t = \sin x \leq 1$ всегда — условие $t>1$ невозможно физически, отбрасываем. Остаётся $\sin x < -\dfrac12$.

Ответ (после решения простейшего неравенства как в блоке 1): $x \in \left(\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi k\right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Важный урок: всегда проверяй, укладываются ли найденные корни $t$ в физический диапазон $[-1,1]$ (для $\sin$, $\cos$) — часть решений может оказаться "фиктивной".

Пример 2: неравенство с двойным углом

$\cos 2x + \cos x \leq 0$. Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

Замена $u = \cos x \in [-1,1]$: $2u^2+u-1\leq0$. Корни: $D=1+8=9$, $u = \dfrac{-1\pm3}{4}$, то есть $u=\dfrac12$ или $u=-1$. Парабола смотрит вверх, значит выражение $\leq0$ между корнями: $-1 \leq u \leq \dfrac12$.

Условие $u \geq -1$ выполняется для $\cos x$ всегда автоматически (это его минимум) — реально ограничивающим оказывается только $\cos x \leq \dfrac12$.

Ответ: $x \in \left[\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{3}+2\pi k\right]$, $k \in \mathbb{Z}$ (решение $\cos x \leq \frac12$ по схеме блока 2).

Почему это важно

Квадратичные тригонометрические конструкции возникают в физике колебаний (энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды, а значит квадрату синуса или косинуса) и в статистике при анализе автокорреляции периодических сигналов, где встречаются выражения вида $\cos^2\theta$. В следующем блоке практики будет задача именно про диаграмму направленности антенны, где нужно решить неравенство $\cos^2\theta \geq \dfrac12$.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Реши неравенство $\sin x > \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Задание 2: Реши неравенство $\cos x \leq -\dfrac{1}{2}$.

Задание 3: Реши неравенство $\operatorname{tg} x < \sqrt3$.

Задание 4: При каких $x$ выполняется $\sin x \geq -1$?

Задание 5: При каких $x$ выполняется $\cos x > 1$?

Задание 6: Реши неравенство $\cos x \geq \dfrac{\sqrt2}{2}$.

Задание 7: Реши неравенство $\sin x < -\dfrac{1}{2}$.

Задание 8: Реши неравенство $\operatorname{ctg} x > 1$.

Задание 9: Реши неравенство $\operatorname{tg} x \geq 0$.

Задание 10: Реши неравенство $\sin x \leq 0$.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Реши неравенство $\sin 2x > \dfrac{1}{2}$.

Задание 12: Реши неравенство $\cos\dfrac{x}{2} \leq -\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Задание 13: Реши неравенство $2\sin^2 x - \sin x - 1 > 0$.

Задание 14: Реши неравенство $|\cos x| < \dfrac{1}{2}$.

Задание 15: Позиционное кодирование. В упрощённой модели один из каналов позиционного эмбеддинга трансформера равен $\sin(pos)$, где $pos$ — позиция токена (действительное число). При каких $pos$ значение этого канала превышает $0{,}9$?

Задание 16: Реши систему неравенств: $\sin x > 0$ и $\cos x > 0$ одновременно.

Задание 17: Реши неравенство $\cos\!\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \geq \dfrac{1}{2}$.

Задание 18: Циклический признак времени. Час суток $h \in [0, 24)$ кодируется углом $\theta = \dfrac{\pi h}{12}$ (полный оборот за 24 часа). Найди диапазон часов, при которых $\cos\theta < 0$.

Задание 19: Реши неравенство $4\sin^2x - 4\sin x - 3 < 0$.

Задание 20: Реши неравенство $\operatorname{tg}\!\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) \geq -1$.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: На сколько промежутков разбивается решение неравенства $\operatorname{tg} x < 2$ на отрезке $[0; 2\pi]$? Укажи эти промежутки.

Задание 22: Безопасная зона манипулятора. Угол сустава робота-манипулятора $x$ (в радианах) считается безопасным, если $\sin x + \sqrt3\cos x > 1$. Найди безопасный диапазон углов.

Задание 23: Реши двойное неравенство $-\dfrac{1}{2} < \sin x \leq \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Задание 24: Циклический признак "выходного". День недели кодируется углом $\theta = \dfrac{2\pi d}{7}$. Найди диапазон $\theta$, при котором $\sin\theta + \cos\theta \geq 1$ (упрощённый индикатор "околовыходного" состояния).

Задание 25: Реши неравенство $2\sin^2x - 3\sin x + 1 < 0$.

Задание 26: Реши неравенство $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x \geq 2$.

Задание 27: Диаграмма направленности антенны. Мощность сигнала пропорциональна $\cos^2\theta$, где $\theta$ — угол отклонения от оси антенны. Зона уверенного приёма определяется условием $\cos^2\theta \geq \dfrac12$. Найди эту зону.

Задание 28: Реши неравенство $\cos 2x + \cos x \leq 0$.

Задание 29: Автокорреляция периодического сигнала. Функция автокорреляции сигнала имеет вид $\rho(x)=\cos x$, где $x$ — временной сдвиг. "Режим противофазы" определяется как $\rho(x) < -\dfrac12$. Найди все временные сдвиги в диапазоне $x \in [0; 2\pi]$, попадающие в этот режим.

Задание 30: Реши неравенство $\sin x + \sin 2x > 0$.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забыли период при замене переменной

Неправильно: решая $\sin 2x > \frac12$, после перехода к $t=2x$ и получения $t\in(\pi/6+2\pi n; 5\pi/6+2\pi n)$, делят только границы на 2, а период $2\pi n$ оставляют без изменений.

Правильно: период тоже делится на коэффициент перед $x$: $x\in(\pi/12+\pi n; 5\pi/12+\pi n)$.

Почему важно: если коэффициент перед $x$ равен $k$, то функция "прокручивается" в $k$ раз быстрее, значит и повторяется в $k$ раз чаще — период по $x$ обязан уменьшиться в $k$ раз.

❌ Ошибка 2: Путают строгие и нестрогие знаки на границах

Неправильно: для $\sin x \geq 1/2$ пишут ответ с круглыми скобками $(\pi/6+2\pi k;\ 5\pi/6+2\pi k)$.

Правильно: нестрогий знак $\geq$ требует квадратных скобок: $[\pi/6+2\pi k;\ 5\pi/6+2\pi k]$.

Почему важно: это меняет, включаются ли граничные точки, где функция равна ровно $a$, в множество решений.

❌ Ошибка 3: Закрытая граница у асимптоты тангенса или котангенса

Неправильно: для $\operatorname{tg} x \geq -1$ пишут ответ $\left[-\frac\pi4+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right]$ — с квадратной скобкой у $\pi/2$.

Правильно: $\left[-\frac\pi4+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right)$ — граница у точки разрыва всегда открытая, каким бы ни был знак исходного неравенства.

Почему важно: тангенс просто не существует в точке $\pi/2+\pi k$ — там нечего "включать" в ответ.

❌ Ошибка 4: Забыли проверить, укладывается ли корень замены в $[-1, 1]$

Неправильно: решая $2\sin^2x - \sin x - 1 > 0$, находят корни $t=1$ и $t=-\frac12$, и включают в ответ оба случая $t>1$ и $t<-\frac12$, не заметив, что $\sin x > 1$ невозможно.

Правильно: сначала проверить каждый корень на принадлежность области значений функции, отбросить физически невозможные случаи, и только потом решать оставшееся простейшее неравенство.

Почему важно: без этой проверки в ответ попадает пустое или лишнее условие, которое незаметно "портит" итоговый результат.

❌ Ошибка 5: Спутали направление дуги для синуса и косинуса

Неправильно: для $\cos x < a$ ищут дугу через "верх" окружности (как для синуса), а не через "левый край" — и получают противоположный (дополнительный) ответ.

Правильно: держи в голове разные образы — синус — это высота (верх/низ окружности), косинус — это горизонталь (право/лево окружности). Дуга для $\sin x > a$ всегда проходит через точку $\pi/2$ (максимум синуса), а для $\cos x < a$ — через точку $\pi$ (минимум косинуса).

Почему важно: перепутанное направление даёт формально похожий, но полностью неверный (дополнительный) ответ — обе дуги вместе покрывают всю окружность, поэтому ошибка не проявляется как явная бессмыслица, её легко не заметить.

❌ Ошибка 6: Игнорируют изолированную "выколотую" точку

Неправильно: решая $2\sin^2x-3\sin x+1<0$ (сводится к $\frac12<\sin x<1$), записывают ответ как обычную дугу $\left(\frac\pi6+2\pi k;\ \frac{5\pi}6+2\pi k\right)$, забыв, что $\sin x<1$ (строго) исключает одну точку внутри этой дуги.

Правильно: если одна из границ после замены равна $\pm1$ (пределу области значений синуса или косинуса) и неравенство строгое, из ответа нужно выколоть соответствующую точку.

Почему важно: формально это одна точка на бесконечном множестве, но именно такие детали проверяют на экзаменах — и именно они чаще всего "ловят" невнимательных.

Главное запомнить

✅ Общий алгоритм: свести неравенство к простейшему виду ($\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ или $\operatorname{ctg}$ от одного аргумента) → решить соответствующее уравнение → определить нужную дугу на единичной окружности → записать ответ с периодом.

✅ $\sin x > a$ — дуга проходит через точку максимума $\pi/2$; $\cos x < a$ — дуга проходит через точку минимума $\pi$. Не путай направление.

✅ Период синуса и косинуса — $2\pi$, тангенса и котангенса — $\pi$. Если внутри функции стоит $kx$, период по $x$ делится на $|k|$.

✅ Тангенс и котангенс не определены в отдельных точках ($\pi/2+\pi k$ и $\pi k$ соответственно), и граница ответа рядом с этими точками всегда открытая — независимо от знака неравенства.

✅ Двойные неравенства ($a < f(x) < b$) — это система из двух простейших неравенств; решение — пересечение (для одной функции с двумя границами) или, если сравниваются моменты пересечения одной синусоиды с двумя уровнями, может распасться на несколько дуг за один период.

✅ Квадратичные неравенства относительно $\sin x$ или $\cos x$ решаются заменой $t=\sin x$ (или $\cos x$), $t\in[-1,1]$ — и обязательной проверкой, укладываются ли найденные корни в этот диапазон.

✅ Смешанные неравенства вида $a\sin x + b\cos x \lessgtr c$ сворачиваются в один синус через вспомогательный угол: $a\sin x+b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$.

✅ Всегда проверяй ответ подстановкой одной точки изнутри найденного промежутка и одной точки снаружи — это быстро ловит ошибки в направлении дуги или в знаке.

✅ В прикладных задачах (циклические признаки времени, позиционное кодирование, автокорреляция сигнала, диаграмма направленности антенны) вся эта техника используется буквально, без изменений — только вместо "реши неравенство" звучит "найди диапазон/окно/зону".

Связь с другими темами курса

Этот урок напрямую опирается на системы тригонометрических уравнений (урок 106) — там ты уже привыкал работать сразу с несколькими условиями одновременно, здесь та же идея применяется к промежуткам вместо точек. Также нужны прочные знания табличных значений синуса, косинуса и тангенса, формул приведения и, конечно, самого устройства единичной окружности из более ранних уроков курса.

Следующий урок (108) применяет весь тригонометрический аппарат — уравнения и неравенства вместе — к геометрическим задачам: теоремам синусов и косинусов, площадям, вписанным и описанным окружностям. Тригонометрические неравенства там понадобятся, например, чтобы определить область допустимых значений угла в треугольнике.

Забегая вперёд: примерно через два десятка уроков курс введёт производную (урок 133) — и окажется, что многие задачи на промежутки возрастания и убывания функции, которые в этом уроке ты решал через единичную окружность и графики "вручную", производная позволяет решать формальным алгоритмом (по знаку производной). Но сама идея — искать не точку, а промежуток, где выполняется условие, — останется той же самой.

В области данных и машинного обучения эта тема продолжается в анализе временных рядов (цикличные признаки времени), в архитектурах трансформеров (позиционное кодирование), в цифровой обработке сигналов (фильтрация, автокорреляция) — везде, где на сцену выходит периодичность.

Интересные факты

💡 Арьябхата и таблицы для затмений. Индийский астроном Арьябхата (V век) составил таблицы синусов задолго до появления привычной тригонометрической записи — с их помощью вычисляли не момент, а именно промежутки времени солнечных и лунных затмений. По сути, это были первые известные решения тригонометрических неравенств, просто оформленные как астрономические таблицы, а не алгебраические формулы.

💡 Логарифмическая линейка тоже "чувствовала" тригонометрию. На инженерных логарифмических линейках XX века была отдельная шкала синусов и тангенсов — инженер мог быстро прикинуть, при каком диапазоне угла напряжение в конструкции превышает допустимый предел, буквально считывая ответ на неравенство с линейки, без единого вычисления.

💡 Почему у трансформеров именно синус и косинус, а не что-то ещё. В позиционном кодировании трансформеров выбор именно тригонометрических функций не случаен: благодаря формулам сложения $\sin(\alpha+\beta)$ и $\cos(\alpha+\beta)$ кодировка любой относительной позиции получается линейным преобразованием кодировки текущей позиции. Ни одна другая периодическая функция не даёт этого свойства так просто.

💡 Закон Бенфорда для углов есть, но выглядит иначе. Если распределение углов равномерно на окружности (например, направление ветра), то у $\sin\theta$ и $\cos\theta$ получается характерное "U-образное" распределение значений — значения около $\pm1$ встречаются чаще, чем около $0$. Это прямое следствие того, что окружность "спрессовывает" равные углы в неравные проекции — та же геометрия, что стоит за неравенствами этого урока.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Рисуй окружность даже для "простых" неравенств

Не пытайся держать в голове, где какая дуга — это provoцирует именно ошибку №5 из списка выше. Даже беглый набросок окружности с двумя отмеченными точками и заштрихованной дугой экономит больше времени, чем он занимает.

2. Мнемоника ASTC для знаков по четвертям

"Все Синус Тангенс Косинус" (по-английски ASTC — All, Sin, Tan, Cos) — в первой четверти положительны все функции, во второй — только синус, в третьей — только тангенс (и котангенс), в четвёртой — только косинус. Быстрая проверка знака перед тем, как искать точную дугу.

3. При сложном аргументе — всегда делай явную замену

Даже если кажется, что "и так понятно", выпиши $t = kx+b$ отдельной строкой. Это не для красоты — именно на этом шаге чаще всего забывают поделить период на $k$.

4. Проверяй границы диапазона перед решением квадратичных неравенств

Перед тем как решать простейшее неравенство после замены $t=\sin x$ или $t=\cos x$, сразу отметь, какие из корней вообще достижимы ($t\in[-1,1]$). Это экономит время и убирает половину возможных ошибок в квадратичных задачах.

5. Формула вспомогательного угла — твой швейцарский нож для сумм

Любое $a\sin x + b\cos x$ мгновенно превращается в $\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$. Не нужно её запоминать формулой для $\varphi$ — достаточно помнить, что $\cos\varphi = a/R$, $\sin\varphi = b/R$, и дальше это обычные табличные значения.

6. Двойная проверка: точка внутри и точка снаружи

После получения ответа подставь одно значение $x$ из середины найденного промежутка (должно выполняться исходное неравенство) и одно значение чуть за его пределами (не должно выполняться). Если оба теста проходят — можно быть уверенным в ответе.

7. В прикладных ML-задачах сначала пойми физический смысл границы

Когда встречаешь неравенство вида "модель активна, когда фаза сигнала превышает порог" — сначала нарисуй, что это значит на окружности (или на графике), и только потом переходи к формулам. Интуиция про "окно" или "зону" почти всегда подсказывает верную дугу быстрее, чем слепой алгоритм.

Тригонометрические неравенства — это ровно та точка курса, где единичная окружность из абстрактной картинки превращается в рабочий инструмент: ты научился находить не просто число, а целую зону, целое окно, целый диапазон, где выполняется условие. Это тот же самый навык, который через несколько лет понадобится, когда ты будешь настраивать пороги в модели, искать безопасный диапазон работы сенсора или объяснять, почему нейросеть "просыпается" именно в этом окне входных данных. Дальше в курсе тригонометрия встретится с геометрией треугольников — а привычка искать дугу на окружности останется с тобой надолго.