Преобразование произведения в сумму 🎛️

Возьми чистый тон 200 герц и умножь его на другой чистый тон 30 герц. Что услышишь? Логика подсказывает: «наверное, что-то на 200 и что-то на 30». А реальность отвечает иначе — в звуке не будет ни 200 герц, ни 30. Появятся две совершенно новые частоты: 170 и 230. Именно так работает кольцевой модулятор в синтезаторе, и именно поэтому его звук ни с чем не спутаешь: он металлический, «неземной», потому что новые частоты не кратны исходным. Этот фокус — не акустика и не электроника. Это чистая тригонометрия, одна формула в две строки.

За тем же самым фокусом стоит вся радиосвязь. Когда станция вещает на 100,1 МГц, она физически перемножает голос диктора и высокочастотную «несущую» синусоиду. В эфир при этом уходит не «голос на несущей», а несущая плюс две боковые полосы — сумма и разность частот. Приёмник в твоей машине делает обратную операцию: снова перемножает принятый сигнал на свою копию несущей и получает исходный голос обратно. Обе операции — прямая и обратная — держатся на четырёх формулах, которые мы разберём в этом уроке.

И это только начало. Как только ты научишься превращать произведение гармоник в сумму гармоник, откроется дверь в спектральный анализ: станет понятно, почему свёртка и кросс-корреляция с синусоидой «выцепляют» из сигнала ровно одну частоту, почему нелинейность в системе порождает новые гармоники, которых не было на входе, и почему разложение Фурье — фундамент MP3, JPEG, спектрограмм для распознавания речи и позиционных кодировок в трансформерах — вообще работает.

В прошлом уроке мы шли в одну сторону: брали сумму синусов и сворачивали её в произведение. Сегодня мы разворачиваемся и идём в обратном направлении: берём произведение и раскладываем его в сумму. Это не «ещё четыре формулы для зубрёжки» — это те же самые формулы, прочитанные справа налево. И, честно говоря, в приложениях направление «произведение → сумма» встречается чаще: перемножать сигналы легко физически (это делает любой смеситель или транзистор), а вот понимать результат можно только через сумму.

🎯 Ты узнаешь:

• Как из формул сложения за две строки получить все четыре формулы преобразования произведения в сумму — и никогда их не зубрить
• Почему в произведении $\sin\alpha\sin\beta$ знак минус стоит именно перед $\cos(\alpha+\beta)$, а не наоборот, и как это проверить за пять секунд
• Как одно перемножение синусоид рождает боковые частоты — основа AM-радио, кольцевой модуляции и интермодуляционных искажений
• Почему разложение произведения в сумму — фундамент спектрального анализа, свёртки и кросс-корреляции с гармоническими сигналами
• Как астрономы XVI века перемножали шестизначные числа без калькулятора и логарифмов — приёмом просташаферез, целиком построенным на формуле $\cos\alpha\cos\beta$

История: откуда это взялось?

Представь себя астрономом в 1580 году. У тебя есть обсерватория, отличные инструменты — и задача: пересчитать координаты восьмисот звёзд со сферической тригонометрией. В каждой формуле сферической тригонометрии сидит произведение синусов и косинусов, а таблицы дают эти значения с семью-восемью знаками после запятой. Значит, тебе надо перемножить в столбик $0{,}6427876$ на $0{,}8660254$. И так — тысячи раз. Логарифмов ещё нет: Джон Непер опубликует их только в 1614 году. Умножение семизначных чисел вручную — это несколько минут работы и высокая вероятность ошибки, которая испортит весь дальнейший расчёт.

Выход нашли задолго до Непера. Ещё около 1000 года египетский астроном Ибн Юнус знал приём, позволяющий заменить умножение сложением через тригонометрические таблицы. В Европе его переоткрыл нюрнбергский математик Иоганн Вернер (1468–1522) около 1510 года — до сих пор формулы преобразования произведения в сумму часто называют формулами Вернера. А в 1580 году астроном Пауль Виттих привёз метод на остров Вен, в знаменитую обсерваторию Ураниборг, где им немедленно вооружился Тихо Браге. Метод получил греческое имя просташаферез (prosthaphaeresis) — от πρόσθεσις («прибавление») и ἀφαίρεσις («отнимание»): умножение сводилось к прибавлению и отниманию.

Идея гениально проста. Хочешь перемножить два числа $a$ и $b$, лежащих между $-1$ и $1$? Найди в таблице такие углы, что $a = \cos\alpha$ и $b = \cos\beta$. Тогда

Справа нет ни одного умножения! Только сложение углов, вычитание углов, два похода в таблицу косинусов и деление пополам. Тихо Браге и его ассистент Йост Бюрги гоняли этот приём годами; в 1593 году Кристоф Клавий опубликовал его подробное изложение. Ирония истории: шотландец Джон Непер узнал о просташаферезе от врача Джона Крейга, побывавшего в Ураниборге, — и именно этот приём натолкнул его на мысль искать более общий способ превращать умножение в сложение. Так родились логарифмы, которые за десять лет полностью вытеснили просташаферез из практики.

Но формулы никуда не делись — они просто сменили профессию. В XIX веке Жозеф Фурье показал, что любой периодический процесс раскладывается в сумму гармоник, и формулы Вернера стали рабочим инструментом анализа: они объясняют, что происходит при перемножении гармоник. В 1906 году Реджинальд Фессенден впервые передал голос по радио амплитудной модуляцией — и боковые частоты, которые предсказывает формула $\cos\alpha\cos\beta$, стали физической реальностью, за которую сегодня платят миллиарды при распределении радиочастотного спектра. А в наши дни те же две строки лежат под спектрограммами, на которых обучаются модели распознавания речи.

Идея: почему произведение вообще превращается в сумму

Давай разберёмся с интуицией, прежде чем выводить формулы.

Представь два колеса, которые крутятся с разной скоростью: одно делает 200 оборотов в секунду, другое — 30. Возьми на каждом по метке и следи за произведением их вертикальных координат. Что ты увидишь? Ни ритма «200», ни ритма «30». Ты увидишь ритм встречи и ритм расхождения — насколько быстро одна метка догоняет другую (разность скоростей, 170) и насколько быстро они «разбегаются» в противоположных фазах (сумма скоростей, 230).

Вот в этом вся суть. Произведение колебаний живёт не на исходных частотах, а на их сумме и разности. Умножение — операция нелинейная, и нелинейность всегда рождает новые частоты. Формулы, которые мы сейчас выведем, — это точный бухгалтерский отчёт: какие именно частоты появились и с какими амплитудами.

Второй способ понять то же самое — вспомнить прошлый урок. Там мы сворачивали сумму в произведение:

Обрати внимание на структуру правой части: аргументы там — полусумма и полуразность. Значит, если мы назовём полусумму буквой $\alpha$, а полуразность буквой $\beta$, то $x = \alpha+\beta$ и $y = \alpha-\beta$, и формула превращается в

А это уже — с точностью до перестановки левой и правой части — ровно та формула, ради которой мы здесь. То есть урок 100 и урок 101 — это буквально одно и то же зеркало, только смотришь ты в него с разных сторон. Мы вернёмся к этой связи отдельным разделом, а пока получим все четыре формулы честным выводом.

Синус на косинус: первая формула

Интуиция и вывод

Возьмём две формулы из прошлого урока — синус суммы и синус разности:

Посмотри на правые части. Первое слагаемое у них одинаковое — $\sin\alpha\cos\beta$. Второе отличается только знаком. Значит, если сложить эти два равенства, «неудобное» слагаемое $\cos\alpha\sin\beta$ самоуничтожится:

Осталось поделить на 2 и переставить стороны. Готово — формула выведена за две строки, без единого нового факта.

А если те же равенства вычесть, самоуничтожится уже $\sin\alpha\cos\beta$, и останется второй продукт:

Это тот же самый приём, что в системах линейных уравнений: складываем и вычитаем, чтобы поочерёдно исключить неизвестные. Только «неизвестными» тут выступают произведения.

Определение: Формулы преобразования произведения синуса на косинус в сумму:

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\right]$$$$\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\left[\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)\right]$$

Ключевые наблюдения, которые стоит зафиксировать сразу:

• Справа всегда стоит множитель $\dfrac{1}{2}$ — это «полусумма», а не сумма. Забытая одна вторая — ошибка номер один в этой теме
• В обеих формулах справа стоят синусы — потому что слева произведение «смешанное», разных функций
• Порядок аргументов важен: $\sin\alpha\cos\beta \neq \cos\alpha\sin\beta$. Первая буква ($\alpha$) — та, что стоит под синусом слева; она же определяет знак «разностного» слагаемого

Быстрая проверка правильности: подставь $\beta = 0$. Тогда $\sin\alpha\cos 0 = \sin\alpha$, а справа $\frac12[\sin\alpha + \sin\alpha] = \sin\alpha$ ✅. И вторая: $\cos\alpha\sin 0 = 0$, справа $\frac12[\sin\alpha - \sin\alpha] = 0$ ✅. Обе сходятся.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): преобразуй в сумму $\sin 7x\cos 4x$

Решение:

Шаг 1. Определим $\alpha$ и $\beta$. Под синусом стоит $7x$, значит $\alpha = 7x$; под косинусом $4x$, значит $\beta = 4x$.

Шаг 2. Посчитаем сумму и разность аргументов: $\alpha + \beta = 11x$, $\alpha - \beta = 3x$.

Шаг 3. Подставим в формулу $\sin\alpha\cos\beta = \frac12[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$:

Проверим наш ответ численно при $x = 10°$: слева $\sin 70°\cos 40° = 0{,}9397 \cdot 0{,}7660 = 0{,}7198$. Справа $\frac12(\sin 110° + \sin 30°) = \frac12(0{,}9397 + 0{,}5) = 0{,}7198$ ✅

Ответ: $\sin 7x\cos 4x = \dfrac{1}{2}\left(\sin 11x + \sin 3x\right)$

Пример 2 (средний): вычисли точное значение $\sin\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{5\pi}{12}$

Решение:

Шаг 1. Здесь $\alpha = \dfrac{\pi}{12}$, $\beta = \dfrac{5\pi}{12}$. Обрати внимание: $\alpha$ меньше $\beta$, так что разность будет отрицательной — это нормально, формула работает и так.

Шаг 2. Считаем аргументы:

Шаг 3. Подставляем:

Шаг 4. Синус — нечётная функция, поэтому $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$:

Проверим наш ответ: $\sqrt3 \approx 1{,}7321$, значит результат $\approx \dfrac{0{,}2679}{4} \approx 0{,}0670$. Напрямую: $\sin 15° \cos 75° = 0{,}2588 \cdot 0{,}2588 = 0{,}0670$ ✅

Ответ: $\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$

Пример 3 (сложный): разложи в сумму произведение трёх множителей $\sin x\cos 2x\cos 3x$

Решение:

Три множителя — не проблема: применяем формулы по очереди, начиная с любой удобной пары.

Шаг 1. Начнём с пары косинусов. Забежим чуть вперёд (эту формулу мы выведем в следующем разделе): $\cos\alpha\cos\beta = \frac12[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)]$. При $\alpha = 2x$, $\beta = 3x$:

(косинус чётный, поэтому $\cos(-x) = \cos x$).

Шаг 2. Умножаем на $\sin x$ и раскрываем скобки:

Шаг 3. Каждое слагаемое — снова произведение «синус на косинус». Первое:

Заметь: получилась знакомая формула синуса двойного угла — она частный случай нашей.

Второе: при $\alpha = x$, $\beta = 5x$ имеем $\alpha+\beta = 6x$, $\alpha - \beta = -4x$:

Шаг 4. Собираем всё вместе:

Проверим наш ответ при $x = 15°$: слева $\sin 15°\cos 30°\cos 45° = 0{,}2588 \cdot 0{,}8660 \cdot 0{,}7071 = 0{,}1585$. Справа $\frac14\sin 30° - \frac14\sin 60° + \frac14\sin 90° = 0{,}125 - 0{,}2165 + 0{,}25 = 0{,}1585$ ✅

Ответ: $\dfrac{1}{4}\left(\sin 2x - \sin 4x + \sin 6x\right)$

📌 Обрати внимание на структуру ответа: из трёх множителей с частотами 1, 2, 3 родились частоты 2, 4, 6 — все возможные комбинации $\pm1\pm2\pm3$, приведённые к положительным. Это и есть «интермодуляция» на языке инженеров.

Почему это важно

Формула $\sin\alpha\cos\beta$ — это математическое описание амплитудной модуляции, самой распространённой операции в связи и звуке. Когда медленный сигнал $\cos\beta t$ (голос, огибающая, тремоло) умножает быструю несущую $\sin\alpha t$, результат физически невозможно описать как «быструю волну с меняющейся громкостью» на языке спектра — спектр вообще не знает слова «меняющаяся громкость», он знает только набор постоянных частот. Формула переводит одно описание в другое: было «одна частота с плавающей амплитудой», стало «две постоянные частоты». Именно поэтому радиостанции занимают в эфире не точку, а полосу: боковые частоты $\alpha\pm\beta$ должны куда-то поместиться.

Косинус на косинус и синус на синус

Интуиция и вывод

Тот же приём, только теперь берём формулы косинуса суммы и разности:

Сложим их — уйдут синусы:

Вычтем первое из второго (именно в таком порядке, чтобы результат был со знаком плюс) — уйдут косинусы:

Вот и все четыре формулы. Ни одной новой идеи — только сложение и вычитание того, что ты уже знаешь.

Определение: Формулы преобразования произведения одноимённых функций в сумму:

$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\right]$$$$\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\right]$$

Что тут стоит запомнить намертво:

• Слева одноимённые функции — справа косинусы. Смешанное произведение давало синусы, одноимённое даёт косинусы. Логика: косинус «не различает» знак аргумента, и одноимённое произведение симметрично относительно перестановки $\alpha$ и $\beta$
• Разность идёт первой. И в той, и в другой формуле на первом месте стоит $\cos(\alpha-\beta)$ — всегда со знаком плюс
• Единственный минус во всём наборе — перед $\cos(\alpha+\beta)$ в формуле для $\sin\alpha\sin\beta$. Мнемоника: «синусы минусуют сумму»
• Порядок $\alpha$ и $\beta$ здесь не важен: если поменять их местами, разность сменит знак, но косинус чётный — значение не изменится

Мгновенная проверка знака: подставь $\alpha = \beta = 0$. Слева $\sin 0\sin 0 = 0$, справа $\frac12[\cos 0 - \cos 0] = 0$ ✅. А теперь возьми $\alpha = \beta = \frac{\pi}{2}$: слева $1\cdot 1 = 1$, справа $\frac12[\cos 0 - \cos\pi] = \frac12[1-(-1)] = 1$ ✅. Если бы ты перепутал знак, получилось бы $-1$ — а произведение двух единиц отрицательным быть не может. Вот так за пять секунд ловится главная ошибка темы.

Примеры с разбором

Пример 4 (простой): преобразуй в сумму $\cos 6x\cos 2x$

Решение:

Шаг 1. $\alpha = 6x$, $\beta = 2x$. Разность: $4x$. Сумма: $8x$.

Шаг 2. Подставляем (разность первой, обе с плюсом):

Проверим наш ответ при $x = 15°$: слева $\cos 90°\cos 30° = 0 \cdot 0{,}866 = 0$. Справа $\frac12(\cos 60° + \cos 120°) = \frac12(0{,}5 - 0{,}5) = 0$ ✅

Ответ: $\dfrac{1}{2}\left(\cos 4x + \cos 8x\right)$

Пример 5 (средний): вычисли точное значение $\sin\dfrac{7\pi}{12}\sin\dfrac{\pi}{12}$

Решение:

Шаг 1. $\alpha = \dfrac{7\pi}{12}$, $\beta = \dfrac{\pi}{12}$. Считаем:

Шаг 2. Формула для произведения синусов — разность первой, сумма с минусом:

Шаг 3. Табличные значения: $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$, а $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ (угол во второй четверти, косинус отрицателен).

Проверим наш ответ: $\sin 105° \sin 15° = 0{,}9659 \cdot 0{,}2588 = 0{,}2500$ ✅

Ответ: $\dfrac{1}{4}$

📌 Обрати внимание, как красиво здесь сработали два минуса подряд: минус из формулы и минус из значения $\cos\frac{2\pi}{3}$. Если бы ты перепутал порядок и написал $\frac12[\cos\frac{2\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{2}]$, получил бы $-\frac14$ — отрицательное число, хотя оба синуса положительны. Это ещё одна причина всегда делать финальную прикидку знака.

Пример 6 (сложный): докажи тождество $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta$

Решение:

Слева — произведение двух косинусов. Значит, применяем формулу, только «буквами» в ней будут не $\alpha$ и $\beta$, а целые выражения.

Шаг 1. Обозначим $u = \alpha+\beta$ и $v = \alpha-\beta$. Тогда:

Шаг 2. По формуле $\cos u\cos v = \frac12[\cos(u-v) + \cos(u+v)]$:

Шаг 3. Раскроем косинусы двойного угла в удобном виде: $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ и $\cos 2\beta = 1 - 2\sin^2\beta$. Выбираем именно эти варианты, потому что в правой части доказываемого тождества стоят $\cos^2\alpha$ и $\sin^2\beta$.

Шаг 4. Сокращаем двойку:

Что и требовалось. ✅

Проверим наш ответ при $\alpha = 60°$, $\beta = 30°$: слева $\cos 90°\cos 30° = 0$. Справа $\cos^2 60° - \sin^2 30° = 0{,}25 - 0{,}25 = 0$ ✅

Ответ: тождество доказано.

Почему это важно

Формула $\cos\alpha\cos\beta$ — это буквально та строка, на которой держался просташаферез: справа нет ни одного умножения, только сложение, вычитание и таблица. А формула $\sin\alpha\sin\beta$ — рабочая лошадка кольцевой модуляции и смесителей частот: при перемножении двух синусоид несущие исчезают полностью, остаются только сумма и разность. Плюс обе формулы дают самый прямой вывод формул понижения степени — той самой замены $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$, без которой не берётся половина интегралов и не считается средняя мощность сигнала.

Все четыре формулы вместе: как не перепутать

Интуиция

Четыре формулы — это много для памяти, если учить их как четыре отдельных факта. Но они устроены по одной схеме, и стоит увидеть схему — учить становится нечего.

Схема такая. Слева — произведение двух функций от $\alpha$ и $\beta$. Справа — половина суммы или разности двух функций от $(\alpha+\beta)$ и $(\alpha-\beta)$. Вопрос всего в двух вещах: какая функция справа и какие знаки.

Правило функции. Слева разные функции (sin·cos) → справа синусы. Слева одинаковые (cos·cos или sin·sin) → справа косинусы.

Правило порядка. Если справа синусы — первым идёт $\sin(\alpha+\beta)$. Если справа косинусы — первым идёт $\cos(\alpha-\beta)$. Мнемоника: «синус любит сумму, косинус любит разность» — то есть каждая функция ставит вперёд «свой» аргумент.

Правило знака. Минус появляется ровно в двух случаях из четырёх, и оба раза он «маркирует» ту функцию, которая слева стоит вторым множителем в нестандартной позиции:

Определение: Совокупность этих четырёх тождеств называют формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (или формулами Вернера). Они справедливы при любых вещественных $\alpha$ и $\beta$ — никаких ограничений на область определения нет, потому что синус и косинус определены везде.

Самая надёжная страховка от ошибки — не мнемоника, а проверка. Вот три подстановки, которые ловят почти любую опечатку:

• $\beta = 0$: произведение слева упрощается до одной функции, а справа сумма/разность двух одинаковых аргументов
• $\alpha = \beta$: получаются формулы понижения степени, которые ты знаешь наизусть
• $\alpha = \beta = \frac{\pi}{2}$: числовая проверка, мгновенно ловящая перепутанный знак

Примеры с разбором

Пример 7 (средний): выведи формулы понижения степени, положив $\alpha = \beta = x$

Решение:

Шаг 1. Берём формулу для произведения косинусов и кладём $\alpha = \beta = x$:

Шаг 2. Так как $\cos 0 = 1$:

Шаг 3. Теперь то же самое с синусами:

Шаг 4. И для смешанного произведения:

Ответ: три знакомые формулы — $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$, $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$, $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ — оказались частными случаями формул Вернера при $\alpha = \beta$.

📌 Это не только красиво, но и практично: если ты вдруг забыл знак в формуле для $\sin\alpha\sin\beta$, восстанови его отсюда. $\sin^2 x$ обязано быть неотрицательным, а $\frac{1-\cos 2x}{2} \geq 0$ всегда — значит, минус стоит перед $\cos(\alpha+\beta)$, и никак иначе.

Пример 8 (сложный): реши уравнение $\cos 5x\cos 3x = \cos 8x$

Решение:

Шаг 1. Слева произведение косинусов — раскладываем в сумму. $\alpha = 5x$, $\beta = 3x$, разность $2x$, сумма $8x$:

Шаг 2. Умножим обе части на 2:

Шаг 3. Перенесём и упростим:

Смотри, как удобно получилось: произведение исчезло, осталось равенство двух косинусов. Именно ради этого мы и раскладывали.

Шаг 4. Равенство $\cos A = \cos B$ равносильно $A = \pm B + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Разберём два случая.

Случай «плюс»: $8x = 2x + 2\pi k \Rightarrow 6x = 2\pi k \Rightarrow x = \dfrac{\pi k}{3}$.

Случай «минус»: $8x = -2x + 2\pi n \Rightarrow 10x = 2\pi n \Rightarrow x = \dfrac{\pi n}{5}$.

Шаг 5. Проверим представителей каждой серии. При $x = \frac{\pi}{3}$: слева $\cos\frac{5\pi}{3}\cos\pi = 0{,}5\cdot(-1) = -0{,}5$; справа $\cos\frac{8\pi}{3} = \cos\frac{2\pi}{3} = -0{,}5$ ✅. При $x = \frac{\pi}{5}$: слева $\cos\pi\cdot\cos\frac{3\pi}{5} = (-1)\cdot(-0{,}309) = 0{,}309$; справа $\cos\frac{8\pi}{5} = 0{,}309$ ✅

Ответ: $x = \dfrac{\pi k}{3}$ или $x = \dfrac{\pi n}{5}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$

Почему это важно

Раскладывать произведение в сумму — стандартный первый ход при решении тригонометрических уравнений, где по обе стороны стоят произведения. Причина простая: сумма гармоник «сокращается» гораздо охотнее, чем произведение. В примере 8 член $\cos 8x$ просто ушёл, и от уравнения четвёртой степени по сути осталось элементарное $\cos 2x = \cos 8x$. Мы ещё увидим этот ход в заданиях 18, 23 и 29.

Связь с уроком 100: одно зеркало с двух сторон

В прошлом уроке ты выучил формулы суммы в произведение:

А сегодня — формулы произведения в сумму. Это не два набора, а один, записанный в двух системах обозначений. Переход между ними — простая замена переменных:

Подставь первую пару в формулу суммы синусов — получишь $\sin x + \sin y = 2\sin\alpha\cos\beta$, то есть ровно сегодняшнюю формулу, только записанную задом наперёд. Подставь вторую — вернёшься обратно. Одно и то же тождество, две точки зрения.

Пример 9 (средний): сверни сумму $\sin 7x + \sin 3x$ в произведение, а потом разверни обратно

Решение:

Шаг 1. Сворачиваем по формуле урока 100. Полусумма аргументов: $\frac{7x+3x}{2} = 5x$. Полуразность: $\frac{7x-3x}{2} = 2x$.

Шаг 2. Теперь разворачиваем результат обратно формулой этого урока. $\alpha = 5x$, $\beta = 2x$:

Круг замкнулся — мы вернулись ровно туда, откуда начали. ✅

Ответ: $\sin 7x + \sin 3x = 2\sin 5x\cos 2x$; обратное преобразование возвращает исходное выражение.

Когда какое направление выбирать? Практическое правило такое:

• Сумма → произведение (урок 100) нужна, когда уравнение приравнено к нулю: произведение равно нулю, когда один из множителей ноль — уравнение распадается на простые
• Произведение → сумма (этот урок) нужна, когда надо что-то сократить, оценить, усреднить или посмотреть на спектр: сумма гармоник — это готовый список частот
• В одном решении часто используют оба направления по очереди: сначала разложить произведения в суммы, сократить общие члены, а потом свернуть остаток обратно в произведение и приравнять множители к нулю

Пример этого «туда-обратно» ты увидишь в задании 18: уравнение $\sin 5x\cos 3x = \sin 4x\cos 2x$ мы сначала раскладываем в суммы, сокращаем одинаковое слагаемое $\sin 2x$, а потом сворачиваем остаток $\sin 8x - \sin 6x$ обратно в произведение $2\cos 7x\sin x$ — и уравнение распадается.

Зачем это в обработке сигналов и ML

Боковые частоты: что физически делает умножение

Возьмём амплитудную модуляцию — самый наглядный случай. Несущая частота $f$, модулирующая (полезная) $F$, глубина модуляции $m$:

Второе слагаемое — произведение косинусов. Разложим его:

Три постоянные частоты вместо «одной с плавающей амплитудой». Это не переформулировка — это физика: если пропустить сигнал через узкий фильтр на частоте $f+F$, оттуда потечёт реальная энергия. Отсюда и ширина канала AM-радио: чтобы передать звук до 5 кГц, станции нужна полоса 10 кГц — по 5 с каждой стороны от несущей.

Пример 10 (прикладной): станция вещает на $f = 100$ кГц, передаёт тон $F = 1$ кГц с глубиной $m = 0{,}4$. Какие частоты и с какими амплитудами будут в эфире?

Решение:

Шаг 1. Записываем сигнал: $s(t) = (1 + 0{,}4\cos 2\pi\cdot 1000\, t)\cos 2\pi\cdot 100000\, t$.

Шаг 2. Раскрываем скобку и применяем формулу к произведению косинусов с $\alpha = 2\pi\cdot 10^5 t$, $\beta = 2\pi\cdot 10^3 t$:

Шаг 3. Переводим в герцы: $\alpha - \beta$ соответствует $100000 - 1000 = 99$ кГц, $\alpha+\beta$ — $101$ кГц.

Ответ: три составляющие — 100 кГц с амплитудой 1, 99 кГц с амплитудой 0,2 и 101 кГц с амплитудой 0,2. Занятая полоса: 2 кГц.

📌 Полезное следствие: вся информация сидит в боковых, а несущая её не несёт вовсе — но забирает большую часть мощности. Отсюда родились схемы с подавленной несущей (DSB-SC, SSB), где передатчик экономит энергию, просто не излучая бесполезную центральную частоту.

Почему кросс-корреляция «выцепляет» частоту

Вот здесь начинается самое интересное для тех, кто идёт в ML и обработку данных. Спектральный анализ — Фурье, спектрограммы, mel-фильтры на входе моделей распознавания речи — устроен так: мы умножаем сигнал на пробную гармонику и усредняем результат. Почему это работает, объясняется ровно нашей формулой.

Возьмём две гармоники с частотами $\omega_1$ и $\omega_2$ и перемножим:

Теперь усредним по длинному интервалу. Среднее значение косинуса с ненулевой частотой за целое число периодов равно нулю — положительные полуволны в точности компенсируют отрицательные. Значит:

• Если $\omega_1 \neq \omega_2$, обе частоты справа ненулевые, и среднее произведения равно нулю. Гармоники разных частот ортогональны
• Если $\omega_1 = \omega_2$, первое слагаемое превращается в $\frac12\cos 0 = \frac12$ — константу, которая при усреднении не исчезает. Среднее равно $\frac12$

Вот и весь механизм. Умножая сигнал на пробную гармонику и усредняя, ты получаешь ноль от всех «чужих» частот и конкретное число от «своей». Это одновременно:

• Преобразование Фурье — коэффициент при каждой гармонике измеряется ровно так
• Кросс-корреляция сигнала с эталоном — согласованный фильтр (matched filter), которым ловят слабый сигнал в шуме
• Свёртка с гармоническим ядром — синусоида проходит через любую линейную систему, оставаясь синусоидой той же частоты, меняются только амплитуда и фаза
• Ортогональный базис — то, что позволяет DCT в JPEG и MP3 сжимать данные, отбрасывая «ненужные» коэффициенты независимо друг от друга

Пример 11 (прикладной): в сигнале $s(t) = 3\cos\omega t + 5\cos 2\omega t$ надо измерить амплитуду только первой гармоники. Умножаем $s(t)$ на $2\cos\omega t$ и усредняем. Что получится?

Решение:

Шаг 1. Раскроем произведение:

Шаг 2. Первое слагаемое — одинаковые частоты, $\alpha = \beta = \omega t$:

Шаг 3. Второе — разные частоты, $\alpha = 2\omega t$, $\beta = \omega t$:

Шаг 4. Итого:

Шаг 5. Усредняем по целому числу периодов. Все косинусы с ненулевыми частотами дают ноль, остаётся только постоянное слагаемое $3$.

Ответ: среднее равно $3$ — ровно амплитуда первой гармоники. Вторая гармоника с амплитудой 5 не оставила следа, потому что ортогональна пробной.

Почему это важно

Когда ты в следующий раз запустишь np.fft.rfft(signal) или скормишь мел-спектрограмму свёрточной сети, под капотом будет работать эта самая формула, применённая миллионы раз. Она же объясняет неприятные эффекты, с которыми сталкиваются на практике: интермодуляционные искажения (любая нелинейность в тракте перемножает гармоники и рождает частоты $f_1\pm f_2$, которых не было на входе), алиасинг (частота выше половины частоты дискретизации «складывается» с частотой семплирования и оседает в спектре не там, где надо), спектральное растекание (если анализируемый кусок содержит нецелое число периодов, ортогональность нарушается и энергия «размазывается» по соседним корзинам). Все три — прямые следствия того, что произведение гармоник живёт на сумме и разности частот.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Преобразуй в сумму: $\sin 5x\cos 3x$.

Задание 2: Преобразуй в сумму: $\cos 7x\cos 2x$.

Задание 3: Преобразуй в сумму: $\sin 4x\sin x$.

Задание 4: Преобразуй в сумму: $\cos 5x\sin 2x$.

Задание 5: Преобразуй в сумму: $2\sin 3x\cos x$.

Задание 6: Преобразуй в сумму: $\sin 2x\cos 2x$.

Задание 7: Вычисли точное значение: $\sin 75°\cos 15°$.

Задание 8: Вычисли точное значение: $\cos 105°\cos 15°$.

Задание 9: 🎹 Кольцевой модулятор синтезатора перемножает два чистых тона: $\sin(2\pi\cdot 200\, t)$ и $\sin(2\pi\cdot 30\, t)$. Какие частоты будут слышны на выходе и с какими амплитудами?

Задание 10: 📻 В супергетеродинном приёмнике принятый сигнал на частоте 100,1 МГц перемножается с сигналом гетеродина 89,4 МГц. Какие частоты возникнут и какая из них станет промежуточной частотой (ПЧ), если фильтр приёмника настроен на 10,7 МГц?

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Упрости выражение $\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Задание 12: Упрости выражение $\sin\left(\dfrac{\pi}{3} + x\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3} - x\right)$.

Задание 13: Упрости выражение $\sin 5x\cos 3x - \cos 5x\sin 3x$, применив формулы преобразования произведения в сумму.

Задание 14: 📊 Во временном ряде месячных продаж инженер создал два циклических признака: $x_1 = \cos\dfrac{2\pi t}{12}$ (годовая сезонность) и $x_2 = \cos\dfrac{2\pi t}{6}$ (полугодовая). Он строит их произведение как новый признак (feature crossing). Какие периоды колебаний появятся в новом признаке?

Задание 15: Вычисли значение произведения $\cos 20°\cos 40°\cos 80°$.

Задание 16: Вычисли значение произведения $\sin 20°\sin 40°\sin 80°$.

Задание 17: Докажи тождество $\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$.

Задание 18: Реши уравнение $\sin 5x\cos 3x = \sin 4x\cos 2x$.

Задание 19: 📡 AM-передатчик формирует сигнал $s(t) = \left(1 + 0{,}5\cos(2\pi\cdot 50\, t)\right)\cos(2\pi\cdot 1000\, t)$. Выпиши спектр: все частоты и амплитуды. Какую полосу занимает сигнал?

Задание 20: 🔬 Покажи, что среднее значение произведения $\cos(\omega_1 t)\cos(\omega_2 t)$ по большому целому числу общих периодов равно нулю при $\omega_1 \neq \omega_2$ и равно $\frac12$ при $\omega_1 = \omega_2 \neq 0$. Считай известным, что среднее косинуса с ненулевой частотой за целое число его периодов равно нулю.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Разложи в сумму произведение $\sin x\sin 2x\sin 3x$.

Задание 22: Вычисли $\cos\dfrac{\pi}{7}\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{3\pi}{7}$.

Задание 23: Реши уравнение $\cos x\cos 3x = \cos 5x\cos 7x$.

Задание 24: Реши уравнение $\sin x\sin 3x = \dfrac{1}{2}$.

Задание 25: Докажи тождество $\cos\alpha\cos(60° - \alpha)\cos(60° + \alpha) = \dfrac{1}{4}\cos 3\alpha$.

Задание 26: 📶 Квадратурный детектор принимает сигнал $s(t) = 4\cos(\omega t + 60°)$, но амплитуда и фаза ему неизвестны. Он вычисляет два числа: $I$ — среднее значение $2s(t)\cos\omega t$, и $Q$ — среднее значение $-2s(t)\sin\omega t$. Найди $I$ и $Q$ и покажи, как из них восстанавливаются амплитуда и фаза.

Задание 27: Разложи $\cos^3 x$ в сумму косинусов кратных углов.

Задание 28: ⚡ На вход нелинейного элемента с характеристикой $y = x^2$ подан сигнал из двух тонов: $x(t) = \cos\omega_1 t + \cos\omega_2 t$. Выпиши все частоты, которые появятся на выходе, и их амплитуды.

Задание 29: Реши уравнение $\sin x\sin 7x = \sin 3x\sin 5x$.

Задание 30: 🏛️ Перемножь методом просташаферез числа $a = 0{,}6428$ и $b = 0{,}8660$, не выполняя ни одного умножения многозначных чисел. Дано: $\cos 50° = 0{,}6428$, $\cos 30° = 0{,}8660$, $\cos 20° = 0{,}9397$, $\cos 80° = 0{,}1736$.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: забыть множитель $\frac{1}{2}$

Неправильно: писать $\sin 5x\cos 3x = \sin 8x + \sin 2x$.

Правильно: $\sin 5x\cos 3x = \dfrac{1}{2}\left(\sin 8x + \sin 2x\right)$. Множитель $\frac12$ есть во всех четырёх формулах без исключения.

💡 Почему важно: проверить это можно за секунду. Левая часть по модулю не больше 1 (произведение двух величин, каждая из которых $\leq 1$). Правая часть без $\frac12$ может достигать 2 — противоречие. Всегда прикидывай «влезает ли ответ по модулю».

❌ Ошибка 2: перепутать знак в формуле для $\sin\alpha\sin\beta$

Неправильно: $\sin\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}\left[\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\right]$.

Правильно: $\sin\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\right]$ — разность аргументов идёт первой, минус стоит перед косинусом суммы.

💡 Почему важно: это самая частая ошибка темы, и она даёт ответ с противоположным знаком, что портит всё решение. Проверка за пять секунд: положи $\alpha = \beta$. Тогда слева $\sin^2\alpha \geq 0$, а справа должно получиться $\frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$, что тоже неотрицательно. Если у тебя вышло $\frac{\cos 2\alpha - 1}{2} \leq 0$ — знак перепутан.

❌ Ошибка 3: переставлять аргументы в смешанном произведении

Неправильно: считать, что $\sin\alpha\cos\beta$ и $\cos\alpha\sin\beta$ раскладываются одинаково.

Правильно: это две разные формулы, отличающиеся знаком второго слагаемого:

💡 Почему важно: в отличие от $\cos\alpha\cos\beta$ и $\sin\alpha\sin\beta$, где перестановка $\alpha \leftrightarrow \beta$ ничего не меняет (косинус чётный), в смешанном случае порядок критичен: синус нечётный, и знак разностного слагаемого переворачивается. Правило простое — $\alpha$ всегда обозначает аргумент того множителя, под которым стоит синус.

❌ Ошибка 4: считать, что при перемножении сигналов исходные частоты сохраняются

Неправильно: «умножил тон 200 Гц на тон 30 Гц — значит, услышу 200 и 30».

Правильно: при чистом перемножении исходных частот в спектре нет вообще — остаются только $200 \pm 30$, то есть 170 и 230 Гц (задание 9). Исходная несущая появляется только тогда, когда модулирующий сигнал имеет постоянную составляющую: $(1 + m\cos\Omega t)\cos\omega t$ даёт три частоты, а $m\cos\Omega t\cdot\cos\omega t$ — только две.

💡 Почему важно: это и есть разница между обычной AM (с несущей) и балансной модуляцией DSB-SC (с подавленной несущей). Перепутав их, легко неверно спроектировать демодулятор — сигнал без несущей нельзя детектировать простым диодным детектором.

❌ Ошибка 5: терять или размножать серии корней при решении уравнений

Неправильно: получив $x = \frac{\pi k}{8}$ и $x = \frac{\pi n}{4}$, выписывать обе серии как независимые; или, наоборот, увидев две серии, оставлять только «более красивую».

Правильно: всегда проверяй вложенность. $\frac{\pi n}{4} = \frac{2\pi n}{8}$ — это подмножество серии $\frac{\pi k}{8}$ (задание 23), и вторую серию писать не нужно. А вот $x = \pi k$ и $x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$ (задание 18) не пересекаются: у первой числитель в записи со знаменателем 14 чётный, у второй нечётный — обе серии обязательны.

💡 Почему важно: лишняя серия — это не «запас прочности», а формально неверный ответ, и на экзамене за неё снимают баллы так же, как за потерянные корни. Простейшая механика проверки: приведи обе серии к общему знаменателю и сравни числители.

❌ Ошибка 6: применять формулу к «произведению аргументов» вместо произведения функций

Неправильно: думать, что $\sin(\alpha\beta)$ как-то раскладывается этими формулами, или что $\sin\alpha\sin\beta = \sin(\alpha\beta)$.

Правильно: формулы работают только для произведения значений функций $\sin\alpha\cdot\sin\beta$. Выражение $\sin(\alpha\beta)$ — синус произведения углов — вообще не раскладывается элементарно, и таких формул не существует.

💡 Почему важно: это ошибка «на автомате», которая всплывает при работе с длинными выражениями, где скобки читаются невнимательно. Тригонометрические функции нелинейны: $\sin$ не «проносится» ни через сумму, ни через произведение аргументов.

Главное запомнить

✅ Четыре формулы преобразования произведения в сумму (формулы Вернера):

✅ Все четыре получаются сложением и вычитанием формул суммы и разности из урока 100 — учить их наизусть не обязательно, достаточно уметь вывести за две строки.

✅ Правило функции: разные функции слева → синусы справа; одинаковые слева → косинусы справа.

✅ Правило порядка: если справа синусы, первым идёт сумма; если косинусы — первой идёт разность. «Синус любит сумму, косинус любит разность».

✅ Единственный минус в паре одноимённых формул — перед $\cos(\alpha+\beta)$ у произведения синусов. Мнемоника: «синусы минусуют сумму».

✅ Множитель $\dfrac{1}{2}$ обязателен во всех четырёх формулах. Без него левая и правая части расходятся вдвое.

✅ Этот урок — обратная сторона урока 100: замена $x = \alpha+\beta$, $y = \alpha-\beta$ переводит формулы «сумма → произведение» в формулы «произведение → сумма» и наоборот. Один набор тождеств, два направления чтения.

✅ При $\alpha = \beta$ формулы вырождаются в формулы понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$, $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$, $\sin x\cos x = \frac12\sin 2x$. Это одновременно и мнемоника, и способ проверить знак.

✅ Физический смысл: произведение двух гармоник живёт на сумме и разности их частот. Отсюда боковые полосы в AM, перенос частоты в супергетеродине, кольцевая модуляция и интермодуляционные искажения.

✅ Ортогональность гармоник — прямое следствие этих формул: среднее произведения косинусов разных частот равно нулю, одинаковых — $\frac12$. На этом стоят преобразование Фурье, кросс-корреляция, согласованные фильтры и ортогональные базисы вроде DCT.

✅ Стандартный ход в уравнениях: разложить произведения в суммы → сократить общие слагаемые → свернуть остаток обратно в произведение → приравнять множители к нулю.

Связь с другими темами курса

Что было раньше: формулы сложения (урок 97) дали нам сырьё, а урок 100 — формулы суммы и разности синусов и косинусов — показал первое направление преобразования. Сегодняшний урок — второе направление того же самого преобразования. Формулы двойного угла и понижения степени, которые ты уже знаешь, оказались частными случаями при $\alpha = \beta$. Основное тригонометрическое тождество работало фоном во всех проверках.

Что дальше: следующий урок — обратные тригонометрические функции (arcsin, arccos, arctg): они понадобятся, чтобы аккуратно записывать решения уравнений вида $\cos 2x = \frac13$, где угол уже не табличный. Затем уроки 103–107 про тригонометрические уравнения и неравенства — там разложение произведения в сумму станет одним из основных инструментов, ты уже потренировался в заданиях 18, 23, 24 и 29. В теме показательной функции и числа $e$ (уроки 111–112) появится идея, объясняющая все эти формулы одной строкой: комплексная экспонента $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$, где произведение гармоник — просто перемножение экспонент со сложением показателей. А в разделе про интегралы (уроки 145+) без формул Вернера не обойтись вовсе: интеграл от произведения синусов берётся только после разложения в сумму.

Где это применяется в жизни и в ML/данных:

🎛️ В обработке сигналов: амплитудная модуляция и боковые полосы, супергетеродинный приёмник, квадратурные I/Q-детекторы Wi-Fi и LTE, кольцевая модуляция в синтезаторах, биения при настройке инструмента.

📊 В машинном обучении: спектрограммы и mel-фильтры на входе моделей распознавания речи, свёртка сигнала с гармоническим ядром, кросс-корреляция как согласованный фильтр для поиска паттернов во временных рядах, синус-косинусные позиционные кодировки в трансформерах, циклические признаки времени (час суток, день года) и их перемножения при feature engineering.

🗜️ В сжатии данных: DCT в JPEG и MP3 работает именно потому, что гармоники ортогональны — коэффициенты можно квантовать и отбрасывать независимо друг от друга.

🔭 В астрономии и физике: сферическая тригонометрия и исторический просташаферез, интерференция волн, эффект биений, спектроскопия.

⚙️ В инженерии: расчёт интермодуляционных искажений в усилителях, оценка гармонических искажений (THD), анализ вибраций в механике, где произведение двух колебаний рождает новые резонансы.

Интересные факты

💡 Просташаферез породил логарифмы. Джон Непер узнал о методе Тихо Браге через врача Джона Крейга, посетившего Ураниборг. Идея «превратить умножение в сложение» настолько его захватила, что он потратил двадцать лет на поиск более универсального способа и в 1614 году опубликовал таблицы логарифмов. Логарифмы немедленно вытеснили просташаферез — а через триста лет и сами уступили место электронным калькуляторам. Формулы Вернера пережили обоих конкурентов и живут в каждом радиоприёмнике.

💡 Слово «просташаферез» буквально означает «прибавь-отними». Оно собрано из греческих πρόσθεσις (прибавление) и ἀφαίρεσις (отнимание) — довольно прямолинейное название для метода, который сводит умножение к этим двум операциям. В астрономии тот же термин раньше означал совсем другое: поправку к среднему положению светила.

💡 Далеки из «Доктора Кто» говорят через формулу произведения синусов. Знаменитый металлический голос инопланетян, придуманный в 1963 году звукоинженером Брайаном Ходжсоном, получен кольцевой модуляцией — голос актёра перемножался с синусоидой около 30 Гц. Каждая гармоника голоса расщеплялась на пару $f\pm 30$ Гц, нарушая натуральный гармонический ряд, — оттого речь и звучит нечеловечески. Ровно то, что мы посчитали в задании 9.

💡 Ортогональность гармоник — причина, по которой JPEG вообще работает. Разложение картинки по косинусным базисным функциям (DCT) даёт коэффициенты, которые не «мешают» друг другу именно потому, что среднее произведения разных гармоник равно нулю. Можно смело обнулить половину коэффициентов, и ошибка окажется ровно суммой отброшенных вкладов — без взаимных перекрёстных членов. Без ортогональности сжатие превратилось бы в неразрешимую задачу оптимизации.

💡 Тихо Браге ошибался в расчётах реже, чем позволяли его инструменты. Именно точность его каталога (около одной угловой минуты — предел невооружённого глаза) позволила Кеплеру обнаружить, что орбита Марса не круг, а эллипс. Если бы вычисления делались вручную умножением в столбик, накопленные арифметические ошибки вполне могли бы скрыть отклонение в 8 угловых минут, которое и навело Кеплера на его законы.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Не учи формулы — учи вывод

Запиши в столбик $\sin(\alpha\pm\beta)$, сложи и вычти. Потом то же самое с $\cos(\alpha\pm\beta)$. Четыре формулы получаются за двадцать секунд, и ты никогда не перепутаешь знак, потому что видишь, откуда он берётся. На экзамене это надёжнее любой мнемоники.

2. Проверка знака подстановкой $\alpha = \beta$

Любую формулу проверяй, положив $\alpha = \beta$. Должны получиться формулы понижения степени: $\sin^2$ и $\cos^2$ — обе неотрицательны. Если у тебя вышло выражение, которое может быть отрицательным, — знак перепутан. Это самая быстрая самопроверка в теме.

3. Проверка на «влезает ли по модулю»

Слева произведение двух функций, каждая по модулю $\leq 1$, значит и результат по модулю $\leq 1$. Правая часть без множителя $\frac12$ могла бы достигать 2. Один взгляд — и забытая одна вторая обнаружена.

4. В уравнениях: раскладывай обе стороны и ищи общие слагаемые

Если по обе стороны уравнения стоят произведения гармоник, почти всегда после разложения найдётся одинаковое слагаемое, которое сократится. В заданиях 18, 23 и 29 сокращались $\sin 2x$, $\cos 2x$ и $\cos 8x$ соответственно — и уравнение сразу становилось элементарным. Это не совпадение: когда суммы частот в левой и правой части частично совпадают, общие члены неизбежны.

5. Для трёх и более множителей — раскладывай парами, начиная с «симметричной» пары

При $\cos\alpha\cos(60°-\alpha)\cos(60°+\alpha)$ выгодно начать не с первых двух множителей, а с симметричной пары $(60°-\alpha)$ и $(60°+\alpha)$: их сумма даёт константу $120°$, и одна переменная сразу исчезает (задание 25). Общее правило: сначала та пара, у которой сумма или разность аргументов проще.

6. Помни про трюк с удвоением угла для произведений вида $\cos\theta\cos 2\theta\cos 4\theta$

Если углы идут с удвоением, умножь и раздели на $2^n\sin\theta$ и последовательно сворачивай по $2\sin u\cos u = \sin 2u$. За $n$ шагов всё произведение схлопнется в $\dfrac{\sin 2^n\theta}{2^n\sin\theta}$ (задание 22). Это стандартный приём для «красивых» произведений косинусов.

7. В коде считай через частоты, а не через тригонометрию

Когда моделируешь модуляцию в Python, не проверяй результат «на глаз» по графику во временной области — там всё выглядит одинаково. Прогони np.fft.rfft и посмотри на пики: они должны стоять ровно на $f\pm F$. Если пик оказался не там, где предсказывает формула, — почти наверняка у тебя алиасинг (частота выше половины частоты дискретизации) или недостаточное окно анализа.

Четыре формулы, которые ты сегодня разобрал, выглядят как ещё одна страница школьного справочника — а на деле это одна из самых работающих строк во всей прикладной математике. Пятьсот лет назад они экономили астрономам годы жизни за вычислительным столом. Сто лет назад они объяснили, почему человеческий голос, наложенный на радиоволну, растекается в эфире полосой, а не точкой. Сегодня они лежат под каждой спектрограммой, под каждым слоем свёртки с гармоническим ядром, под ортогональностью базиса, который делает возможным сжатие всего, что ты слушаешь и смотришь.

И самое приятное: учить тут по сути нечего. Возьми формулы сложения, сложи их, вычти — и все четыре у тебя в руках. Дальше остаётся только тренировать глаз: видеть в произведении гармоник список частот, а в списке частот — произведение. Впереди обратные тригонометрические функции, а за ними — уравнения, где сегодняшний приём станет твоим рабочим инструментом. Погнали дальше 🚀