Линейная функция 📐

Открой любой ноутбук с обучением модели линейной регрессии — простейшей модели во всём машинном обучении. Внутри почти наверняка будет одна строчка: y = w * x + b. Не пугайся: ты уже видел эту формулу раньше, просто под другими буквами — в школе её пишут как $y = kx + b$. Это одна и та же вещь. Модель, которая предсказывает цену квартиры по площади, зарплату по опыту работы или температуру по времени суток, в самом простом случае — это прямая линия на графике. И именно эту линию мы и разберём в этом уроке — от нуля до полного понимания.

Давай разберёмся, зачем вообще нужна прямая. Представь, что перед тобой рассыпаны точки данных: возраст человека и его рост, площадь квартиры и её цена, число часов подготовки и балл на экзамене. Глазами видно: точки не хаотичны, они выстраиваются вдоль какой-то линии. Компьютер, чтобы "провести линию тренда" через облако точек, ищет именно такую прямую — линейную функцию, которая наилучшим образом описывает зависимость одной величины от другой. Это и есть линейная регрессия, и в её сердце лежит та самая функция $y = kx + b$, которую мы будем изучать.

В этом уроке ты узнаешь: что означают коэффициенты $k$ и $b$ и почему их называют "весом" и "смещением" в мире ML; как быстро строить график прямой по двум точкам, даже не открывая калькулятор; что происходит, когда две прямые встречаются на графике (или наоборот — никогда не пересекаются); и как восстановить уравнение прямой, если известны всего две точки, через которые она проходит. Это не абстрактная школьная тема — это первый кирпичик в фундаменте, на котором строится вся аналитика данных.

К концу урока формула $y = kx + b$ перестанет быть набором букв и станет для тебя интуитивно понятным инструментом — таким же естественным, как чтение показаний спидометра.

История: откуда это взялось?

Идея зависимости "чем больше одно, тем больше (или меньше) другое, причём равномерно" — одна из самых древних в математике. Уже в Древнем Египте землемеры использовали пропорции: если верёвка с 12 узлами натянута определённым образом, получается прямой угол, а изменение длины одной стороны треугольника равномерно меняет длину другой. Но именно координатное представление прямой — с осями X и Y, с числами $k$ и $b$ — появилось намного позже.

Прорыв случился в XVII веке благодаря французскому математику и философу Рене Декарту. В 1637 году он опубликовал труд, в котором предложил связать алгебру и геометрию: любую точку на плоскости можно описать парой чисел $(x, y)$, а любое уравнение — например, $y = kx + b$ — превратить в линию на этой плоскости. До Декарта геометрия и алгебра были почти не связаны: фигуры чертили циркулем, а уравнения решали отдельно. После Декарта стало можно "рисовать" уравнения и "вычислять" фигуры — это событие называют рождением аналитической геометрии. Кстати, именно в честь Декарта систему координат называют "декартовой".

Сегодня та же самая идея — прямая линия как модель зависимости — работает в совершенно другом контексте. Когда специалист по данным строит модель линейной регрессии, он делает буквально то же самое, что делали землемеры и Декарт: ищет прямую, которая наилучшим образом описывает связь между переменными. Только вместо линейки и циркуля — код на Python, а вместо ручного подбора коэффициентов — алгоритм градиентного спуска, который находит оптимальные $k$ и $b$ автоматически. Идея не изменилась за 400 лет, изменились только инструменты.

Что такое линейная функция

Интуиция: равномерное движение

Давай разберёмся с самого начала. Представь, что ты едешь на автомобиле по прямой дороге с постоянной скоростью 90 км/ч, и в момент старта ($t = 0$) ты уже находился на отметке 10 км от начала трассы (например, выехал не с нулевого километра, а откуда-то дальше). Тогда твоё положение через $t$ часов будет:

Здесь скрыты все элементы линейной функции. Число 90 — это то, насколько быстро меняется твоё положение за единицу времени (скорость). Число 10 — это то, где ты был в самом начале, до того как вообще тронулся с места. Вот и вся суть: линейная функция описывает равномерное изменение одной величины в зависимости от другой, где есть "стартовая точка" и "скорость изменения".

Строгое определение

Определение: Линейной функцией называется функция вида

$$y = kx + b,$$

где $k$ и $b$ — заданные числа (коэффициенты), а $x$ — независимая переменная (аргумент). Графиком линейной функции всегда является прямая линия.

Здесь:

• $k$ называют угловым коэффициентом (или коэффициентом наклона) — он показывает, насколько сильно и в какую сторону меняется $y$ при увеличении $x$ на единицу;
• $b$ называют свободным членом — это значение функции при $x = 0$, то есть точка, где прямая пересекает ось Y.

Если $b = 0$, функция превращается в $y = kx$ — это частный случай, который называется прямой пропорциональностью: график такой функции всегда проходит через начало координат $(0; 0)$.

Язык машинного обучения: вес и смещение

Вот момент, ради которого этот урок особенно важен для тебя как для будущего специалиста по данным. В машинном обучении та же самая формула записывается почти буква в букву:

Только $k$ здесь называют весом (weight, обозначается $w$), а $b$ — смещением (bias). Смысл абсолютно тот же: вес показывает, насколько сильно входной признак $x$ влияет на предсказание $y$, а смещение — это базовое значение предсказания, когда признак равен нулю. Простейший искусственный нейрон в нейронной сети без функции активации — это именно линейная функция: он берёт вход, умножает на вес, прибавляет смещение. Когда нейронов и признаков становится много, формула масштабируется до $y = w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_n x_n + b$ — но идея не меняется ни на йоту. Понимание одной прямой на плоскости — это буквально понимание того, как работает нейрон.

Почему это важно

Линейная функция — это простейшая, но при этом самая часто используемая модель зависимости в реальном мире: тарифы, зарплаты, физические законы (скорость, температура), финансовые прогнозы, и, конечно, машинное обучение. Освоив её досконально, ты получаешь ключ к пониманию куда более сложных моделей — потому что почти все они в каком-то смысле "прямая, только более гибкая".

Смысл углового коэффициента k

Интуиция: наклон как скорость

Представь, что ты идёшь по улице в гору. Угловой коэффициент — это буквально крутизна подъёма: насколько метров ты поднимаешься по высоте на каждый метр пройденного пути вперёд. Если $k = 2$, значит, на каждый шаг вправо (то есть на 1 единицу по оси X) график поднимается на 2 единицы вверх. Если $k = -0.5$, значит, на каждый шаг вправо график опускается на полшага вниз.

Формально угловой коэффициент — это отношение изменения $y$ к изменению $x$:

Это тот же самый смысл, что и "скорость" в физике (изменение пути за единицу времени) или "темп роста" в экономике.

Определение: Угловым коэффициентом $k$ линейной функции $y = kx + b$ называется число, равное тангенсу угла $\alpha$ наклона прямой к положительному направлению оси X:

$$k = \operatorname{tg}\alpha$$

Знак $k$ определяет направление прямой: при $k > 0$ функция возрастает (прямая идёт снизу вверх слева направо), при $k < 0$ функция убывает (прямая идёт сверху вниз), при $k = 0$ функция постоянна (горизонтальная прямая). Чем больше $|k|$ по модулю, тем круче прямая.

Пример 1 (простой): считаем k по двум точкам

Прямая проходит через точки $A(1; 3)$ и $B(4; 9)$. Найди угловой коэффициент.

Решение.

Шаг 1. Применяем формулу:

Шаг 2. Проверим смысл: при переходе от $x = 1$ к $x = 4$ (сдвиг на 3 единицы) $y$ выросло с 3 до 9 (на 6 единиц). На единицу сдвига по X приходится $6 / 3 = 2$ единицы роста по Y. Совпадает.

Ответ: $k = 2$.

Пример 2 (средний): отрицательный наклон в реальной задаче

Аккумулятор ноутбука разряжается равномерно. В момент включения ($t = 0$ часов) заряд был 100%. Через 4 часа работы заряд составил 20%. Найди скорость разрядки (угловой коэффициент функции заряда от времени) и запиши формулу.

Решение.

Шаг 1. У нас есть две точки: $(0; 100)$ и $(4; 20)$.

Шаг 2. Находим угловой коэффициент:

Шаг 3. Так как точка $(0; 100)$ — это значение при $x = 0$, свободный член сразу известен: $b = 100$.

Шаг 4. Записываем функцию:

Проверка: $C(4) = -20 \cdot 4 + 100 = -80 + 100 = 20$ ✅

Ответ: $k = -20$ (заряд падает на 20% в час), $C(t) = -20t + 100$.

Обрати внимание: отрицательный $k$ здесь абсолютно нормален и логичен — заряд не растёт, а падает.

Пример 3 (сложный): k из угла наклона

Прямая образует с положительным направлением оси X угол $60°$ и идёт "вниз" (то есть функция убывающая). Найди угловой коэффициент.

Решение.

Шаг 1. По определению $k = \operatorname{tg}\alpha$, где $\alpha$ — угол наклона к оси X, отсчитываемый против часовой стрелки от положительного направления оси.

Шаг 2. Если прямая убывает, угол наклона на самом деле тупой (больше $90°$), а условие "$60°$ и убывает" нужно понимать как угол между прямой и осью X, равный $60°$, но с наклоном "вниз". В таких задачах проще считать через модуль угла и знак направления:

Шаг 3. Поскольку функция убывающая, перед коэффициентом ставим минус:

Ответ: $k = -\sqrt{3} \approx -1.73$.

Важно для практики: в задачах ЕГЭ и в жизни угол наклона прямой почти всегда даётся именно как острый угол к оси X, а направление (растёт/падает) указывается отдельно словами или знаком на графике — так проще избежать путаницы с тупыми углами.

Почему это важно

В аналитике данных угловой коэффициент — это буквально ответ на вопрос "насколько сильно X влияет на Y". Если модель линейной регрессии, предсказывающая зарплату по годам опыта, выдаёт $k = 50\,000$, это означает: каждый дополнительный год опыта в среднем добавляет 50 000 рублей к зарплате. Интерпретация веса $k$ — это то, ради чего в первую очередь и строят линейные модели: не только предсказание, но и понимание силы влияния признака.

Смысл свободного члена b

Интуиция: точка старта

Если $k$ — это "скорость изменения", то $b$ — это "точка, с которой всё начинается". Представь счётчик такси: пока автомобиль не проехал ни метра ($x = 0$), на табло уже высвечивается какая-то сумма — это плата за посадку. Именно она и есть $b$.

Определение: Свободным членом $b$ линейной функции $y = kx + b$ называется значение функции при $x = 0$:

$$b = f(0)$$

Геометрически $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью Y, то есть график всегда проходит через точку $(0; b)$.

Пример 1 (простой): находим b по формуле

Дана функция $y = 4x - 7$. Чему равен свободный член и в какой точке график пересекает ось Y?

Решение. Свободный член — это число без $x$, то есть $b = -7$. Значит, при $x = 0$: $y = 4 \cdot 0 - 7 = -7$. График пересекает ось Y в точке $(0; -7)$.

Ответ: $b = -7$, точка пересечения с Y — $(0; -7)$.

Пример 2 (средний): b как "стартовый капитал"

Начинающий фрилансер стартует без клиентов, но у него уже отложено 15 000 рублей сбережений. Каждый месяц он зарабатывает и откладывает ещё по 8 000 рублей. Запиши функцию его сбережений $M(n)$ от числа месяцев $n$ и определи, чему равен $b$ и что он означает.

Решение.

Шаг 1. Скорость роста сбережений — это угловой коэффициент: $k = 8\,000$.

Шаг 2. Стартовый капитал (при $n = 0$, то есть до первого месяца работы) — это $b = 15\,000$.

Шаг 3. Функция: $M(n) = 8\,000n + 15\,000$.

Ответ: $b = 15\,000$ — это сумма, которая была у фрилансера ещё до начала отсчёта месяцев, "стартовый капитал".

Пример 3 (сложный): восстановление b по графику и одной известной точке

Известно, что прямая имеет угловой коэффициент $k = 3$ и проходит через точку $(2; 11)$. Найди $b$ и запиши уравнение прямой.

Решение.

Шаг 1. Подставим известную точку в общий вид $y = kx + b$:

Шаг 2. Вычислим:

Шаг 3. Уравнение прямой:

Проверка: при $x = 2$: $y = 3 \cdot 2 + 5 = 6 + 5 = 11$ ✅

Ответ: $b = 5$, $y = 3x + 5$.

Почему это важно

В линейной регрессии смещение $b$ отвечает за "базовый уровень" предсказания — то, что модель предскажет, даже если все признаки равны нулю. Например, в модели, предсказывающей стоимость поездки на такси по расстоянию, $b$ — это минимальная плата за поездку, даже если расстояние равно нулю (посадка в машину). Модель без свободного члена (то есть вынужденная всегда проходить через ноль) часто работает хуже, потому что реальные данные редко "стартуют из нуля".

Построение графика линейной функции

Интуиция: через две точки — и всё

Через любые две различные точки на плоскости можно провести ровно одну прямую линию. Это ключевой геометрический факт, на котором строится всё построение графиков линейных функций: не нужно вычислять сотни точек, достаточно двух, а третья — для проверки.

Алгоритм построения

Разберём по шагам, как построить график любой линейной функции $y = kx + b$:

1. Выбери любые два значения $x$ (обычно удобно взять $x = 0$ и ещё одно "круглое" число).

2. Подставь их в формулу и вычисли соответствующие $y$.

3. Отметь получившиеся точки на координатной плоскости.

4. Проведи через эти точки прямую линию (и продли её в обе стороны — прямая бесконечна).

5. Для проверки возьми третью точку и убедись, что она тоже лежит на этой прямой.

Пример 1 (простой): базовое построение

Построй график функции $y = 2x - 1$.

Решение.

Шаг 1. Возьмём $x = 0$: $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.

Шаг 2. Возьмём $x = 2$: $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Точка $(2; 3)$.

Шаг 3. Отмечаем точки $(0; -1)$ и $(2; 3)$ на плоскости и проводим через них прямую.

Шаг 4. Проверка третьей точкой: при $x = 1$: $y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Точка $(1; 1)$ должна лежать на прямой между двумя первыми — так и есть, ведь при переходе от $x=0$ к $x=1$ (шаг 1) $y$ выросло с $-1$ до $1$ (тоже на 2, что совпадает с $k=2$).

Ответ: прямая, проходящая через $(0; -1)$ и $(2; 3)$, с наклоном $k = 2$ (возрастающая).

Пример 2 (средний): график с дробным коэффициентом

Построй график функции $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$, выбрав точки так, чтобы координаты были целыми.

Решение.

Шаг 1. Чтобы избежать дробей, нужно подбирать $x$, кратные знаменателю (2).

Шаг 2. Возьмём $x = 0$: $y = -\dfrac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.

Шаг 3. Возьмём $x = 4$: $y = -\dfrac{1}{2} \cdot 4 + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(4; 1)$.

Шаг 4. Возьмём $x = -2$ для проверки: $y = -\dfrac{1}{2} \cdot (-2) + 3 = 1 + 3 = 4$. Точка $(-2; 4)$.

Шаг 5. Все три точки лежат на одной прямой (убывающей, так как $k < 0$).

Ответ: прямая через $(0; 3)$, $(4; 1)$ и $(-2; 4)$.

Лайфхак: если $k$ — дробь вида $p/q$, выбирай шаги по $x$, кратные знаменателю $q$ — тогда $y$ всегда будет получаться целым числом, и точки проще отмечать на клетчатой бумаге.

Пример 3 (сложный): график по данным (визуальная линейная регрессия "на глаз")

Специалист по данным собрал такие пары значений (площадь квартиры в м² — цена в млн рублей): $(30; 3.2)$, $(50; 5.1)$, $(70; 6.9)$. Он предполагает, что зависимость приблизительно линейная. Оцени приблизительные $k$ и $b$, используя первую и последнюю точки, и предскажи цену квартиры площадью 100 м².

Решение.

Шаг 1. Берём крайние точки $(30; 3.2)$ и $(70; 6.9)$ и находим приблизительный угловой коэффициент:

Шаг 2. Находим приблизительный $b$, подставив точку $(30; 3.2)$:

Шаг 3. Получаем приближённую модель:

Шаг 4. Проверим на средней точке $(50; 5.1)$: $\text{Цена}(50) \approx 0.0925 \cdot 50 + 0.425 = 4.625 + 0.425 = 5.05$ — довольно близко к реальным 5.1, значит, модель неплохая.

Шаг 5. Прогноз для 100 м²: $\text{Цена}(100) \approx 0.0925 \cdot 100 + 0.425 = 9.25 + 0.425 = 9.675$ млн рублей.

Ответ: $k \approx 0.0925$, $b \approx 0.425$, прогноз цены для 100 м² — около 9.68 млн рублей.

Важно: именно так на пальцах работает идея линейной регрессии — только настоящий алгоритм (метод наименьших квадратов) использует все точки сразу, а не только крайние, чтобы минимизировать суммарную ошибку по всем данным. Мы разберём это подробнее в курсе по статистике и ML, но интуиция уже видна: находим прямую, которая "лучше всего проходит" через облако точек.

Почему это важно

Умение быстро построить график линейной функции — это не просто школьный навык. Это способность за секунды понять, как ведёт себя зависимость: растёт или падает, с какой скоростью, откуда стартует. В работе с данными ты постоянно будешь визуализировать линейные тренды — на графиках продаж, метрик обучения модели, изменения показателей во времени.

Взаимное расположение графиков линейных функций

Интуиция: одинаковый наклон — как рельсы

Представь железнодорожные рельсы: они идут в одном направлении, никогда не сближаются и не расходятся, потому что у них одинаковый "наклон". Две линейные функции с одинаковым угловым коэффициентом ведут себя точно так же — их графики параллельны и никогда не пересекаются (если только это не одна и та же прямая).

Если же наклоны разные — прямые обязательно пересекутся ровно в одной точке, где-то на плоскости, потому что одна линия "догоняет" или "перегоняет" другую.

Определение: Пусть даны две линейные функции $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$.

• Если $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$ — прямые параллельны (не пересекаются никогда).
• Если $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$ — это одна и та же прямая (совпадают полностью).
• Если $k_1 \neq k_2$ — прямые пересекаются ровно в одной точке.
• Отдельный важный случай: если $k_1 \cdot k_2 = -1$, прямые перпендикулярны (пересекаются под углом $90°$).

Пример 1 (простой): параллельны или нет?

Даны функции $y = 3x + 2$ и $y = 3x - 5$. Параллельны ли их графики?

Решение. Угловые коэффициенты одинаковы: $k_1 = k_2 = 3$. Свободные члены разные: $2 \neq -5$. Значит, прямые параллельны — они идут в одном направлении, но пересекают ось Y в разных точках, поэтому никогда не встретятся.

Ответ: да, параллельны.

Пример 2 (средний): находим точку пересечения

Найди точку пересечения графиков функций $y = 2x + 1$ и $y = -x + 7$.

Решение.

Шаг 1. В точке пересечения оба $y$ равны при одном и том же $x$, поэтому приравниваем правые части:

Шаг 2. Переносим слагаемые с $x$ влево, числа — вправо:

Шаг 3. Подставляем $x = 2$ в любую из функций, например первую:

Шаг 4. Проверка второй функцией: $y = -2 + 7 = 5$ ✅ — совпало.

Ответ: точка пересечения $(2; 5)$.

Пример 3 (сложный): перпендикулярность и практическая задача

Две команды разработки отслеживают баги в проекте. Прямая, показывающая количество открытых багов первой команды со временем, имеет наклон $k_1 = 4$. Найди угловой коэффициент прямой, которая была бы перпендикулярна этой линии на графике (используется, например, чтобы построить вспомогательную "ортогональную" линию тренда для сравнения скоростей).

Решение.

Шаг 1. Условие перпендикулярности: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Шаг 2. Подставляем известное $k_1 = 4$:

Шаг 3. Находим:

Ответ: $k_2 = -0.25$.

Дополнительно: заметь общую закономерность — угловой коэффициент перпендикулярной прямой всегда равен обратному по модулю числу с противоположным знаком: если было $k_1$, то перпендикулярный наклон — это $-1/k_1$.

Почему это важно

В анализе данных сравнение линий тренда — обычная задача: например, сравнить, растут ли продажи двух филиалов с одинаковой или с разной скоростью (параллельны ли их тренды), или найти момент, когда одна метрика "обгонит" другую (точка пересечения). А перпендикулярность используется, например, в геометрической интерпретации метода наименьших квадратов и при построении ортогональных признаков в линейной алгебре — теме, без которой не обходится ни одна серьёзная ML-модель.

Уравнение прямой по двум точкам

Интуиция: восстанавливаем формулу по "улике"

Часто в жизни (и в анализе данных) у тебя нет готовой формулы — есть только наблюдения, точки. Например, ты знаешь: в понедельник продано 10 товаров, а в четверг — 22. Как узнать формулу, описывающую рост продаж по дням, если предположить линейную зависимость? Нужно "восстановить" $k$ и $b$ по двум известным точкам — точно так же, как детектив восстанавливает картину преступления по двум уликам.

Формула и алгоритм

Пусть даны точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$. Разберём по шагам, как найти уравнение прямой:

1. Находим угловой коэффициент: $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

2. Подставляем $k$ и координаты одной из точек в $y = kx + b$, находим $b$.

3. Записываем итоговое уравнение $y = kx + b$.

Определение: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, где $x_1 \neq x_2$, можно записать в виде:

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

Раскрыв эту пропорцию относительно $y$, получаем привычный вид $y = kx + b$ с $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Пример 1 (простой): классическая задача

Найди уравнение прямой, проходящей через точки $(1; 4)$ и $(3; 10)$.

Решение.

Шаг 1. Находим $k$:

Шаг 2. Подставляем точку $(1; 4)$ в $y = 3x + b$:

Шаг 3. Уравнение: $y = 3x + 1$.

Проверка второй точкой: $y = 3 \cdot 3 + 1 = 10$ ✅

Ответ: $y = 3x + 1$.

Пример 2 (средний): прикладная задача с продажами

В понедельник ($x = 1$) магазин продал 10 единиц товара, в четверг ($x = 4$) — 22 единицы. Предполагая линейный рост, найди формулу продаж от дня недели и спрогнозируй продажи в субботу ($x = 6$).

Решение.

Шаг 1. Точки: $(1; 10)$ и $(4; 22)$.

Шаг 2. Находим $k$:

Шаг 3. Находим $b$, подставив точку $(1; 10)$:

Шаг 4. Формула: $P(x) = 4x + 6$.

Шаг 5. Прогноз на субботу: $P(6) = 4 \cdot 6 + 6 = 24 + 6 = 30$.

Ответ: $P(x) = 4x + 6$, прогноз на субботу — 30 единиц товара.

Важное предостережение: это именно прогноз, а не гарантия — линейная модель предполагает, что тренд продолжается с той же скоростью, что в реальности выполняется не всегда (в выходные покупательская активность может вести себя иначе).

Пример 3 (сложный): точки с отрицательными координатами и дробный ответ

Найди уравнение прямой, проходящей через точки $(-2; 5)$ и $(3; -4)$.

Решение.

Шаг 1. Находим $k$:

Шаг 2. Подставляем точку $(-2; 5)$:

Шаг 3. Уравнение: $y = -1.8x + 1.4$.

Проверка второй точкой: $y = -1.8 \cdot 3 + 1.4 = -5.4 + 1.4 = -4$ ✅

Ответ: $y = -1.8x + 1.4$.

Почему это важно

Это ровно та операция, которую выполняет компьютер, когда "обучает" простейшую линейную модель на двух точках данных. В реальном машинном обучении точек, конечно, не две, а тысячи или миллионы, и вместо точного прохождения через каждую точку алгоритм ищет прямую, которая в среднем ближе всего ко всем точкам сразу (метод наименьших квадратов). Но базовый принцип — "найти $k$ и $b$, которые лучше всего описывают связь между $x$ и $y$" — идентичен тому, что ты только что сделал вручную.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Для функции $y = 5x - 3$ определи угловой коэффициент и свободный член.

Задание 2: Вычисли значение функции $y = -2x + 7$ при $x = 4$.

Задание 3: Является ли функция $y = 6x - 1$ возрастающей или убывающей? Обоснуй.

Задание 4: Найди точку пересечения графика функции $y = 3x - 9$ с осью Y и с осью X.

Задание 5: Подписка на онлайн-курс стоит 500₽ в месяц плюс разовый взнос за регистрацию 1200₽. Запиши функцию общих затрат $C(n)$ от числа месяцев $n$.

Задание 6: Найди угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(2; 5)$ и $(6; 13)$.

Задание 7: Дана функция $y = -4x + 20$. При каком $x$ значение функции равно нулю?

Задание 8: Прямая пропорциональность задана формулой $y = 7x$. Чему равен свободный член и через какую точку обязательно проходит график?

Задание 9: Даны функции $y = -2x + 3$ и $y = -2x - 8$. Параллельны ли их графики?

Задание 10: Найди значение $b$, если известно, что график функции $y = 6x + b$ проходит через точку $(2; 15)$.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Найди точку пересечения графиков $y = 4x - 5$ и $y = x + 4$.

Задание 12: Найди уравнение прямой, проходящей через точки $(0; -3)$ и $(5; 7)$.

Задание 13: Абонемент в спортзал: без абонемента разовое занятие стоит 800₽. С абонементом (взнос 3000₽) каждое занятие стоит 300₽. Составь функции стоимости $C_1(n)$ и $C_2(n)$ для обоих вариантов и найди, при каком числе занятий $n$ стоимости совпадают.

Задание 14: Найди угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой $y = 5x - 2$.

Задание 15: Найди уравнение прямой, проходящей через точки $(-3; 2)$ и $(1; -6)$.

Задание 16: Модель линейной регрессии предсказывает время выполнения запроса к базе данных: $T(n) = 0.02n + 5$, где $n$ — количество строк в запросе (в тысячах), $T$ — время в миллисекундах. Что означают числа 0.02 и 5 в контексте задачи?

Задание 17: Прямая проходит через точку $(4; -1)$ и параллельна прямой $y = -3x + 10$. Найди уравнение этой прямой.

Задание 18: На графике температуры воздуха видно: в 6 утра было $8°C$, а в 14:00 стало $20°C$. Считая изменение температуры линейным, найди формулу $T(h)$, где $h$ — час суток, и оцени температуру в 18:00.

Задание 19: Даны функции $y = kx - 4$ и $y = 2x + 9$. При каком значении $k$ их графики будут параллельны?

Задание 20: Найди площадь треугольника, образованного графиком функции $y = -2x + 8$ и осями координат.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Три точки: $A(1; 2)$, $B(3; 6)$, $C(5; 11)$. Лежат ли они на одной прямой?

Задание 22: Найди уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых $y = x + 1$ и $y = -x + 5$, и параллельной прямой $y = 4x - 2$.

Задание 23: Простейшая модель линейной регрессии с одним признаком обучена на данных и получила веса $w = 2.5$, $b = 10$. Она предсказывает $\hat{y} = 2.5x + 10$. Реальное значение при $x = 4$ оказалось $y = 25$. Найди ошибку предсказания (разницу между реальным и предсказанным значением).

Задание 24: Найди уравнение прямой, проходящей через точку $(0; 6)$ и перпендикулярной прямой, проходящей через точки $(1; 1)$ и $(4; 7)$.

Задание 25: Два интернет-тарифа. Тариф A: $y_A = 15x + 400$ (₽ в месяц за $x$ ГБ сверх пакета). Тариф B: $y_B = 10x + 550$. При каком количестве дополнительных гигабайт тарифы стоят одинаково? Какой тариф выгоднее при малом трафике, а какой — при большом?

Задание 26: Дана функция $y = kx + b$. Известно, что $f(2) = 7$ и $f(5) = 16$. Найди $f(10)$.

Задание 27: При обучении простой модели градиентный спуск за несколько шагов менял вес $w$ по правилу $w_{n+1} = w_n - 0.1 \cdot \text{градиент}$. Если начальный вес $w_0 = 5$, а градиент на каждом шаге постоянен и равен $2$, то как изменяется $w$ в зависимости от номера шага $n$? Запиши это как линейную функцию $w(n)$ и найди $w(4)$.

Задание 28: Прямая проходит через точку $(3; 4)$ и отсекает на осях координат равные по длине отрезки (то есть проходит через точки вида $(a; 0)$ и $(0; a)$ или $(a; 0)$ и $(0; -a)$). Найди возможные уравнения такой прямой.

Задание 29: Датасет для обучения содержит точки $(1; 3)$, $(2; 5)$, $(3; 6.9)$, $(4; 9.1)$. Похоже, что зависимость почти линейна с $k \approx 2$ и $b \approx 1$. Вычисли сумму квадратов ошибок (Sum of Squared Errors) для модели $\hat{y} = 2x + 1$ на этих четырёх точках.

Задание 30: Отладь рассуждение. Студент решал задачу: "Найти уравнение прямой через точки $(2; 5)$ и $(2; 9)$" — и получил $k = \dfrac{9-5}{2-2} = \dfrac{4}{0}$, а затем написал "k = бесконечность, значит, ответ y = ∞x + b". Найди ошибку в рассуждении и объясни, что происходит на самом деле.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: путают местами k и b

Неправильно: в функции $y = 7 + 3x$ считают, что $k = 7$, а $b = 3$.

Правильно: $k$ — это всегда коэффициент при $x$, независимо от порядка слагаемых. Здесь $k = 3$, $b = 7$.

Почему важно: перепутав $k$ и $b$, ты неправильно определишь и наклон, и точку старта — вся интерпретация задачи развалится.

❌ Ошибка 2: думают, что график всегда проходит через начало координат

Неправильно: для любой линейной функции считать, что при $x=0$ автоматически $y=0$.

Правильно: через $(0; 0)$ проходит только частный случай — прямая пропорциональность $y = kx$ (когда $b = 0$). В общем случае график пересекает ось Y в точке $(0; b)$, а не обязательно в начале координат.

Почему важно: в прикладных задачах $b \neq 0$ почти всегда — забыть про него означает получить неверный прогноз "с нуля".

❌ Ошибка 3: путают знак углового коэффициента с "положительностью" функции

Неправильно: считать, что если все значения $y$ положительные, то функция обязательно возрастающая.

Правильно: возрастание/убывание определяется только знаком $k$, а не тем, положительны ли сами значения $y$. Функция $y = -2x + 100$ имеет только положительные значения при небольших $x$, но она убывающая, потому что $k = -2 < 0$.

Почему важно: смешивание этих понятий приводит к неверным выводам о поведении зависимости — например, о том, растут продажи или падают.

❌ Ошибка 4: считают, что для построения графика достаточно одной точки

Неправильно: отметить одну точку $(0; b)$ и попытаться "на глаз" провести прямую нужного наклона.

Правильно: через одну точку можно провести бесконечно много разных прямых. Нужны минимум две точки, чтобы однозначно задать прямую.

Почему важно: график, построенный по одной точке "на глаз", почти наверняка будет иметь неверный наклон, а значит — исказит всю зависимость.

❌ Ошибка 5: не меняют знак неравенства при работе с отрицательным k

Неправильно: при решении неравенства вида $-3x + 6 > 0$, перенося и не деля обе части на $-3$, теряют знак: $-3x > -6 \implies x > 2$ (неверно).

Правильно: при делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-3x > -6 \implies x < 2$.

Почему важно: ошибка в знаке неравенства даёт формально "решённую" задачу с полностью противоположным (неверным) ответом.

❌ Ошибка 6: путают условие параллельности и совпадения прямых

Неправильно: видя $k_1 = k_2$, сразу писать "прямые совпадают".

Правильно: равенство угловых коэффициентов означает параллельность или совпадение — нужно ещё сравнить $b_1$ и $b_2$. Если $b_1 = b_2$ — прямые совпадают; если $b_1 \neq b_2$ — они параллельны, но различны и никогда не пересекутся.

Почему важно: в задачах на пересечение прямых эта путаница приводит к неверному выводу "решений бесконечно много" там, где на самом деле решений нет вообще (или наоборот).

Главное запомнить

✅ Линейная функция имеет вид $y = kx + b$, её график — всегда прямая линия.

✅ $k$ — угловой коэффициент (наклон): $k > 0$ — функция возрастает, $k < 0$ — убывает, $k = 0$ — постоянна. Чем больше $|k|$, тем круче прямая.

✅ $b$ — свободный член: значение функции при $x = 0$, точка пересечения графика с осью Y — это $(0; b)$.

✅ При $b = 0$ функция называется прямой пропорциональностью, и её график обязательно проходит через начало координат.

✅ Угловой коэффициент по двум точкам считается по формуле $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

✅ Две прямые параллельны, если у них равны угловые коэффициенты ($k_1 = k_2$) и разные свободные члены; совпадают, если равны и $k$, и $b$; пересекаются в одной точке, если $k_1 \neq k_2$.

✅ Прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно $-1$: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

✅ Чтобы найти уравнение прямой по двум точкам: сначала найди $k$ по формуле разности, затем подставь одну из точек, чтобы найти $b$.

✅ В машинном обучении та же формула записывается как $y = wx + b$, где $w$ (вес) — это $k$, а $b$ (смещение) — то же самое $b$. Простейшая линейная регрессия и один нейрон без функции активации — это буквально линейная функция.

✅ Для построения графика достаточно двух точек, но третья точка нужна для проверки правильности вычислений.

Связь с другими темами курса

Что было до этого урока: ты уже изучил понятие функции и общее построение графиков (урок «График функции») — линейная функция стала первым конкретным типом функции, к которому применяются эти общие идеи.

Что дальше: следующий шаг — квадратичная функция ($y = ax^2 + bx + c$), где вместо прямой линии на графике появляется парабола, а "постоянный наклон" сменяется меняющимся. После квадратичной функции ты изучишь системы уравнений (в том числе системы линейных уравнений — прямое продолжение работы с пересечением прямых) и позже — производную, которая формализует понятие "мгновенного наклона" уже для любых, не только линейных, функций.

В жизни: тарифы (такси, связь, доставка), расчёт зарплаты с окладом и процентом, физика равномерного движения, конвертация единиц измерения (температура, валюты по фиксированному курсу), финансовое планирование бюджета.

В ML и данных: линейная регрессия — простейшая и одна из самых используемых моделей в анализе данных; интерпретация весов модели ($k$/$w$) как силы влияния признака; работа с функцией потерь через понятие ошибки (разница между реальным $y$ и предсказанным $\hat{y}$); линейный слой (Dense/Linear layer) в нейронных сетях — это ровно $y = wx + b$, применённая параллельно ко многим входам сразу; градиентный спуск, который постепенно подбирает оптимальные $k$ и $b$, минимизируя сумму квадратов ошибок.

Интересные факты

💡 Декарт придумал координаты, лёжа в постели. По легенде, Рене Декарт наблюдал за мухой, ползающей по потолку, и заметил, что её положение можно точно описать двумя числами — расстояниями до двух стен. Так родилась идея координатной плоскости, без которой невозможно было бы записать линейную функцию как график.

💡 "Линейная" не значит "простая" в статистике. Хотя линейная регрессия — самая базовая модель в ML, она до сих пор широко используется в реальных продакшн-системах именно потому, что её легко интерпретировать: каждый вес $k$ прямо говорит, насколько признак влияет на результат. Сложные нейросети часто точнее, но гораздо труднее объяснимы — этот компромисс называют trade-off между точностью и интерпретируемостью.

💡 Слово "линейный" происходит от латинского linea — "линия", "нить". Изначально это слово буквально означало то, что можно вытянуть по прямой нити — отсюда и в математике "линейная зависимость" сохранила смысл "прямолинейной" зависимости.

💡 Один нейрон без функции активации — это в точности линейная функция от нескольких переменных. Именно поэтому глубокие нейросети обязательно используют нелинейные функции активации (ReLU, sigmoid и другие) между слоями: если бы их не было, сколько бы слоёв ты ни складывал, вся сеть сводилась бы к одной большой линейной функции — не сложнее, чем $y = kx + b$.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Быстрая проверка возрастания/убывания без построения графика. Просто посмотри на знак числа перед $x$. Плюс — функция растёт, минус — падает. Не нужно ничего чертить.

2. Для построения графика с дробным k выбирай x, кратные знаменателю. Если $k = 2/3$, бери $x = 0, 3, 6, -3$ — тогда $y$ всегда получится целым числом, и график будет проще и точнее строить на клетках.

3. Проверяй уравнение прямой третьей точкой. Нашёл $k$ и $b$ по двум точкам — обязательно подставь исходные координаты обратно в готовую формулу, чтобы убедиться, что не ошибся в арифметике. Это занимает 10 секунд и спасает от глупых ошибок.

4. Запоминай перпендикулярность как "переверни и смени знак". Если наклон одной прямой $k$, то наклон перпендикулярной ей — это $-1/k$: переворачиваешь дробь и меняешь знак. Работает всегда, кроме случая горизонтальной/вертикальной пары прямых.

5. В прикладных задачах сначала определи, что такое k и что такое b, по смыслу условия — а не по формуле. Ищи в тексте задачи фразы вроде "за каждый..." (это почти всегда $k$) и "уже было..." / "стартовая сумма..." / "фиксированная плата..." (это почти всегда $b$). Так проще составить формулу, не путаясь в буквах.

6. Если в задаче про ML встречаешь w и b — мысленно замени на k и b. Вся школьная интуиция про наклон и сдвиг переносится один в один. Понимание "какой знак у веса — растёт или падает предсказание с ростом признака" — это ровно то же самое рассуждение про возрастание и убывание функции, которое ты только что отработал на 30 заданиях.

Формула $y = kx + b$ — это, без преувеличения, один из самых используемых инструментов в математике, инженерии и анализе данных за всю историю. Ты только что разобрал её досконально: что означают коэффициенты, как строить график, как сравнивать прямые между собой и как восстанавливать уравнение по двум точкам. Это не финальная точка, а стартовая площадка — дальше тебя ждут параболы, системы уравнений и производные, но все они будут опираться на интуицию, которую ты уже освоил здесь. И когда в будущем ты напишешь свою первую модель LinearRegression() на Python, ты будешь точно понимать, что происходит у неё внутри — а это уже намного больше, чем просто "решать школьные задачи".