Определение синуса и косинуса 🎡

Представь колесо обозрения радиусом ровно один метр, центр которого совпадает с началом координат. Ты садишься в кабинку в самой правой точке — на уровне центра — и колесо начинает крутиться против часовой стрелки. В любой момент у кабинки есть ровно два числа, которые полностью описывают её положение: насколько она сместилась по горизонтали от центра и насколько поднялась или опустилась по вертикали. Первое число — это косинус угла поворота, второе — синус. Больше для описания положения кабинки ничего не нужно.

Это не метафора «для наглядности» — это буквально определение, которое ты сегодня разберёшь формально. До сих пор синус и косинус, возможно, ассоциировались у тебя со школьным «отношением катета к гипотенузе» — определением, которое работает только для острых углов в прямоугольном треугольнике и ломается, как только угол перевалит за 90°. Настоящее определение, на котором держится вся дальнейшая математика, физика и добрая половина машинного обучения — совсем другое: синус и косинус — это координаты точки, которая едет по окружности радиуса 1. Такое определение работает для любого угла: отрицательного, больше 360°, вообще любого действительного числа.

В прошлом уроке ты уже познакомился с единичной окружностью и с радианной мерой угла — с самой «сценой», на которой сегодня развернётся действие. Сегодня на этой сцене появятся главные герои: точка, которая крутится, и два числа, которые про неё всё рассказывают. Мы разберём, как именно координаты точки становятся синусом и косинусом, почему их знаки предсказуемо меняются в каждой из четырёх четвертей, откуда берутся «красивые» табличные значения для 30°, 45° и 60°, что происходит с синусом и косинусом при повороте в обратную сторону — и, что особенно важно для тебя как будущего специалиста по данным, почему в реальных системах — от позиционного кодирования трансформеров до кодирования часа суток как признака — эти две функции почти всегда идут в паре, а не поодиночке.

🎯 Ты узнаешь:

• Как поворот точки по единичной окружности превращается в строгое определение синуса и косинуса для любого угла
• Почему знаки sin и cos предсказуемо меняются по четвертям, и как это использовать для мгновенной проверки ответа
• Откуда берутся точные значения для 0°, 30°, 45°, 60°, 90° и как вывести их самому за минуту, а не зазубрить
• Что такое чётность косинуса и нечётность синуса, и почему это не абстрактная формальность, а рабочий инструмент
• Почему пара $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ несёт информацию, которую не несёт ни одна из функций по отдельности — и как на этом факте держится позиционное кодирование в трансформерах

История: откуда это взялось?

Первые таблицы, которые можно назвать прообразом синуса, появились в Индии примерно в V веке н. э. Математик и астроном Арьябхата в трактате «Арьябхатия» вычислял не сам угол, а длину половины хорды, стягивающей дугу — величину, которую он называл «ардха-джья» («половина тетивы»), позже сократившуюся просто до «джья» («тетива»). Это было практическим инструментом для астрономии: зная половину хорды, можно было точнее предсказывать положения планет и затмения. По сути, Арьябхата уже вычислял значения, эквивалентные нашему синусу, только выражал их не как отношение, а как длину отрезка при фиксированном радиусе — предвестник той самой идеи «координата точки на окружности», к которой математика вернётся полторы тысячи лет спустя.

Дальше начинается почти детективная история. Индийское слово «джья» арабские учёные при переводе просто транслитерировали как «джиба» — бессмысленное само по себе слово в арабском языке, а не перевод. Арабское письмо не записывает краткие гласные, и когда европейские переводчики в XII веке — в первую очередь Герард Кремонский, работавший в Толедо, — встречали в тексте написание «джб», они читали его как реально существующее арабское слово «джайб», означающее «пазуха», «складка одежды» или «бухта». Переводя на латынь, Герард выбрал соответствующее латинское слово — sinus, которое как раз и значит «изгиб», «складка», «бухта». Так синус получил имя, дважды пройдя через ошибку перевода: сначала бессмысленную транслитерацию, потом перевод не того слова. Слово «косинус» появилось на четыре с половиной века позже: в 1620 году английский математик Эдмунд Гюнтер ввёл сокращение «co.sinus» — от «sinus complementi», «синус дополнительного угла», потому что $\cos\alpha = \sin(90° - \alpha)$.

Больше тысячи лет после Арьябхаты синус и косинус оставались привязаны к прямоугольному треугольнику и определялись только для острых углов — стоило углу перевалить за 90°, и «отношение катета к гипотенузе» просто переставало иметь смысл. Решающий шаг сделал Леонард Эйлер в 1748 году в трактате «Введение в анализ бесконечных» («Introductio in analysin infinitorum»): он предложил определять синус и косинус не через треугольник, а через координаты точки, движущейся по окружности радиуса 1 — именно то определение, которое ты изучаешь сегодня. Эйлер тем самым освободил тригонометрию от геометрии треугольника и превратил синус с косинусом в функции произвольного действительного числа — а значит, в объекты, с которыми можно работать в анализе, раскладывать в ряды и использовать для описания вообще любых периодических процессов. Именно это определение два с половиной века спустя легло в основу того, как трансформеры кодируют позицию токена в предложении: $\sin$ и $\cos$ там применяются не к «углу треугольника», а к произвольному числу — позиции, делённой на масштабирующий множитель, — и это стало возможным только потому, что Эйлер когда-то снял с этих функций ограничение прямоугольного треугольника.

Точка на окружности: как поворот рождает пару чисел

Интуиция

Вернёмся к колесу обозрения. Пусть радиус колеса равен 1, а центр находится в начале координат. Кабинка стартует в точке $(1; 0)$ — самая правая точка, на уровне центра. Дальше колесо крутится против часовой стрелки на угол $\alpha$. У кабинки в новом положении есть ровно два числа, которые описывают, где она находится: смещение по горизонтали от центра и смещение по вертикали.

Заметь: эти два числа зависят только от угла поворота $\alpha$ и ни от чего больше. Не от того, как быстро крутится колесо, не от единиц измерения — только от угла. Значит, каждому углу $\alpha$ можно сопоставить ровно одну пару чисел. Эта идея — «угол на входе, пара чисел на выходе» — и есть суть определения синуса и косинуса. Дальше остаётся только дать этим двум числам имена.

Строгое определение

Определение: Пусть точка $M(\alpha)$ получена поворотом точки $(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ (против часовой стрелки при $\alpha > 0$, по часовой — при $\alpha < 0$) по единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$. Тогда:

$$\cos\alpha = x\text{-координата точки } M(\alpha), \qquad \sin\alpha = y\text{-координата точки } M(\alpha)$$

То есть $M(\alpha) = (\cos\alpha; \sin\alpha)$.

Ключевые следствия прямо из определения:

• Угол $\alpha$ может быть любым действительным числом — отрицательным, больше $360°$, вообще каким угодно. Треугольник для этого не нужен.

• Поскольку точка $M(\alpha)$ всегда лежит на окружности радиуса 1, её координаты никогда не выходят за пределы отрезка $[-1; 1]$: $-1 \le \cos\alpha \le 1$ и $-1 \le \sin\alpha \le 1$ для любого $\alpha$.

• Так как координаты точки на окружности удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = 1$, подставив $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$, получаем $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — это просто теорема Пифагора, записанная для единичной окружности. Мы вернёмся к этому тождеству подробнее в следующем уроке, но его геометрический корень виден уже здесь.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): найди координаты точки $M(90°)$ и значения $\sin 90°$, $\cos 90°$.

Решение:

Шаг 1. Поворачиваем точку $(1; 0)$ на четверть оборота против часовой стрелки.

Шаг 2. Четверть оборота переводит правую точку окружности в верхнюю: $M(90°) = (0; 1)$.

Шаг 3. По определению: $\cos 90° = 0$ (x-координата), $\sin 90° = 1$ (y-координата).

Проверим наш ответ: $\sin^2 90° + \cos^2 90° = 1^2 + 0^2 = 1$ ✅

Ответ: $M(90°) = (0; 1)$, $\cos 90° = 0$, $\sin 90° = 1$.

Пример 2 (средний): найди координаты точки $M(135°)$.

Решение:

Шаг 1. $135°$ лежит между $90°$ и $180°$ — во второй четверти.

Шаг 2. До $180°$ (крайней левой точки) не хватает $180° - 135° = 45°$. Значит точка $M(135°)$ — зеркальное отражение точки $M(45°)$ относительно вертикальной оси $Oy$.

Шаг 3. Для $M(45°)$ обе координаты равны по модулю $\dfrac{\sqrt2}{2}$ (это мы строго выведем в следующем разделе), обе положительны: $M(45°) = \left(\dfrac{\sqrt2}{2}; \dfrac{\sqrt2}{2}\right)$.

Шаг 4. При зеркальном отражении относительно $Oy$ x-координата меняет знак, y-координата остаётся прежней:

Ответ: $\cos 135° = -\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin 135° = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

Пример 3 (сложный, ML-контекст): в упрощённой модели позиционного кодирования токену на позиции $pos$ сопоставляется точка на единичной окружности с углом $\theta = \omega \cdot pos$, где $\omega$ — фиксированная частота. При $\omega = \dfrac{\pi}{10}$ найди координаты точки для токена на позиции $pos = 5$.

Решение:

Шаг 1. Считаем угол: $\theta = \dfrac{\pi}{10} \cdot 5 = \dfrac{\pi}{2}$, то есть $90°$.

Шаг 2. По определению координаты точки — это $(\cos\theta; \sin\theta) = (\cos 90°; \sin 90°) = (0; 1)$.

Ответ: токену на позиции 5 при данной частоте соответствует точка $(0; 1)$.

Комментарий: именно это и происходит внутри трансформера — только частот там не одна, а десятки, и у каждой свой $\omega$, из-за чего каждая позиция получает свой уникальный набор координат по всем частотам сразу.

Почему это важно

Определение через единичную окружность — не «более сложный, но эквивалентный» способ сказать то же самое, что и школьное «катет через гипотенузу». Это принципиально более широкое определение: оно работает там, где треугольник не работает вообще. Функция $\sin x$ или $\cos x$, которую ты вызываешь в коде на любом действительном числе — хоть на $1000$, хоть на $-47.3$ — определена именно так, через точку на окружности, а не через треугольник, у которого просто не может быть угла в $1000°$. Без этого шага не было бы ни рядов Тейлора для синуса, ни производной синуса, ни возможности написать np.sin(x) для произвольного x — вся аналитическая машинерия опирается на то, что синус и косинус — функции, определённые на всей числовой прямой, а не только на промежутке $(0°; 90°)$.

Знаки синуса и косинуса по четвертям

Интуиция

Раз $\cos\alpha$ — это x-координата точки, а $\sin\alpha$ — её y-координата, то знаки синуса и косинуса — это просто знаки координат точки в той четверти координатной плоскости, где она оказалась. Тебе не нужно ничего заучивать отдельно — достаточно помнить, какие знаки у x и y в каждой из четырёх четвертей, и это автоматически даёт знаки sin и cos.

Представь простую картинку в голове: первая четверть — «всё положительное» (точка справа и сверху), дальше при движении против часовой стрелки одна координата за другой меняет знак на отрицательный, пока в третьей четверти обе не станут отрицательными, а в четвёртой снова не начнёт восстанавливаться положительная x-координата.

Строгое определение

Определение (знаки по четвертям): Пусть угол $\alpha \in [0°; 360°)$ определяет точку $M(\alpha)$ в одной из четырёх четвертей (или на оси, если угол кратен $90°$). Тогда:

📌 Классическая мнемоника для этой таблицы — фраза «Все Синус Тангенс Косинус» (по первым буквам четвертей I–IV): в первой четверти положительны все функции, во второй — только синус, в третьей — только тангенс (и котангенс, о них в следующем уроке), в четвёртой — только косинус.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): определи знаки $\sin 160°$ и $\cos 160°$, не вычисляя точных значений.

Решение:

$160°$ лежит между $90°$ и $180°$ — это вторая четверть. По таблице: $\sin > 0$, $\cos < 0$.

Ответ: $\sin 160° > 0$, $\cos 160° < 0$.

Пример 2 (средний): в какой четверти находится угол $\alpha$, если $\sin\alpha < 0$ и $\cos\alpha > 0$?

Решение:

Ищем в таблице строку, где x-координата положительна, а y-координата отрицательна. Это четвёртая четверть.

Ответ: четвёртая четверть ($270° < \alpha < 360°$).

Пример 3 (сложный, ML-контекст): косинусная близость двух эмбеддингов равна $-0{,}3$. Что это говорит об угле между векторами и почему подобная ситуация вообще возможна?

Решение:

Шаг 1. Косинусная близость двух векторов — это в точности $\cos\theta$, где $\theta$ — угол между ними, $\theta \in [0°; 180°]$ (для угла между векторами по определению берут только эту половину окружности, без отрицательных углов).

Шаг 2. На промежутке $[0°; 180°]$ отрицательный косинус соответствует второй четверти, то есть $90° < \theta < 180°$.

Шаг 3. Значит угол между векторами тупой — векторы направлены скорее в противоположные стороны, чем в одну.

Ответ: угол между эмбеддингами тупой (от $90°$ до $180°$); отрицательная косинусная близость означает, что векторы скорее «противоположны» по смыслу, чем похожи.

Комментарий: обрати внимание, что здесь используется только половина полной картины знаков (только I и II четверти), потому что угол между векторами по соглашению не бывает отрицательным и не превышает $180°$ — а вот $\sin\theta$ на этом промежутке всегда неотрицателен, поэтому в формулах с углом между векторами про знак синуса можно не думать вообще.

Почему это важно

Таблица знаков — это твой первый и самый быстрый инструмент проверки: посчитал что-то на калькуляторе или в коде, взглянул на четверть — и сразу видно, разумный ли получился знак. Она же лежит в основе формул приведения (урок 96), где любой угол сводится к «опорному» острому углу первой четверти именно с помощью этой таблицы. А в data science она объясняет, почему косинусная близость лежит строго в $[-1; 1]$ и что вообще означает её знак — фундаментальный вопрос при построении систем поиска по эмбеддингам и рекомендательных систем.

Значения для стандартных углов: таблица, которую стоит вывести, а не зазубрить

Интуиция

Для нескольких «круглых» углов — $0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$ — синус и косинус принимают точные, красивые значения. Их стоит держать в голове, но куда полезнее один раз понять, откуда они берутся: тогда, забыв конкретное число, ты сможешь вывести его заново за двадцать секунд вместо того, чтобы судорожно вспоминать.

Возьмём равносторонний треугольник со стороной 1 и проведём высоту — она же медиана и биссектриса. Высота делит треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника с углами $30°$, $60°$, $90°$ и гипотенузой $1$. Катет напротив угла $30°$ (это половина основания) равен $\dfrac12$, а катет напротив угла $60°$ (это высота) по теореме Пифагора равен $\sqrt{1 - \tfrac14} = \dfrac{\sqrt3}{2}$. Если поместить этот треугольник на единичную окружность так, что гипотенуза совпадает с радиусом, а угол $30°$ отсчитывается от оси $Ox$, то y-координата точки (синус) — это катет напротив угла, то есть $\dfrac12$, а x-координата (косинус) — прилежащий катет, $\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Для $45°$ рассуждение ещё короче: точка лежит на биссектрисе первой четверти, где x и y равны между собой ($x = y$). Подставляя в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$, получаем $2x^2 = 1$, откуда $x = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

Строгое определение

Определение (таблица опорных значений):

Угол	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac12$	$0$

📌 Заметь закономерность: строка синуса — это $\dfrac{\sqrt0}{2}, \dfrac{\sqrt1}{2}, \dfrac{\sqrt2}{2}, \dfrac{\sqrt3}{2}, \dfrac{\sqrt4}{2}$, то есть $\dfrac{\sqrt n}{2}$ для $n = 0, 1, 2, 3, 4$. Строка косинуса — та же последовательность в обратном порядке. Это не совпадение, а следствие того, что $\cos\alpha = \sin(90° - \alpha)$.

Для углов за пределами первой четверти работает идея опорного угла: любой угол сводится к острому углу первой четверти, а знак берётся из таблицы четвертей.

• Вторая четверть ($90°$–$180°$): опорный угол $= 180° - \alpha$

• Третья четверть ($180°$–$270°$): опорный угол $= \alpha - 180°$

• Четвёртая четверть ($270°$–$360°$): опорный угол $= 360° - \alpha$

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): вычисли $\cos 60° + \sin 30°$.

Решение:

По таблице: $\cos 60° = \dfrac12$, $\sin 30° = \dfrac12$.

Ответ: $1$.

Пример 2 (средний): найди $\sin 210°$ и $\cos 210°$.

Решение:

Шаг 1. $210°$ лежит между $180°$ и $270°$ — третья четверть.

Шаг 2. Опорный угол: $210° - 180° = 30°$.

Шаг 3. Табличные значения для $30°$: $\sin 30° = \dfrac12$, $\cos 30° = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Шаг 4. В третьей четверти обе функции отрицательны:

Проверим наш ответ: $\sin^2 210° + \cos^2 210° = \dfrac14 + \dfrac34 = 1$ ✅

Ответ: $\sin 210° = -\dfrac12$, $\cos 210° = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Пример 3 (сложный, ML-контекст): в модели поворотных позиционных эмбеддингов (RoPE) пара координат поворачивается на угол $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$. Найди точные значения $\cos\theta$ и $\sin\theta$.

Решение:

Шаг 1. Переведём в градусы для наглядности (заменяя $\pi$ на $180$): $\dfrac{5 \cdot 180}{6} = 150°$.

Шаг 2. $150°$ — вторая четверть ($90°$–$180°$), опорный угол $180° - 150° = 30°$.

Шаг 3. Табличные значения для $30°$: $\sin 30° = \dfrac12$, $\cos 30° = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Шаг 4. Во второй четверти синус положителен, косинус отрицателен:

Ответ: $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt3}{2} \approx -0{,}866$, $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac12$.

Почему это важно

Таблица опорных значений — это твой набор «контрольных точек» для проверки чего угодно: увидел на графике или в выводе np.sin число $0{,}5$ при аргументе, близком к $\pi/6$ — сразу понятно, что всё сошлось. Она же нужна как строительный материал для формул сложения, двойного и половинного угла (уроки 97–99), которые выводятся именно через комбинации этих опорных значений, а не изобретаются заново для каждого угла.

Чётность и нечётность: что происходит при повороте в обратную сторону

Интуиция

Отрицательный угол — это просто поворот по часовой стрелке вместо привычного против часовой. Представь то же колесо обозрения: поворот на $\alpha$ против часовой стрелки и поворот на $\alpha$ по часовой стрелке приводят кабинку в точки, симметричные относительно горизонтальной оси $Ox$ — как отражение в воде. При зеркальном отражении относительно горизонтальной оси высота (вертикальная координата) меняет знак, а горизонтальное смещение остаётся прежним.

Раз $\cos\alpha$ — это горизонтальная координата, а $\sin\alpha$ — вертикальная, то поворот в обратную сторону не меняет косинус, но меняет знак синуса. Это и есть чётность косинуса и нечётность синуса.

Строгое определение

Определение: Для любого угла $\alpha$:

$$\cos(-\alpha) = \cos\alpha \qquad \text{(косинус — чётная функция)}$$

$$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha \qquad \text{(синус — нечётная функция)}$$

Напомним общий смысл этих терминов: функция $f$ называется чётной, если $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ (график симметричен относительно оси $Oy$), и нечётной, если $f(-x) = -f(x)$ (график симметричен относительно начала координат). Косинус и синус — классические примеры этих двух типов симметрии, и именно поэтому в разложении произвольной периодической функции в ряд Фурье косинусы отвечают за «чётную часть» сигнала, а синусы — за «нечётную».

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): найди $\cos(-60°)$ и $\sin(-60°)$.

Решение:

По определению чётности и нечётности: $\cos(-60°) = \cos 60° = \dfrac12$; $\sin(-60°) = -\sin 60° = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Ответ: $\cos(-60°) = \dfrac12$, $\sin(-60°) = -\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Пример 2 (средний): упрости выражение $\cos(-\alpha)\cos\alpha - \sin(-\alpha)\sin\alpha$.

Решение:

Шаг 1. Применяем свойства чётности и нечётности: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$.

Шаг 2. Подставляем:

Шаг 3. По основному соотношению единичной окружности (пример которого мы видели выше) это равно $1$ для любого $\alpha$.

Ответ: выражение тождественно равно $1$ при любом $\alpha$.

Пример 3 (сложный, ML/сигналы-контекст): любой числовой сигнал $f(x)$ можно представить как сумму чётной и нечётной частей: $f(x) = f_{\text{чёт}}(x) + f_{\text{неч}}(x)$, где $f_{\text{чёт}}(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2}$, $f_{\text{неч}}(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2}$. Проверь эту формулу на функции $f(\alpha) = \cos\alpha$ и на функции $g(\alpha) = \sin\alpha$.

Решение:

Шаг 1. Для $f(\alpha) = \cos\alpha$: чётная часть $= \dfrac{\cos\alpha + \cos(-\alpha)}{2} = \dfrac{\cos\alpha + \cos\alpha}{2} = \cos\alpha$. Нечётная часть $= \dfrac{\cos\alpha - \cos(-\alpha)}{2} = \dfrac{\cos\alpha - \cos\alpha}{2} = 0$.

Шаг 2. Косинус целиком «состоит» из своей чётной части — что логично, ведь он уже чётный.

Шаг 3. Для $g(\alpha) = \sin\alpha$: чётная часть $= \dfrac{\sin\alpha + \sin(-\alpha)}{2} = \dfrac{\sin\alpha - \sin\alpha}{2} = 0$. Нечётная часть $= \dfrac{\sin\alpha - \sin(-\alpha)}{2} = \dfrac{\sin\alpha + \sin\alpha}{2} = \sin\alpha$.

Ответ: косинус целиком чётный (его нечётная часть равна нулю), синус целиком нечётный (его чётная часть равна нулю) — что и должно было получиться, это прямая проверка определений.

Комментарий: именно поэтому в анализе Фурье любую периодическую функцию раскладывают в сумму косинусов (для чётной составляющей сигнала) и синусов (для нечётной) — это не произвольный выбор инструментов, а следствие того, что вместе они образуют базис, который умеет представить и чётную, и нечётную симметрию одновременно.

Почему это важно

Чётность и нечётность экономят вычисления: увидев $\cos(-x)$ в формуле, ты сразу заменяешь его на $\cos x$, не проверяя таблицы заново. Но куда важнее, что эти свойства объясняют структуру: почему в реальном (real-valued) сигнале спектр после преобразования Фурье обладает симметрией (эрмитовой симметрией) — потому что косинусные компоненты чётны, а синусные нечётны. И это же свойство — прямая подсказка к следующему разделу: раз $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$, то косинус сам по себе не различает угол $\alpha$ и угол $-\alpha$. Чтобы различать их, нужна вторая функция.

Зачем нужна именно пара $(\cos\alpha, \sin\alpha)$, а не одна функция

Интуиция

Вот вопрос, который редко задают явно, но который лежит в основе очень многих реальных инженерных решений: почему тригонометрических функций для описания положения на окружности используют именно две, а не одну?

Смотри, что происходит, если оставить только синус. Значение $\sin 30° = \dfrac12$. Но и $\sin 150° = \dfrac12$ — то же самое число! Одного значения синуса недостаточно, чтобы понять, где именно на окружности находится точка: могло быть $30°$, а могла быть $150°$ — синус об этом умалчивает. Та же история с одним косинусом: $\cos 60° = \cos(-60°) = \cos 300° = \dfrac12$ — три разных положения дают одно и то же число.

А теперь возьмём пару чисел одновременно. Для $30°$: $(\cos 30°; \sin 30°) = \left(\dfrac{\sqrt3}{2}; \dfrac12\right)$. Для $150°$: $(\cos 150°; \sin 150°) = \left(-\dfrac{\sqrt3}{2}; \dfrac12\right)$. Синусы совпадают, но косинусы — разные знаки! Пара координат уже однозначно указывает на точку: две разные точки окружности никогда не имеют одновременно одинаковый синус и одинаковый косинус. В этом и есть глубинный смысл того, что синус и косинус — это именно координаты точки: пара чисел задаёт положение на плоскости однозначно, а одно число — нет.

Строгое определение

Определение (единственность пары): Для любых углов $\alpha, \beta \in [0°; 360°)$: если $\cos\alpha = \cos\beta$ и $\sin\alpha = \sin\beta$ одновременно, то $\alpha = \beta$. Иными словами, пара $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ однозначно определяет угол $\alpha$ на промежутке в один полный оборот, тогда как ни $\sin\alpha$, ни $\cos\alpha$ по отдельности этим свойством не обладают.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой): покажи, что $\sin 30° = \sin 150°$, но $\cos 30° \ne \cos 150°$.

Решение:

По таблице и правилу опорного угла: $\sin 30° = \dfrac12$, $\sin 150° = \dfrac12$ (одинаково). Но $\cos 30° = \dfrac{\sqrt3}{2}$, а $\cos 150° = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ (разные знаки).

Ответ: синусы совпадают, косинусы различаются — значит, зная только синус, две эти точки было бы не отличить, а зная пару $(\cos, \sin)$ — легко.

Пример 2 (средний): известно только, что $\cos\alpha = 0{,}5$ и $\alpha \in [0°; 360°)$. Перечисли все возможные значения $\alpha$. Затем скажи, как дополнительное знание знака $\sin\alpha$ помогает выбрать единственный ответ.

Решение:

Шаг 1. $\cos\alpha = 0{,}5$ достигается в первой четверти при опорном угле $60°$, то есть при $\alpha = 60°$, и в четвёртой четверти при $\alpha = 360° - 60° = 300°$ (косинус в IV четверти тоже положителен).

Шаг 2. Если дополнительно известно, что $\sin\alpha > 0$ — по таблице знаков это означает I четверть, значит $\alpha = 60°$. Если же $\sin\alpha < 0$ — это IV четверть, и $\alpha = 300°$.

Ответ: без дополнительной информации $\alpha = 60°$ или $\alpha = 300°$; знание знака синуса убирает неоднозначность и оставляет единственный вариант.

Пример 3 (сложный, ML-контекст): почему в позиционном кодировании трансформера $PE(pos, 2i) = \sin\!\left(\dfrac{pos}{10000^{2i/d}}\right)$ и $PE(pos, 2i{+}1) = \cos\!\left(\dfrac{pos}{10000^{2i/d}}\right)$ на каждой частоте используют синус и косинус одновременно, а не только синус?

Решение:

Шаг 1. На фиксированной частоте $\omega$ значение $\sin(\omega \cdot pos)$ периодично: для двух разных позиций $pos_1$ и $pos_2$ может оказаться $\sin(\omega \cdot pos_1) = \sin(\omega \cdot pos_2)$ — ровно та же проблема, что в Примере 1, где $\sin 30° = \sin 150°$.

Шаг 2. Если бы кодирование использовало только синус, модель не всегда могла бы различить две разные позиции, дающие одинаковый синус на данной частоте — информация о позиции частично терялась бы (эффект, похожий на наложение спектров, aliasing).

Шаг 3. Добавление косинуса на той же частоте работает как «второй координатный канал», который для тех же двух позиций, как правило, даёт разные значения (см. Пример 1) — совместно пара $(\sin, \cos)$ на каждой частоте однозначно фиксирует фазу, то есть эффективно «привязывает» позицию к точке на окружности, а не только к одной координате.

Ответ: пара $(\sin, \cos)$ на одной частоте убирает неоднозначность, которая возникла бы при использовании только одной из функций — именно поэтому в позиционном кодировании они всегда идут вдвоём.

Почему это важно

Идея «одного числа недостаточно, чтобы задать точку на окружности, а двух — достаточно» — это не тригонометрическая тонкость, а общий инженерный принцип, который встречается всюду, где данные имеют циклическую природу: час суток, день недели, месяц, направление ветра, фаза сигнала. В радиотехнике та же идея называется квадратурным представлением (I/Q-данные — «синфазная» и «квадратурная» составляющие сигнала): чтобы восстановить и амплитуду, и фазу колебания, нужны обе компоненты, а не одна. Запомнив это один раз применительно к синусу и косинусу, ты сразу узнаешь эту же логику в самых разных областях data science и инженерии.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Угол поворота — $0°$. Найди координаты соответствующей точки на единичной окружности и значения $\sin 0°$, $\cos 0°$.

Задание 2: Найди $\sin 90°$ и $\cos 90°$.

Задание 3: Найди $\sin 180°$ и $\cos 180°$.

Задание 4: Найди $\sin 270°$ и $\cos 270°$.

Задание 5: Найди $\sin 360°$ и $\cos 360°$. Как это связано с $\sin 0°$ и $\cos 0°$?

Задание 6: Точка на единичной окружности имеет координаты $\left(\dfrac{\sqrt2}{2}; \dfrac{\sqrt2}{2}\right)$. В какой четверти она находится и какому углу поворота из промежутка $[0°; 360°)$ она соответствует?

Задание 7: Определи знаки $\sin 100°$ и $\cos 100°$ без вычисления точных значений.

Задание 8: В какой четверти находится угол $\alpha$, если $\sin\alpha < 0$ и $\cos\alpha < 0$?

Задание 9: Известно, что $\cos\alpha = \dfrac12$ и $\alpha$ — острый угол ($0° < \alpha < 90°$). Найди $\alpha$ и $\sin\alpha$.

Задание 10: Вычисли значение выражения $\sin 90° + \cos 180° - \sin 0°$.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Используя свойства чётности и нечётности, найди $\cos(-60°)$ и $\sin(-60°)$.

Задание 12: Упрости выражение $\cos(-\alpha)\cos\alpha - \sin(-\alpha)\sin\alpha$ и найди его значение.

Задание 13: Пользуясь таблицей стандартных значений, вычисли $\sin 30° \cdot \cos 60° + \cos 30° \cdot \sin 60°$.

Задание 14: Точка получена поворотом на угол $150°$. Найди её координаты.

Задание 15: Вычисли значение выражения $2\sin 45° - \cos 0°$.

Задание 16: В задаче с эмбеддингом направление вектора представлено углом $120°$ на единичной окружности. Найди координаты $(\cos 120°; \sin 120°)$.

Задание 17: Найди все углы $\alpha$ из промежутка $[0°; 360°)$, для которых $\cos\alpha = 0$.

Задание 18: Найди все углы $\alpha$ из промежутка $[0°; 360°)$, для которых $\sin\alpha = -1$.

Задание 19: В упрощённой модели позиционного кодирования координата токена задаётся как $(\cos\theta; \sin\theta)$, где $\theta = \dfrac{\pi}{4}$. Найди числовые координаты.

Задание 20: Даны координаты точки на единичной окружности $\left(-\dfrac12; -\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$. Определи четверть и угол поворота $\alpha \in [0°; 360°)$, которому соответствует эта точка.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Опираясь непосредственно на определение синуса и косинуса как координат точки единичной окружности, докажи, что $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для любого угла $\alpha$.

Задание 22: Известно, что $\sin\alpha = \dfrac35$ и угол $\alpha$ находится во второй четверти. Найди $\cos\alpha$.

Задание 23: Положение точки на единичной окружности в момент времени $t$ задаётся углом $\theta(t) = 2t$ (в радианах). Найди координаты точки в момент $t = \dfrac{\pi}{6}$.

Задание 24: Используя чётность косинуса и нечётность синуса, упрости выражение $f(\alpha) = \sin(-\alpha)\cos(-\alpha) - \sin\alpha\cos\alpha$ и найди его значение при $\alpha = 45°$.

Задание 25: Точки $A$ и $B$ на единичной окружности соответствуют углам $40°$ и $-40°$. Докажи, что $A$ и $B$ симметричны относительно оси $Ox$, и найди приближённые координаты $B$, если $\cos 40° \approx 0{,}766$ и $\sin 40° \approx 0{,}643$.

Задание 26: Для циклического кодирования месяца $m$ (от $1$ до $12$, где $m = 1$ — январь) используют угол $\theta_m = \dfrac{2\pi(m-1)}{12}$. Найди точные координаты $(\cos\theta; \sin\theta)$ для сентября ($m = 9$).

Задание 27: В модели поворотных позиционных эмбеддингов (RoPE) пара координат поворачивается на угол $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$. Найди точные значения $\cos\theta$ и $\sin\theta$.

Задание 28: Кабинка колеса обозрения радиусом $R$ поворачивается против часовой стрелки от стартовой точки. Когда угол поворота достиг $300°$, на какой высоте относительно центра колеса (в долях радиуса $R$) находится кабинка?

Задание 29: Отладка кода. Найди ошибку и исправь её.

import numpy as np

angle = np.pi / 3  # 60 градусов
x = np.sin(angle)   # x-координата точки
y = np.cos(angle)   # y-координата точки
print(x, y)  # ожидали (0.5, 0.866...), получили (0.866..., 0.5)

import numpy as np

angle = np.pi / 3
x = np.cos(angle)   # x-координата точки
y = np.sin(angle)   # y-координата точки
print(x, y)  # 0.5000000000000001 0.8660254037844386

Задание 30: Известно, что $\cos\alpha = -0{,}6$ и угол $\alpha$ лежит в третьей четверти. Найди $\sin\alpha$. Затем найди координаты точки, диаметрально противоположной точке $M(\alpha)$ на единичной окружности (то есть точки, соответствующей углу $\alpha + 180°$), и укажи её синус и косинус.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: путают, что синус — это x, а косинус — y

Неправильно: считать, что $\cos\alpha$ — это высота (вертикальная координата), а $\sin\alpha$ — горизонтальное смещение.

Правильно: $\sin\alpha$ — это y-координата (высота, вертикаль), $\cos\alpha$ — это x-координата (горизонталь).

💡 Почему важно: вспомни колесо обозрения из начала урока — синус это твоя высота над центром, косинус это смещение вбок. Если эта картинка держится в голове, перепутать координаты почти невозможно.

❌ Ошибка 2: думают, что $\sin\alpha$ или $\cos\alpha$ могут быть больше $1$ по модулю

Неправильно: получить в вычислениях $\sin\alpha = 1{,}3$ и не насторожиться.

Правильно: для любого угла всегда $-1 \le \sin\alpha \le 1$ и $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

💡 Почему важно: точка не может покинуть окружность радиуса $1$, поэтому её координаты физически не могут выйти за эти границы. Если в решении получилось число вне $[-1; 1]$ — это верный сигнал, что где-то допущена ошибка.

❌ Ошибка 3: забывают про знак в разных четвертях

Неправильно: посчитать опорный угол правильно, но взять значение синуса или косинуса со знаком «плюс» независимо от четверти.

Правильно: сначала найди опорный угол и табличное значение, потом отдельным шагом определи знак по четверти, в которой лежит исходный угол.

💡 Почему важно: это самая частая техническая ошибка в задачах на нестандартные углы. Держи в голове таблицу знаков или мнемонику «Все Синус Тангенс Косинус» — она снимает вопрос за секунду.

❌ Ошибка 4: путают табличные значения $\sin 30°$ и $\cos 30°$ местами

Неправильно: написать $\sin 30° = \dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos 30° = \dfrac12$.

Правильно: $\sin 30° = \dfrac12$, $\cos 30° = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

💡 Почему важно: $30°$ и $60°$ — взаимно дополнительные углы ($30° + 60° = 90°$), поэтому у них значения синуса и косинуса «зеркальны»: $\sin 30° = \cos 60°$ и $\cos 30° = \sin 60°$. Удобная проверка — построить в уме треугольник $30$-$60$-$90$: маленький катет (напротив меньшего угла $30°$) короче и даёт меньшее число $\dfrac12$, значит именно он — $\sin 30°$.

❌ Ошибка 5: неверно применяют чётность и нечётность

Неправильно: писать $\cos(-\alpha) = -\cos\alpha$ или $\sin(-\alpha) = \sin\alpha$.

Правильно: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (знак не меняется), $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ (знак меняется).

💡 Почему важно: это самая частая путаница, когда речь заходит о симметрии. Опорная картинка — отражение точки относительно оси $Ox$: горизонтальная координата при этом не меняется, вертикальная меняет знак. Косинус — горизонталь, значит он «не замечает» отражения; синус — вертикаль, значит он его «замечает».

❌ Ошибка 6: кодируют циклический признак только через синус, забывая косинус

Неправильно: кодировать час суток как один признак $\sin\left(\dfrac{2\pi h}{24}\right)$ и подавать его в модель.

Правильно: использовать пару признаков $\left(\sin\dfrac{2\pi h}{24}, \cos\dfrac{2\pi h}{24}\right)$.

💡 Почему важно: одного синуса недостаточно — двум разным часам может соответствовать одно и то же значение синуса (та же неоднозначность, что и $\sin 30° = \sin 150°$), и модель не сможет их различить. Пара синус-косинус всегда задаёт час однозначно — это прямое следствие того, что мы разобрали в разделе про пару координат.

Главное запомнить

✅ Определение: $\cos\alpha$ — это x-координата, $\sin\alpha$ — y-координата точки, полученной поворотом точки $(1; 0)$ на угол $\alpha$ по единичной окружности.

✅ Границы значений: для любого угла $\alpha$ всегда $-1 \le \sin\alpha \le 1$ и $-1 \le \cos\alpha \le 1$, потому что точка не покидает окружность радиуса $1$.

✅ Основное соотношение: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ — прямое следствие того, что координаты точки удовлетворяют уравнению окружности $x^2 + y^2 = 1$.

✅ Знаки по четвертям: I — обе положительны; II — только синус; III — обе отрицательны; IV — только косинус. Мнемоника: «Все Синус Тангенс Косинус».

✅ Таблица опорных значений: $\sin$ на $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ равен $0, \dfrac12, \dfrac{\sqrt2}{2}, \dfrac{\sqrt3}{2}, 1$; у $\cos$ та же последовательность в обратном порядке.

✅ Опорный угол сводит любой угол к острому углу первой четверти: для II четверти это $180° - \alpha$, для III — $\alpha - 180°$, для IV — $360° - \alpha$.

✅ Чётность и нечётность: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ (косинус чётный), $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ (синус нечётный).

✅ Пара, а не одна функция: ни $\sin\alpha$, ни $\cos\alpha$ по отдельности не задают угол однозначно (у разных углов бывает одинаковый синус или одинаковый косинус), но пара $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ всегда указывает на угол единственным образом.

✅ В ML: именно поэтому позиционное кодирование трансформеров и циклическое кодирование признаков (час, месяц, день недели) всегда используют синус и косинус вместе на каждой частоте.

Связь с другими темами курса

Что было раньше: радианная мера угла (урок 91) дала нам «числовую шкалу» для угла, а единичная окружность (урок 92) — саму сцену, окружность радиуса 1, на которой сегодня появились координаты точки. Без этих двух уроков определение синуса и косинуса просто не на чем было бы строить.

Что дальше: тангенс и котангенс (урок 94) определяются прямо через сегодняшние функции — как отношение $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Основное тригонометрическое тождество (урок 95) формализует то, что мы уже увидели в задании 21. Формулы приведения (урок 96) превращают правило «опорный угол плюс знак по четверти» в набор готовых формул. Формулы сложения, двойного и половинного угла (уроки 97–99) строятся на комбинациях сегодняшней таблицы значений и свойств чётности-нечётности — ты уже видел это в заданиях 13 и 24. Дальше по курсу — тригонометрические уравнения и неравенства (уроки 103–107), где решения записываются именно через углы, для которых синус или косинус принимают конкретные значения из сегодняшней таблицы.

Где это применяется в жизни, в ML и в данных:

🤖 В машинном обучении: синусоидальное позиционное кодирование в классическом трансформере и RoPE в современных LLM (LLaMA, Qwen, Mistral) — оба используют пару $(\sin, \cos)$ ровно по причине, разобранной в разделе про единственность пары. Косинусная близость эмбеддингов и её знак — прямое применение таблицы знаков по четвертям.

📊 В data science: циклическое кодирование признаков (час суток, день недели, месяц, направление ветра) всегда парой $(\sin, \cos)$, чтобы избежать разрыва шкалы (например, $23{:}00$ и $00{:}00$ должны быть «соседями») и неоднозначности, о которой предупреждает ошибка 6.

💻 В программировании и графике: координаты точек на окружностях и дугах при отрисовке (x = cx + r*cos(a), y = cy + r*sin(a)) — это прямое, буквальное применение сегодняшнего определения.

🔬 В физике: гармонические колебания $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi)$ и разложение сигналов в ряд Фурье, где чётность косинуса и нечётность синуса определяют, какая часть сигнала войдёт в косинусные, а какая — в синусные слагаемые.

📡 В обработке сигналов: квадратурное (I/Q) представление сигнала — инженерный аналог идеи «пара координат нужна для однозначности», знакомой тебе теперь и по тригонометрии.

Интересные факты

💡 Арьябхата составил таблицу синусов ещё в V веке — с шагом в 3°45′. Он вычислял не сам синус, а разности между последовательными значениями, что было куда удобнее для astronomических расчётов вручную, без калькулятора. Часть значений в этой таблице совпадает с современными до третьего знака после запятой — впечатляющая точность для вычислений без письменной позиционной арифметики, которой тогда ещё толком не существовало.

💡 Определение через единичную окружность старше компьютеров ровно на два века. Леонард Эйлер ввёл его в 1748 году, а первая работающая ЭВМ появилась только в середине XX века. То есть переход от «синуса как отношения в треугольнике» к «синусу как функции произвольного числа» был чистой математической абстракцией, которая десятилетиями не имела вычислительного применения — а потом внезапно оказалась именно тем, что нужно для計算 рядов Тейлора, компьютерной графики и нейросетей.

💡 «Косинусная близость» как термин пришла из библиотечного дела, а не из ML. Формулу $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}$ для сравнения документов предложил Джерард Солтон в векторной модели информационного поиска ещё в 1975 году — за десятилетия до трансформеров и эмбеддингов слов. Идея «угол между двумя длинными списками чисел» тогда казалась почти экзотикой, а сегодня это одна из самых используемых операций во всём машинном обучении.

💡 Пара синус-косинус — простейший «генератор окружности», и на этом стоит вся теория Фурье. Жан-Батист Фурье в начале XIX века показал, что практически любую периодическую функцию — звук, температуру, электрический сигнал — можно представить суммой синусов и косинусов разных частот. В основе всей этой теории лежит ровно то определение, которое ты разобрал сегодня: координаты точки, равномерно бегущей по окружности.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Мнемоника для знаков по четвертям — «Все Синус Тангенс Косинус»

По первым буквам четвертей I–IV: в первой все функции положительны, во второй — только синус, в третьей — только тангенс (и котангенс), в четвёртой — только косинус. Одна фраза заменяет всю таблицу знаков.

2. Метод опорного угла для любого «некруглого» угла

Сведи угол к острому в первой четверти: для II четверти вычти его из $180°$, для III — вычти $180°$ из него, для IV — вычти его из $360°$. Возьми табличное значение для этого опорного угла, а знак поставь отдельно по таблице четвертей.

3. Таблица $0°$–$90°$ через $\sqrt{n}/2$

$\sin$ на углах $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ — это $\dfrac{\sqrt0}{2}, \dfrac{\sqrt1}{2}, \dfrac{\sqrt2}{2}, \dfrac{\sqrt3}{2}, \dfrac{\sqrt4}{2}$. У $\cos$ та же последовательность в обратном порядке. Запомнил один паттерн — восстановил всю таблицу.

4. Чётность-нечётность за одно слово: «косинус не замечает знак, синус — замечает»

Если угол под минусом, у косинуса минус просто исчезает, у синуса — переходит наружу. Проверка на примере в уме: $\cos(-90°)$ должен совпасть с $\cos 90° = 0$; $\sin(-90°)$ должен быть противоположен $\sin 90° = 1$, то есть $-1$ — и это действительно так, ведь $-90°$ соответствует нижней точке окружности.

5. Мгновенная проверка любого результата: попадает ли он в $[-1; 1]$

Первое, что стоит проверить в любом ответе с синусом или косинусом — не вышло ли число за границы $[-1; 1]$. Если вышло — где-то ошибка, даже не заглядывая в остальные шаги решения.

6. При кодировании циклических признаков всегда отдавай модели пару

Час, месяц, день недели, направление ветра — везде, где есть «зацикленность», кодируй через $\left(\sin\dfrac{2\pi t}{T}, \cos\dfrac{2\pi t}{T}\right)$, а не через одну функцию. Это правило одной строки экономит часы отладки моделей, которые «почему-то» путают соседние по кругу значения.

Синус и косинус, которые сегодня оказались координатами точки на окружности радиуса 1 — это, без преувеличения, одна из самых используемых пар функций во всей прикладной математике. Как только ты перестанешь видеть в них «что-то из треугольника» и начнёшь видеть именно то, что они есть — горизонталь и высоту точки, бегущей по кругу, — начнут проясняться десятки вещей вокруг: почему координаты пикселя на экране крутящегося объекта считаются именно так, почему позиционное кодирование трансформера выглядит как сумма синусов и косинусов, почему для циклических признаков всегда нужна пара чисел, а не одно.

А теперь попробуй сам: возьми любой угол, который придёт в голову — хоть $200°$, хоть $-500°$ — и найди его синус и косинус, проговаривая вслух каждый шаг: четверть, опорный угол, табличное значение, знак. Когда это станет автоматическим, ты будешь готов к следующему шагу — тангенсу и котангенсу, которые представляют собой всего лишь отношение уже знакомых тебе синуса и косинуса. 🎡