Преобразование произведения в сумму

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты слушаешь музыку в наушниках 🎧. Звук - это волна, а когда играют два инструмента одновременно, их волны перемножаются. Но наш мозг воспринимает не произведение волн, а их сумму! Формулы преобразования произведения в сумму помогают инженерам создавать алгоритмы обработки звука в Spotify, эквалайзеры в играх и даже системы шумоподавления в AirPods.

📡 В радиосвязи: Когда твой телефон ловит сигнал вышки, происходит умножение несущей частоты на информационный сигнал. Чтобы извлечь нужную информацию, используют эти формулы!

⚡ В электротехнике: Переменный ток описывается синусами, а когда два тока взаимодействуют, нужно уметь превращать произведение синусов в сумму.

📚 История вопроса

В XVII веке астрономы мучились с расчётами орбит планет. Им постоянно приходилось перемножать синусы и косинусы углов, что было невероятно трудоёмко. Тогда математик Проспер де Фрайне придумал гениальный трюк - превращать произведения в суммы! Это было как изобретение калькулятора для астрономов того времени 🔭.

💡 Интуиция

Почему вообще произведение можно превратить в сумму? Дело в том, что тригонометрические функции описывают вращение, а когда два вращения происходят одновременно, результат можно представить как комбинацию двух более простых вращений.

[МЕДИА: image_01] Описание: Визуализация двух синусоидальных волн, их произведения и разложения этого произведения в сумму двух других волн Промпт: “educational illustration showing two sine waves multiplying to create a complex wave, then decomposing into sum of simpler waves, colorful mathematical visualization, modern clean style, suitable for high school students”

Представь два колеса, которые вращаются с разными скоростями. Если мы следим за точкой, которая зависит от обоих колёс, её движение можно описать либо как произведение двух простых движений, либо как сумму двух других простых движений.

📐 Формальное определение

Основные формулы преобразования произведения в сумму:

Для синусов: sin(A) · sin(B) = ½[cos(A - B) - cos(A + B)]

Для косинусов:
cos(A) · cos(B) = ½[cos(A - B) + cos(A + B)]

Для произведения синуса на косинус: sin(A) · cos(B) = ½[sin(A + B) + sin(A - B)] cos(A) · sin(B) = ½[sin(A + B) - sin(A - B)]

💡 Мнемонический приём:

• У косинусов в произведении - плюс в сумме
• У синусов в произведении - минус в сумме
• Смешанное произведение даёт синусы

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Базовое преобразование

Преобразуй в сумму: sin(70°) · sin(20°)

Решение: Используем формулу: sin(A) · sin(B) = ½[cos(A - B) - cos(A + B)]

A = 70°, B = 20°

sin(70°) · sin(20°) = ½[cos(70° - 20°) - cos(70° + 20°)] = ½[cos(50°) - cos(90°)]
= ½[cos(50°) - 0] = ½cos(50°)

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое решение примера с выделением каждого шага разными цветами Промпт: “step-by-step mathematical solution showing trigonometric product-to-sum transformation, each step highlighted in different colors, clear mathematical notation, educational style”

Пример 2: С алгебраическими углами

Преобразуй: cos(3x) · cos(x)

Решение: cos(A) · cos(B) = ½[cos(A - B) + cos(A + B)]

A = 3x, B = x

cos(3x) · cos(x) = ½[cos(3x - x) + cos(3x + x)] = ½[cos(2x) + cos(4x)]

Пример 3: Смешанное произведение

Упрости: 2sin(5α) · cos(3α)

Решение: sin(A) · cos(B) = ½[sin(A + B) + sin(A - B)]

2sin(5α) · cos(3α) = 2 · ½[sin(5α + 3α) + sin(5α - 3α)] = sin(8α) + sin(2α)

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Преобразуй в сумму sin(40°) · sin(30°)

Задание 2: Найди сумму для cos(60°) · cos(20°)

Задание 3: Преобразуй sin(π/3) · cos(π/6)

Задание 4: Упрости 2cos(7x) · cos(3x)

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Преобразуй sin²(x) · cos(2x) через произведение в сумму

Задание 6: Докажи, что sin(x) · sin(60° - x) · sin(60° + x) = ¼sin(3x)

Задание 7: Найди максимальное значение функции f(x) = sin(x) · sin(x + π/3)

Задание 8: Упрости cos(α + β) · cos(α - β) - sin(α + β) · sin(α - β)

Челлендж 🔴

Задание 9: Реши уравнение sin(3x) · cos(x) = sin(x) · cos(3x)

Задание 10: Найди все корни уравнения cos(2x) · cos(4x) = ½ на отрезке [0; π]

Задание 11: Докажи тождество: sin(A) · sin(B) · sin(C) = ¼[sin(A + B + C) + sin(A + B - C) + sin(A - B + C) + sin(-A + B + C)]

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают знаки в формулах sin(A) · sin(B) = ½[cos(A - B) + cos(A + B)] ← НЕПРАВИЛЬНО! ✅ Правильно: sin(A) · sin(B) = ½[cos(A - B) - cos(A + B)]
💡 Почему: У синусов в произведении минус в сумме, у косинусов - плюс!

❌ Ошибка: Забывают коэффициент ½ sin(A) · cos(B) = sin(A + B) + sin(A - B) ← НЕПРАВИЛЬНО! ✅ Правильно: sin(A) · cos(B) = ½[sin(A + B) + sin(A - B)] 💡 Почему: Коэффициент ½ появляется из вывода формул через комплексные числа

❌ Ошибка: Путают, какие функции получаются в результате cos(A) · sin(B) = ½[cos(A + B) + cos(A - B)] ← НЕПРАВИЛЬНО! ✅ Правильно: cos(A) · sin(B) = ½[sin(A + B) - sin(A - B)] 💡 Почему: Смешанное произведение всегда даёт синусы!

❌ Ошибка: Неправильно вычисляют A ± B при подстановке углов sin(70°) · sin(20°), берут cos(70° + 20°) = cos(90°) = 1 ← НЕПРАВИЛЬНО! ✅ Правильно: cos(90°) = 0 💡 Почему: cos(90°) = 0, а не 1! Это базовое значение.

❌ Ошибка: Применяют формулы к степеням функций без предварительных преобразований sin²(x) сразу преобразуют по формуле ← НЕПРАВИЛЬНО! ✅ Правильно: sin²(x) = sin(x) · sin(x), потом применяют формулу 💡 Почему: Формулы работают только для произведений разных аргументов или требуют специального подхода для одинаковых.

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Произведение тригонометрических функций можно представить как сумму более простых функций ✅ Ключевые формулы: sin·sin даёт cos с минусом, cos·cos даёт cos с плюсом, смешанное произведение даёт sin ✅ Применение: Обработка сигналов, радиосвязь, решение сложных тригонометрических уравнений

🔗 Связь с другими темами

Назад: Эти формулы основаны на формулах сложения тригонометрических функций из урока 100 Вперёд: В следующих уроках изучим обратные формулы - преобразование суммы в произведение, что поможет решать более сложные уравнения и доказывать тождества