Однородные тригонометрические уравнения

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты программируешь анимацию волн в TikTok или создаёшь спецэффекты для игры 🎮. Движение персонажа по кругу, колебания маятника, звуковые волны в наушниках - везде встречаются уравнения вида a·sin²x + b·sinx·cosx + c·cos²x = 0. Это и есть однородные тригонометрические уравнения!

В физике они описывают гармонические колебания (как струна гитары вибрирует 🎸), в экономике - циклические процессы (колебания курса валют 💹), а в архитектуре - расчёты куполов и арок.

💡 Интуиция

Однородное тригонометрическое уравнение - это как пицца, где все кусочки имеют одинаковую “толщину” по тригонометрическим функциям! 🍕

Если у нас есть sin²x + 2sinx·cosx - 3cos²x = 0, то каждое слагаемое содержит тригонометрические функции в одинаковой степени (здесь везде вторая степень: sin²x, sinx·cosx, cos²x).

[МЕДИА: image_01] Описание: Круговая диаграмма показывающая различные комбинации sin²x, sinx·cosx и cos²x на единичной окружности Промпт: “educational mathematical illustration showing unit circle with different combinations of sin²x, sinx·cosx, and cos²x highlighted in different colors, modern clean style, suitable for high school students”

Главная фишка: мы можем “избавиться” от одной из функций, разделив всё уравнение на cos²x или sin²x!

📐 Формальное определение

Однородное тригонометрическое уравнение n-й степени - это уравнение вида: a₀sin^n x + a₁sin^(n-1) x·cos x + … + aₙcos^n x = 0

где все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень тригонометрических функций.

Основные типы:

• 1-я степень: a·sinx + b·cosx = 0
• 2-я степень: a·sin²x + b·sinx·cosx + c·cos²x = 0
• 3-я степень: a·sin³x + b·sin²x·cosx + c·sinx·cos²x + d·cos³x = 0

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: sin²x - 3sinx·cosx + 2cos²x = 0

Метод решения: Делим на cos²x (при cosx ≠ 0)

sin²x/cos²x - 3sinx·cosx/cos²x + 2cos²x/cos²x = 0

tan²x - 3tanx + 2 = 0

Пусть t = tanx, тогда: t² - 3t + 2 = 0

Решаем квадратное уравнение: (t-1)(t-2) = 0 t₁ = 1, t₂ = 2

Возвращаемся к x:

1. tanx = 1 → x = π/4 + πk
2. tanx = 2 → x = arctg(2) + πk

Проверка случая cosx = 0: При x = π/2 + πk получаем: 1 - 0 + 0 = 1 ≠ 0 Дополнительных корней нет.

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое решение однородного уравнения с визуализацией деления на cos²x и получения квадратного уравнения относительно tg x Промпт: “step-by-step mathematical solution showing division by cos²x, transformation to quadratic equation in terms of tan x, clean educational layout with highlighted steps”

Пример 2: 2sin²x + sinx·cosx - cos²x = 0

Снова делим на cos²x: 2tan²x + tanx - 1 = 0

Пусть t = tanx: 2t² + t - 1 = 0 D = 1 + 8 = 9, √D = 3 t₁ = (-1+3)/4 = 1/2, t₂ = (-1-3)/4 = -1

Ответ:

1. tanx = 1/2 → x = arctg(1/2) + πk
2. tanx = -1 → x = -π/4 + πk

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: sin²x + sinx·cosx = 0

Задание 2: 3sin²x - 5sinx·cosx + 2cos²x = 0

Задание 3: sin²x - cos²x = 0

Продвинутый уровень 🟡

Задание 4: 4sin²x - 3sinx·cosx - cos²x = 0

Задание 5: sin²x + 2√3sinx·cosx + 3cos²x = 0

Задание 6: 2sin²x - sinx·cosx - 3cos²x = 0

Челлендж 🔴

Задание 7: sin³x - 3sin²x·cosx + 3sinx·cos²x - cos³x = 0

Задание 8: 5sin⁴x - 6sin²x·cos²x + cos⁴x = 0

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Забывают проверить случай cosx = 0 (или sinx = 0) ✅ Правильно: Всегда проверяй, не теряешь ли корни при делении! 💡 Почему: При делении на cos²x мы предполагаем cosx ≠ 0

❌ Ошибка: Путают arctg(a) и π/4 при tanx = 1 ✅ Правильно: tanx = 1 даёт x = π/4 + πk, а не arctg(1) 💡 Почему: arctg(1) = π/4, но надо добавлять период!

❌ Ошибка: Неправильно применяют основное тригонометрическое тождество ✅ Правильно: sin²x + cos²x = 1, а не sin²x = cos²x 💡 Почему: Это разные формулы для разных целей!

🎓 Главное запомнить

✅ Однородное уравнение: все слагаемые одинаковой степени по sin и cos ✅ Основной метод: деление на cos²x или sin²x ✅ Всегда проверяй случаи cosx = 0 или sinx = 0! ✅ Получаешь квадратное уравнение относительно tgx или ctgx

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Из решения обычных тригонометрических уравнений и основного тригонометрического тождества

Куда ведут: К тригонометрическим неравенствам, системам тригонометрических уравнений, и в высшую математику - к дифференциальным уравнениям с тригонометрическими коэффициентами

Практика: Физика (колебания), программирование (компьютерная графика), инженерия (расчёт конструкций)