Теорема косинусов: универсальный инструмент для треугольников

🎯 Зачем это нужно?

Представь ситуации из жизни:

📱 GPS в смартфоне: Спутники образуют треугольники с твоим телефоном. Чтобы точно определить местоположение, GPS использует теорему косинусов для вычисления расстояний по трём “сторонам” и углам между спутниками.

🏗️ Строительство: Архитектор проектирует крышу сложной формы. У него есть длины двух балок (12м и 8м) и угол между ними (120°). Как найти длину третьей балки? Теорема косинусов!

✈️ Авиация: Пилот знает расстояние до двух аэропортов и угол между направлениями на них. Нужно рассчитать прямое расстояние между аэропортами для экономии топлива.

📚 История вопроса

Эту теорему знали ещё древние! Евклид сформулировал её в “Началах” около 300 года до н.э., но тогда она выглядела громоздко - без удобных обозначений и тригонометрии.

Современную формулировку дал французский математик Франсуа Виет в XVI веке. А вот название “теорема косинусов” появилось только в XIX веке, когда тригонометрия окончательно оформилась как наука.

💡 Интуиция

Теорема Пифагора работает только для прямоугольных треугольников: c² = a² + b². А что если угол НЕ прямой? 🤔

[МЕДИА: image_01] Описание: Сравнение прямоугольного и произвольного треугольника, показывающее переход от теоремы Пифагора к теореме косинусов Промпт: “educational illustration comparing right triangle with arbitrary triangle, showing Pythagorean theorem transitioning to law of cosines, clean geometric style, labeled sides and angles”

Если угол острый (< 90°), то третья сторона получается короче, чем по Пифагору. Если угол тупой (> 90°), то третья сторона длиннее.

Теорема косинусов - это “исправленная” теорема Пифагора! Она добавляет поправку, которая зависит от того, насколько угол отличается от прямого.

📐 Формальное определение

Теорема косинусов: В любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула: c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

Где:

• a, b, c - стороны треугольника
• C - угол, противолежащий стороне c

Альтернативные записи: a² = b² + c² - 2bc·cos(A) b² = a² + c² - 2ac·cos(B)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Найти третью сторону

Задача: В треугольнике две стороны равны 5 см и 8 см, угол между ними 60°. Найди третью сторону.

Решение: 1️⃣ Обозначаем: a = 5, b = 8, C = 60°, c = ?

2️⃣ Применяем теорему косинусов: c² = a² + b² - 2ab·cos(C) c² = 5² + 8² - 2·5·8·cos(60°)

3️⃣ Вычисляем: c² = 25 + 64 - 80·cos(60°) c² = 89 - 80·(1/2) [cos(60°) = 1/2] c² = 89 - 40 = 49

4️⃣ Находим c: c = √49 = 7 см

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое решение примера с треугольником, показаны стороны 5 и 8 см, угол 60°, искомая сторона Промпт: “step-by-step geometric solution showing triangle with sides 5cm, 8cm, angle 60°, calculation steps, educational math illustration”

Пример 2: Найти угол по трём сторонам

Задача: В треугольнике стороны равны 3, 4 и 6. Найди наибольший угол.

Решение: 1️⃣ Наибольший угол лежит против наибольшей стороны (c = 6)

2️⃣ Из теоремы косинусов выражаем cos(C): c² = a² + b² - 2ab·cos(C) cos(C) = (a² + b² - c²)/(2ab)

3️⃣ Подставляем a = 3, b = 4, c = 6: cos(C) = (3² + 4² - 6²)/(2·3·4) cos(C) = (9 + 16 - 36)/24 = -11/24

4️⃣ Находим угол: C = arccos(-11/24) ≈ 117.3°

Угол тупой, что логично - наибольший угол часто тупой!

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Стороны треугольника 6 и 8, угол между ними 90°. Найди третью сторону.

Задание 2: В треугольнике стороны 3, 4, 5. Найди косинус наибольшего угла.

Задание 3: Две стороны треугольника равны 7 и 12, угол между ними 45°. Найди третью сторону.

Задание 4: Самолёт пролетел 200 км на север, потом повернул на 120° и пролетел ещё 150 км. На каком расстоянии он от начальной точки?

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: В треугольнике ABC: AB = 10, AC = 14, угол A = 75°. Найди BC и остальные углы.

Задание 6: Докажи, что если в треугольнике c² = a² + b², то угол C = 90°.

Задание 7: GPS показывает, что ты находишься в 8 км от вышки A и в 12 км от вышки B. Угол между направлениями на вышки 110°. Найди расстояние между вышками.

Задание 8: В параллелограмме стороны 6 и 10, острый угол 70°. Найди диагонали.

Челлендж 🔴

Задание 9: В треугольнике медиана к стороне a равна m. Выведи формулу для медианы через стороны треугольника, используя теорему косинусов.

Задание 10: Спутник видит две точки на Земле под углом 15°. Расстояния до точек: 400 км и 500 км. Найди расстояние между точками на поверхности Земли.

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают, какой угол подставлять в формулу ✅ Правильно: Угол должен лежать между двумя известными сторонами 💡 Почему: c² = a² + b² - 2ab·cos(C), где C - угол именно между сторонами a и b

❌ Ошибка: Забывают про знак “минус” в формуле
✅ Правильно: Обязательно пишем “- 2ab·cos(C)” 💡 Почему: Этот минус даёт поправку к теореме Пифагора

❌ Ошибка: Не проверяют ответ на разумность ✅ Правильно: Сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других 💡 Почему: Это неравенство треугольника - основной закон геометрии

🎓 Главное запомнить

✅ Теорема косинусов работает для ЛЮБОГО треугольника ✅ Формула: c² = a² + b² - 2ab·cos(C) ✅ Это обобщение теоремы Пифагора на произвольные треугольники ✅ Применяется в навигации, строительстве, физике

🔗 Связь с другими темами

Назад: Основана на теореме Пифагора и свойствах косинуса Вперёд: Понадобится для теоремы синусов, векторов, комплексных чисел Физика: Сложение векторов, колебания, волны Программирование: Компьютерная графика, игровые движки, 3D-моделирование