🔴 Сложный ⏱️ 25 минут

Показательная функция: когда числа растут взрывообразно

🎯 Зачем это нужно?

Каждый день мы сталкиваемся с показательными процессами, даже не подозревая об этом! 🤯

📱 Вирусные видео: Один человек показал ролик друзьям, те показали своим друзьям - за пару дней миллионы просмотров. Это показательный рост!

💰 Банковские проценты: Положил 100 000 под 10% годовых. Через год - 110 000, через два - 121 000, через десять - уже 259 000! Деньги растут по показательной функции.

🦠 Распространение вирусов: Один заболевший заражает двоих, те заражают ещё четверых… Эпидемиологи используют показательные функции для прогнозов.

📚 История вопроса

В 1618 году шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы, чтобы упростить астрономические расчёты. А швейцарец Леонард Эйлер в 18 веке открыл особое число e ≈ 2,718… - основание натурального логарифма. Оказалось, что функция f(x) = e^x описывает множество природных процессов: от роста бактерий до радиоактивного распада! 🔬

💡 Интуиция

Представь, что у тебя есть магический множитель 📈. Каждый шаг вправо по оси x умножает результат на одно и то же число (основание степени):

При основании > 1: график “взлетает вверх” - экспоненциальный рост
При основании 0 < a < 1: график “падает вниз” - экспоненциальное убывание

Главная фишка: изменения пропорциональны текущему значению! Чем больше денег на счёте, тем больше прибавляется процентов. Чем больше подписчиков, тем быстрее растёт их количество.

[МЕДИА: image_01] Описание: График показательной функции y = 2^x и y = (1/2)^x на одной координатной плоскости Промпт: “mathematical graph showing exponential functions y = 2^x (growing) and y = (1/2)^x (decreasing) on coordinate plane, different colors, clear axis labels, grid, modern educational style, clean background”

📐 Формальное определение

Показательная функция - это функция вида:

f(x) = a^x, где a > 0, a ≠ 1

a - основание степени (положительное число, не равное 1)
x - показатель степени (любое действительное число)

Свойства:

✅ Область определения: x ∈ (-∞; +∞) - можем подставить любое число ✅ Область значений: y ∈ (0; +∞) - результат всегда положительный ✅ Проходит через точку (0; 1): a⁰ = 1 для любого a ≠ 0 ✅ Горизонтальная асимптота: y = 0 (график приближается к оси x, но не касается)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Рост популярности TikTok-блогера

У блогера было 100 подписчиков. Каждую неделю количество подписчиков удваивается. Сколько будет через 8 недель?

Решение:

Начальное количество: 100
Еженедельный рост: в 2 раза
Функция: f(t) = 100 · 2^t, где t - количество недель

Через 8 недель: f(8) = 100 · 2⁸ = 100 · 256 = 25 600 подписчиков! 🤳

[МЕДИА: image_02] Описание: График роста подписчиков по показательной функции Промпт: “graph showing subscriber growth from 100 to 25600 over 8 weeks, exponential curve, social media theme with icons, colorful modern design, educational illustration”

Пример 2: Сложный процент в банке

Положили 50 000 рублей под 8% годовых. Какая сумма будет через 5 лет?

Решение:

Начальная сумма: S₀ = 50 000
Процентная ставка: r = 0,08 (8%)
Функция: S(t) = S₀ · (1 + r)^t = 50 000 · 1,08^t

Через 5 лет: S(5) = 50 000 · 1,08⁵ = 50 000 · 1,469 ≈ 73 466 рублей 💰

Пример 3: Радиоактивный распад (убывающая функция)

Период полураспада радия-226 составляет 1600 лет. Если изначально было 100 г, сколько останется через 3200 лет?

Решение:

Начальная масса: m₀ = 100 г
Каждые 1600 лет масса уменьшается в 2 раза
Функция: m(t) = m₀ · (1/2)^(t/1600) = 100 · (0,5)^(t/1600)

Через 3200 лет: m(3200) = 100 · (0,5)^(3200/1600) = 100 · (0,5)² = 100 · 0,25 = 25 г ☢️

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Вычисли значение функции f(x) = 3^x при x = 4

💡 Подсказка

3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3

✅ Ответ

f(4) = 3⁴ = 81

Задание 2: У стримера 500 подписчиков. Каждый месяц их количество увеличивается в 1,5 раза. Сколько будет через 3 месяца?

💡 Подсказка

Используй формулу f(t) = 500 · 1,5^t

✅ Ответ

f(3) = 500 · 1,5³ = 500 · 3,375 = 1687,5 ≈ 1688 подписчиков

Задание 3: Найди f(0) для функции f(x) = 7^x

💡 Подсказка

Любое число в нулевой степени равно единице

✅ Ответ

f(0) = 7⁰ = 1

Задание 4: Построй схематично график функции y = (1/3)^x. Возрастает она или убывает?

💡 Подсказка

Основание меньше единицы - значит функция убывает

✅ Ответ

Функция убывает, график идёт слева направо вниз, проходит через (0;1)

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Капитал удваивается каждые 10 лет при постоянной процентной ставке. Какой процент годовых в банке?

💡 Подсказка

Если через 10 лет S = 2S₀, то S₀(1+r)¹⁰ = 2S₀

✅ Ответ

(1+r)¹⁰ = 2, отсюда r = ¹⁰√2 - 1 ≈ 0,0718 = 7,18%

Задание 6: При каком значении x функция f(x) = 4^x принимает значение 64?

💡 Подсказка

Реши уравнение 4^x = 64. Представь оба числа как степени двойки!

✅ Ответ

4^x = 64, (2²)^x = 2⁶, 2^(2x) = 2⁶, значит 2x = 6, x = 3

Задание 7: Сравни значения: 2^10 и 3^6

💡 Подсказка

Посчитай оба значения и сравни

✅ Ответ

2¹⁰ = 1024, 3⁶ = 729, значит 2¹⁰ > 3⁶

Задание 8: Население города убывает на 5% каждый год. За сколько лет оно уменьшится вдвое?

💡 Подсказка

Нужно решить уравнение 0,95^t = 0,5

✅ Ответ

Примерно через 13,5 лет

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи, что для любого a > 1 функция f(x) = a^x возрастает на всей области определения.

💡 Подсказка

Используй определение возрастающей функции: если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂)

✅ Ответ

Пусть x₁ < x₂. Тогда x₂ - x₁ > 0, значит a^(x₂-x₁) > 1. Получаем: a^x₂ = a^x₁ · a^(x₂-x₁) > a^x₁

Задание 10: Найди все значения параметра a, при которых уравнение a^x = x имеет ровно два решения.

💡 Подсказка

Построй графики y = a^x и y = x. Когда они пересекаются в двух точках?

✅ Ответ

При 1 < a < e^(1/e) ≈ 1,445

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: “0^0 = 1, как любое число в нулевой степени” ✅ Правильно: 0^0 - неопределённость! В показательной функции основание a > 0, a ≠ 1 💡 Почему: При a = 0 или a = 1 функция теряет свои характерные свойства

❌ Ошибка: “Показательная функция может принимать отрицательные значения” ✅ Правильно: a^x > 0 для любых a > 0 и x ∈ ℝ 💡 Почему: Положительное число в любой степени остаётся положительным

❌ Ошибка: При решении 2^x = 8 писать x = 8/2 = 4 ✅ Правильно: 2^x = 8 = 2³, значит x = 3 💡 Почему: Показатель степени - это не множитель, а степень!

❌ Ошибка: Путать экспоненциальный и линейный рост ✅ Правильно: При экспоненциальном росте прирост пропорционален текущему значению 💡 Почему: В реальности это означает, что “богатые богатеют быстрее бедных”

❌ Ошибка: Забывать про асимптоту y = 0 ✅ Правильно: График приближается к оси x, но никогда её не пересекает 💡 Почему: a^x не может равняться нулю ни при каком конечном x

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Показательная функция f(x) = a^x описывает процессы пропорционального роста или убывания ✅ Ключевая особенность: При a > 1 растёт взрывообразно, при 0 < a < 1 быстро убывает
✅ Где применяется: Проценты, демография, физика, биология, IT (алгоритмы, криптография)

🔗 Связь с другими темами

🔙 Откуда пришли: Степени с натуральными показателями → степени с рациональными показателями → степени с действительными показателями

🔜 Куда идём: Логарифмы (обратная функция), производная показательной функции, дифференциальные уравнения, математическое моделирование

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку