Десятичный и натуральный логарифм

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты разрабатываешь мобильное приложение и измеряешь звук микрофоном 🎤. Громкость в 10 раз больше - это всего +20 дБ (децибел). А если в 1000 раз громче? Всего +60 дБ! Это работа десятичного логарифма - он сжимает огромные диапазоны в удобные числа.

А когда банк начисляет проценты непрерывно (каждую секунду!), в формуле появляется загадочное число e ≈ 2,718… и натуральный логарифм. Именно они описывают рост популярности в TikTok, радиоактивный распад и зарядку батареи телефона! 📱

📚 История вопроса

В 1617 году шотландский математик Генри Бриггс придумал логарифмы по основанию 10 - их стали называть десятичными. Зачем? До калькуляторов математики считали вручную, и умножить 456 × 789 было кошмаром! А с логарифмами: lg(456 × 789) = lg(456) + lg(789) - сложение вместо умножения! 🎉

Натуральные логарифмы появились позже, когда открыли число e. Оказалось, что природа “предпочитает” именно это основание - от роста бактерий до затухания колебаний!

💡 Интуиция

Десятичный логарифм lg(x) отвечает на вопрос: “В какую степень нужно возвести 10, чтобы получить x?”

• lg(100) = 2, потому что 10² = 100
• lg(1000) = 3, потому что 10³ = 1000
• lg(10) = 1, потому что 10¹ = 10

[МЕДИА: image_01] Описание: График функции y = lg(x) с отмеченными ключевыми точками Промпт: “graph of decimal logarithm function y = lg(x), marked points (1,0), (10,1), (100,2), grid lines, blue curve, educational math illustration, clean modern style”

Натуральный логарифм ln(x) работает так же, но с основанием e ≈ 2,718:

• ln(e) = 1, потому что e¹ = e
• ln(e²) = 2, потому что e² = e²
• ln(1) = 0, потому что e⁰ = 1

Число e - это предел (1 + 1/n)ⁿ при n → ∞. Если вклад в банк растёт непрерывно, то через t лет будет A·eʳᵗ рублей!

📐 Формальное определение

Десятичный логарифм: lg(x) = log₁₀(x)

Натуральный логарифм:
ln(x) = logₑ(x), где e ≈ 2,718281828…

Основные свойства (такие же, как у обычных логарифмов):

• lg(xy) = lg(x) + lg(y)
• lg(x/y) = lg(x) - lg(y)
• lg(xⁿ) = n·lg(x)
• lg(10) = 1, lg(1) = 0
• ln(e) = 1, ln(1) = 0

[МЕДИА: image_02] Описание: Сравнение графиков десятичного и натурального логарифмов Промпт: “comparison graph showing both lg(x) and ln(x) functions on same coordinate system, different colors (blue and red), marked intersection points, grid, educational mathematical illustration”

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Децибелы в наушниках 🎧

Громкость звука измеряется в децибелах: L = 20·lg(I/I₀)

Если интенсивность звука увеличилась в 100 раз, на сколько децибел стало громче?

Решение: L = 20·lg(100) = 20·lg(10²) = 20·2 = 40 дБ

Вот почему переход от шёпота (30 дБ) к крику (70 дБ) - это увеличение интенсивности в 10000 раз!

Пример 2: Зарядка телефона 📱

Когда батарея заряжается, напряжение растёт по формуле: U(t) = U₀(1 - e^(-t/RC))

За сколько времени зарядится до 95% от максимума?

Решение: 0,95 = 1 - e^(-t/RC) e^(-t/RC) = 0,05 -t/RC = ln(0,05) t = -RC·ln(0,05) = RC·ln(20) ≈ 3RC

Пример 3: Вычисление логарифмов

Найди lg(0,001) и ln(e³)

Решение: lg(0,001) = lg(10⁻³) = -3 ln(e³) = 3·ln(e) = 3·1 = 3

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Вычисли: lg(10000)

Задание 2: Найди ln(e⁵)

Задание 3: Вычисли lg(√10)

Задание 4: Реши уравнение lg(x) = 3

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди x, если ln(x) = 2

Задание 6: Упрости: lg(100x) - lg(x)

Задание 7: Реши: 2lg(x) = lg(9)

Задание 8: Найди область определения: y = ln(2x - 6)

Челлендж 🔴

Задание 9: В банке деньги растут по формуле A = P·e^(rt). За сколько лет удвоится вклад при ставке 5% годовых?

Задание 10: Интенсивность землетрясения: M = lg(I/I₀). На сколько баллов отличаются землетрясения с интенсивностью, отличающейся в 1000 раз?

Задание 11: Реши систему: lg(x) + lg(y) = 2 ln(x/y) = ln(5)

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: lg(x + y) = lg(x) + lg(y)
✅ Правильно: lg(xy) = lg(x) + lg(y) 💡 Почему: Логарифм суммы НЕ равен сумме логарифмов!

❌ Ошибка: ln(-5) = ? ✅ Правильно: Не существует в действительных числах 💡 Почему: Логарифм определён только для положительных чисел

❌ Ошибка: lg(10x) = 10·lg(x) ✅ Правильно: lg(10x) = lg(10) + lg(x) = 1 + lg(x)
💡 Почему: Путают произведение под логарифмом и степень

❌ Ошибка: e ≈ 3,14 ✅ Правильно: e ≈ 2,718 (это не π!) 💡 Почему: Число e - основание натурального логарифма, π - отношение длины к диаметру

❌ Ошибка: ln(x²) всегда равно 2ln(x) ✅ Правильно: ln(x²) = 2ln(|x|) для любого x ≠ 0 💡 Почему: При x < 0 нужна осторожность с областью определения

🎓 Главное запомнить

✅ lg(x) = log₁₀(x), lg(10) = 1 ✅ ln(x) = logₑ(x), ln(e) = 1, где e ≈ 2,718
✅ Используются в физике, технике, экономике для описания роста и затухания

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Свойства логарифмов (урок 117), показательная функция Куда ведут: Логарифмические уравнения, производная логарифма, интегрирование