🔴 Сложный ⏱️ 25 минут

Логарифмические неравенства: правила игры

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты настраиваешь громкость музыки в наушниках 🎧. Шкала громкости измеряется в децибелах - это логарифмическая шкала! Когда ты хочешь, чтобы звук был не громче 85 дБ (безопасный уровень), ты решаешь логарифмическое неравенство.

То же самое с pH кислотности в бассейне 🏊‍♂️, с силой землетрясений по шкале Рихтера, и даже с алгоритмами поиска в Google! Логарифмические неравенства везде вокруг нас.

💡 Интуиция

Главная хитрость логарифмических неравенств: знак может “переворачиваться”! 🔄

Это как с температурой: если на улице холоднее, чем в комнате, то надеваем куртку потеплее. Но если мы говорим о морозильнике, то “холоднее” означает более отрицательную температуру - и логика меняется!

С логарифмами похоже: всё зависит от того, больше или меньше единицы основание логарифма.

[МЕДИА: image_01] Описание: Сравнение поведения функций y = log₂(x) и y = log₀.₅(x), показывающее разную монотонность Промпт: “educational graph showing two logarithmic functions with different bases, one increasing (base > 1) and one decreasing (base < 1), clear axis labels, contrasting colors, mathematical visualization”

📐 Формальное определение

При решении логарифмического неравенства log_a(f(x)) ◊ log_a(g(x)) (где ◊ - знак неравенства):

Если a > 1: логарифм возрастает, знак неравенства сохраняется log_a(f(x)) > log_a(g(x)) ⟺ f(x) > g(x)

Если 0 < a < 1: логарифм убывает, знак неравенства меняется на противоположный log_a(f(x)) > log_a(g(x)) ⟺ f(x) < g(x)

Обязательное условие: f(x) > 0 и g(x) > 0 (область определения)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: log₃(x - 1) > log₃(2x - 5)

Шаг 1: Область определения

x - 1 > 0 → x > 1
2x - 5 > 0 → x > 2.5
Общая ОДЗ: x > 2.5

Шаг 2: Основание a = 3 > 1, значит логарифм возрастает Знак неравенства сохраняется: x - 1 > 2x - 5

Шаг 3: Решаем линейное неравенство x - 1 > 2x - 5 -x > -4 x < 4

Шаг 4: Пересекаем с ОДЗ x ∈ (2.5; 4)

Пример 2: log₀.₂(x² - 4) ≤ log₀.₂(3x)

Шаг 1: ОДЗ

x² - 4 > 0 → |x| > 2 → x ∈ (-∞; -2) ∪ (2; +∞)
3x > 0 → x > 0
Общая ОДЗ: x ∈ (2; +∞)

Шаг 2: Основание a = 0.2 < 1, логарифм убывает Знак меняется: x² - 4 ≥ 3x

Шаг 3: Решаем квадратное неравенство x² - 3x - 4 ≥ 0 (x - 4)(x + 1) ≥ 0 x ∈ (-∞; -1] ∪ [4; +∞)

Шаг 4: Пересекаем с ОДЗ x ∈ [4; +∞)

[МЕДИА: image_02] Описание: Графическое решение логарифмического неравенства с основанием меньше 1 Промпт: “mathematical diagram showing solution of logarithmic inequality with base less than 1, number line with intervals, sign analysis, educational style, clear markings”

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Реши неравенство log₅(x + 3) > log₅(x - 1)

💡 Подсказка

Основание больше 1, знак сохраняется!

✅ Ответ

ОДЗ: x > 1; x + 3 > x - 1 → 3 > -1 (всегда верно); Ответ: x ∈ (1; +∞)

Задание 2: log₂(x) ≤ 3

💡 Подсказка

Перейди к показательной форме: x ≤ 2³

✅ Ответ

x ∈ (0; 8]

Задание 3: log₀.₃(2x - 1) > log₀.₃(x + 4)

💡 Подсказка

Основание меньше 1 - знак меняется!

✅ Ответ

ОДЗ: x > 0.5; 2x - 1 < x + 4 → x < 5; Ответ: x ∈ (0.5; 5)

Задание 4: log₄(x² - 1) ≥ 1

💡 Подсказка

1 = log₄(4)

✅ Ответ

ОДЗ: |x| > 1; x² - 1 ≥ 4 → |x| ≥ √5; Ответ: x ∈ (-∞; -√5] ∪ [√5; +∞)

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: log₃(x + 1) + log₃(x - 2) ≤ 1

💡 Подсказка

Используй свойство логарифмов: log_a(m) + log_a(n) = log_a(mn)

✅ Ответ

ОДЗ: x > 2; log₃((x+1)(x-2)) ≤ log₃(3); (x+1)(x-2) ≤ 3; x ∈ (2; 3]

Задание 6: log₀.₅²(x) > 4

💡 Подсказка

log₀.₅²(x) = (log₀.₅(x))²

✅ Ответ

|log₀.₅(x)| > 2; x ∈ (0; 0.25) ∪ (4; +∞)

Задание 7: log₂(x - 3) ≥ log₄(x - 3)

💡 Подсказка

Приведи к одному основанию: log₄(t) = ½log₂(t)

✅ Ответ

ОДЗ: x > 3; log₂(x-3) ≥ ½log₂(x-3); x ∈ (3; 4]

Задание 8: (log₃(x))² - log₃(x) - 2 ≤ 0

💡 Подсказка

Замена: t = log₃(x), получится квадратное неравенство

✅ Ответ

t ∈ [-1; 2] → log₃(x) ∈ [-1; 2] → x ∈ [1/3; 9]

Челлендж 🔴

Задание 9: log_{x}(8) > log_{x}(4)

💡 Подсказка

Основание x может быть больше или меньше 1!

✅ Ответ

Если x > 1: 8 > 4 (верно); если 0 < x < 1: 8 < 4 (неверно); Ответ: x > 1

Задание 10: |log₂(x - 1)| < 2

💡 Подсказка

Двойное неравенство: -2 < log₂(x - 1) < 2

✅ Ответ

1/4 < x - 1 < 4 → x ∈ (1.25; 5)

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Забывают найти ОДЗ ✅ Правильно: Сначала всегда находим, где выражения под логарифмом положительны 💡 Почему: Логарифм не определен для неположительных чисел

❌ Ошибка: Не учитывают, больше или меньше 1 основание ✅ Правильно: При a < 1 знак неравенства меняется на противоположный 💡 Почему: Убывающая функция “переворачивает” неравенства

❌ Ошибка: При переходе к показательной форме теряют ОДЗ ✅ Правильно: Всегда пересекаем решение с областью определения 💡 Почему: Не все решения алгебраического неравенства подходят исходному

❌ Ошибка: В неравенствах вида log_x(a) > log_x(b) не рассматривают случай 0 < x < 1 ✅ Правильно: Разбираем два случая: x > 1 и 0 < x < 1 💡 Почему: При разных значениях основания монотонность логарифма разная

🎓 Главное запомнить

✅ Всегда начинаем с ОДЗ - выражения под логарифмом должны быть положительны ✅ При a > 1 знак сохраняется, при 0 < a < 1 знак меняется ✅ Финальный ответ - пересечение решения с ОДЗ

🔗 Связь с другими темами

Логарифмические неравенства тесно связаны с показательными неравенствами (урок 120) - часто одно можно свести к другому. В дальнейшем пригодятся при изучении производной показательной и логарифмической функций, а также при решении задач с параметрами.

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку