Показательная функция в задачах роста и распада

🎯 Зачем это нужно?

Представь: ты запустил видео в TikTok, и оно начало набирать просмотры 📱. Сначала медленно, потом всё быстрее - это экспоненциальный рост!

А теперь другая ситуация: заряд твоего телефона садится. Первые 50% разряжаются за час, следующие 25% - за следующий час, потом ещё 12.5%… Это экспоненциальный распад!

💰 Банки используют это для расчёта вкладов и кредитов 🦠 Эпидемиологи - для прогноза распространения вирусов
☢️ Физики - для расчёта радиоактивного распада 📈 Маркетологи - для прогноза роста аудитории

📚 История вопроса

В 1798 году английский учёный Томас Мальтус заметил странную закономерность: население растёт не линейно (не на одно и то же число каждый год), а показательно - каждый год на определённый процент от текущего числа!

Это открытие перевернуло понимание многих процессов в природе и обществе. Оказалось, что по этому же закону растут бактерии, распространяются эпидемии, накапливаются деньги на депозите… 🤯

💡 Интуиция

Экспоненциальный рост 📈

Ключевая идея: каждый период величина увеличивается в одно и то же количество раз

Например, если подписчиков в Instagram становится больше на 20% каждую неделю:

• Неделя 0: 1000 подписчиков
• Неделя 1: 1000 × 1.2 = 1200
• Неделя 2: 1200 × 1.2 = 1440
• Неделя 3: 1440 × 1.2 = 1728

Формула: N(t) = N₀ × 1.2ᵗ

Экспоненциальный распад 📉

Здесь каждый период величина уменьшается в одно и то же количество раз

Концентрация лекарства в крови снижается на 30% каждый час:

• Час 0: 100 мг
• Час 1: 100 × 0.7 = 70 мг
• Час 2: 70 × 0.7 = 49 мг
• Час 3: 49 × 0.7 = 34.3 мг

Формула: C(t) = C₀ × 0.7ᵗ

[МЕДИА: image_01] Описание: Графики экспоненциального роста и распада на одной координатной плоскости Промпт: “mathematical graphs showing exponential growth and decay curves, one increasing curve in green, one decreasing curve in red, clear axes labels, grid background, educational style, modern clean design”

📐 Формальное определение

Общая модель роста/распада:

N(t) = N₀ × aᵗ

Где:

• N(t) - величина в момент времени t
• N₀ - начальная величина (при t = 0)
• a - основание (коэффициент изменения)
• t - время

Виды процессов:

🟢 Рост: a > 1 (например, a = 1.05 означает рост на 5% за период) 🔴 Распад: 0 < a < 1 (например, a = 0.8 означает убыль на 20% за период)

Альтернативная запись через проценты:

• Рост на p%: N(t) = N₀ × (1 + p/100)ᵗ
• Убыль на p%: N(t) = N₀ × (1 - p/100)ᵗ

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Рост популярности канала на YouTube 📺

Условие: На канале было 5000 подписчиков. Каждый месяц количество подписчиков увеличивается на 15%. Сколько подписчиков будет через полгода?

Решение:

• N₀ = 5000 (начальное количество)
• Рост на 15% означает умножение на 1.15
• t = 6 месяцев

N(6) = 5000 × 1.15⁶ = 5000 × 2.321 ≈ 11 605 подписчиков

Ответ: Через полгода будет примерно 11 605 подписчиков

Пример 2: Выведение кофеина из организма ☕

Условие: После энергетика в крови 160 мг кофеина. Каждый час концентрация уменьшается на 25%. Через сколько часов концентрация станет меньше 20 мг?

Решение:

• C₀ = 160 мг
• Убыль на 25% означает умножение на 0.75
• Нужно найти t, когда C(t) < 20

Составим неравенство: 160 × 0.75ᵗ < 20 0.75ᵗ < 20/160 = 0.125

Логарифмируем: t × ln(0.75) < ln(0.125) t > ln(0.125)/ln(0.75) ≈ 7.2 часа

Ответ: Через 8 часов концентрация станет меньше 20 мг

[МЕДИА: image_02] Описание: График убывания концентрации кофеина с отмеченными ключевыми точками Промпт: “decay curve showing caffeine concentration over time, starting at 160mg, decreasing exponentially, horizontal line at 20mg marking the threshold, time axis up to 10 hours, medical/scientific style visualization”

Пример 3: Сложный процент на депозите 💳

Условие: Положили 50 000 рублей под 8% годовых с ежемесячным начислением процентов. Какая сумма будет через 2 года?

Решение: При ежемесячном начислении процентная ставка делится на 12:

• Месячная ставка = 8%/12 ≈ 0.667% = 0.00667
• Количество периодов = 2 × 12 = 24 месяца

S(24) = 50000 × (1 + 0.08/12)²⁴ = 50000 × 1.00667²⁴ ≈ 58 687 рублей

Ответ: Через 2 года на счету будет около 58 687 рублей

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Количество лайков под постом растёт на 30% каждый день. Если сейчас 200 лайков, сколько будет через 3 дня?

Задание 2: Радиоактивное вещество распадается так, что каждый год его масса уменьшается в 2 раза. Было 80 грамм. Сколько останется через 4 года?

Задание 3: Депозит 100 000 рублей под 6% годовых. Какая сумма через 5 лет?

Продвинутый уровень 🟡

Задание 4: Популяция бактерий удваивается каждые 20 минут. Если сейчас 500 бактерий, сколько их будет через 2 часа?

Задание 5: Стоимость автомобиля уменьшается на 12% в год. Купили за 1 500 000 руб. Через сколько лет стоимость станет меньше 800 000 руб?

Задание 6: При какой процентной ставке депозит в 200 000 руб за 3 года превратится в 250 000 руб?

Челлендж 🔴

Задание 7: Два стартапа начали с одинакового числа пользователей. Первый растёт на 20% в месяц, второй - на 50% в квартал. Какой обгонит другого через год?

Задание 8: Период полураспада йода-131 составляет 8 дней. Через сколько дней останется 5% от первоначального количества?

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: При росте на 20% умножают на 0.2 ✅ Правильно: При росте на 20% умножают на 1.2 💡 Почему: Рост означает “было 100%, стало 120%”

❌ Ошибка: При убыли на 30% умножают на 0.3
✅ Правильно: При убыли на 30% умножают на 0.7 💡 Почему: Убыль означает “было 100%, стало 70%”

❌ Ошибка: Путают годовую и месячную ставки ✅ Правильно: При ежемесячном начислении годовую ставку делят на 12 💡 Почему: Процент начисляется каждый месяц, а не раз в год

🎓 Главное запомнить

✅ Экспоненциальный рост/распад: N(t) = N₀ × aᵗ ✅ Рост на p%: умножаем на (1 + p/100) ✅ Убыль на p%: умножаем на (1 - p/100)
✅ Применяется везде: от финансов до биологии

🔗 Связь с другими темами

Назад: В уроке 124 изучали свойства показательной функции - теперь видим, как она работает в реальных задачах

Вперёд: Логарифмы помогут решать обратные задачи - находить время по заданному результату. А в математическом анализе узнаем про производную показательной функции и её роль в моделировании скорости процессов