Арифметическая прогрессия: секреты линейного роста

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты копишь деньги на новый айфон 📱. Каждую неделю откладываешь ровно 2000 рублей. Или твоя зарплата растёт на 5% каждый год. Или спортсмен каждую тренировку увеличивает количество отжиманий на 3. Во всех этих случаях работает арифметическая прогрессия!

Это не просто школьная абстракция - это математическая модель любого равномерного изменения: роста цен, планирования бюджета, расчёта кредитов, анализа трендов в социальных сетях 📈.

📚 История вопроса

Ещё древние египтяне использовали арифметические прогрессии при строительстве пирамид - им нужно было рассчитывать количество каменных блоков для каждого уровня! А великий Гаусс в 6 лет за несколько секунд сложил числа от 1 до 100, используя формулу суммы арифметической прогрессии. Учитель думал занять класс на полчаса, а Гаусс выдал ответ: 5050! 🤯

💡 Интуиция

Арифметическая прогрессия - это как подъём по лестнице с одинаковыми ступенями. Каждый следующий “шаг” больше предыдущего на одно и то же число. Это число называется разностью прогрессии (обозначается d).

🔹 Если d > 0 - последовательность растёт (твои накопления)
🔹 Если d < 0 - последовательность убывает (заряд батареи телефона)
🔹 Если d = 0 - все элементы одинаковые

[МЕДИА: image_01] Описание: График арифметической прогрессии в виде лестницы с одинаковыми ступенями, показывающий рост с постоянной разностью Промпт: “educational illustration showing arithmetic progression as stairs with equal steps, linear growth pattern, colorful modern design, mathematical points connected by lines, suitable for high school students”

📐 Формальное определение

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, каждый член которой (начиная со второго) равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Основные формулы:

🔸 n-й член: aₙ = a₁ + (n-1)d
🔸 Разность: d = aₙ₊₁ - aₙ
🔸 Сумма n членов: Sₙ = n/2 · (2a₁ + (n-1)d) = n/2 · (a₁ + aₙ)

Где:

• a₁ - первый член
• d - разность прогрессии
• n - номер члена
• aₙ - n-й член
• Sₙ - сумма первых n членов

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Копим на айфон 💰

Ты решил копить на iPhone за 120 000₽. В первую неделю отложил 1000₽, каждую следующую неделю добавляешь на 500₽ больше предыдущей.

Найдём: За сколько недель накопишь нужную сумму?

Решение:

• a₁ = 1000₽ (первая неделя)
• d = 500₽ (еженедельное увеличение)
• Sₙ = 120 000₽ (цель)

Используем формулу суммы: 120 000 = n/2 · (2·1000 + (n-1)·500)

120 000 = n/2 · (2000 + 500n - 500) = n/2 · (1500 + 500n)

240 000 = n(1500 + 500n) = 1500n + 500n²

500n² + 1500n - 240 000 = 0 n² + 3n - 480 = 0

Решая квадратное уравнение: n = 21 неделя (≈ 5 месяцев)

[МЕДИА: image_02] Описание: График накопления денег по неделям, показывающий параболическую кривую суммы арифметической прогрессии Промпт: “financial growth chart showing weekly savings accumulation, parabolic curve reaching iPhone price target, modern infographic style, blue and green colors, money symbols”

Пример 2: Рост подписчиков в TikTok 📱

Твой TikTok-аккаунт набирает популярность. В первый день у тебя 50 подписчиков, каждый день количество подписчиков увеличивается на 15.

Найдём: Сколько подписчиков будет через 30 дней?

Решение:

• a₁ = 50
• d = 15
• n = 30

aₙ = a₁ + (n-1)d = 50 + (30-1)·15 = 50 + 29·15 = 50 + 435 = 485 подписчиков

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: В арифметической прогрессии a₁ = 7, d = 3. Найди a₁₀.

Задание 2: Найди разность прогрессии, если a₃ = 11, a₇ = 23.

Задание 3: Стартап в первый месяц заработал 50 000₽, каждый следующий месяц доход увеличивался на 8 000₽. Какой доход будет в 12-м месяце?

Задание 4: Найди сумму первых 15 членов прогрессии: 2, 5, 8, 11, …

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Между числами 3 и 27 вставь 5 чисел так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.

Задание 6: В арифметической прогрессии S₈ = 192, S₁₆ = 640. Найди a₁ и d.

Задание 7: Спортсмен планирует пробегать в первую неделю 10 км, увеличивая еженедельно дистанцию на 2 км. За сколько недель он пробежит в общей сложности 420 км?

Задание 8: Доказать, что если aₙ, bₙ, cₙ - арифметические прогрессии, то (aₙ + bₙ + cₙ) тоже арифметическая прогрессия.

Челлендж 🔴

Задание 9: В арифметической прогрессии сумма 6-го и 9-го членов равна 20, а произведение 4-го и 11-го членов равно 56. Найди первый член и разность прогрессии.

Задание 10: Найди все значения x, при которых числа x², (x+1)², (x+3)² образуют арифметическую прогрессию.

Задание 11: Блогер публикует видео по схеме: в 1-й день - 1 видео, во 2-й - 3 видео, в 3-й - 5 видео и т.д. В какой день общее количество видео превысит 1000?

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают формулы n-го члена и суммы
✅ Правильно: aₙ для одного элемента, Sₙ для суммы нескольких
💡 Почему: Это разные задачи - “найти конкретный элемент” vs “найти сумму элементов”

❌ Ошибка: Забывают про (n-1) в формуле n-го члена
✅ Правильно: aₙ = a₁ + (n-1)d, а не a₁ + nd
💡 Почему: От a₁ до aₙ делаем (n-1) “шагов” размером d

❌ Ошибка: Неправильно определяют разность d
✅ Правильно: d = aₙ₊₁ - aₙ (следующий минус текущий)
💡 Почему: Разность показывает, на сколько увеличивается каждый следующий член

❌ Ошибка: При решении задач на сумму забывают проверить знак дискриминанта
✅ Правильно: Проверяют, что получилось положительное целое число
💡 Почему: Номер члена последовательности не может быть отрицательным или дробным

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Каждый следующий член больше предыдущего на постоянную разность d ✅ Ключевые формулы: aₙ = a₁ + (n-1)d и Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ)
✅ Применение: Любые процессы с постоянным приростом - от накоплений до роста популярности

🔗 Связь с другими темами

Арифметическая прогрессия - это основа для понимания геометрической прогрессии (урок 128), где вместо сложения используется умножение. Также она тесно связана с линейными функциями - график членов арифметической прогрессии лежит на прямой!

В будущем это поможет в изучении пределов последовательностей, арифметических рядов и математического анализа. А в жизни - везде, где есть планирование и прогнозирование! 🚀