Геометрическая прогрессия: когда числа растут в геометрии

🎯 Зачем это нужно?

Представь: ты выложил мем в TikTok, и он набрал 10 лайков 📱. На следующий день — 50 лайков (в 5 раз больше!), потом 250, потом 1250… Поздравляю, твой контент “взорвался” по закону геометрической прогрессии!

А ещё это работает в:

• 💰 Банковских вкладах — сложный процент удваивает деньги каждые несколько лет
• 🦠 Распространении вирусов — один заражённый заражает двоих, те — четверых…
• 🎮 Игровой экономике — цена улучшений растёт в геометрической прогрессии
• 📊 IT-стартапах — количество пользователей может расти экспоненциально

📚 История вопроса

Легенда гласит, что изобретатель шахмат попросил у индийского царя награду: на первую клетку доски положить 1 зерно риса, на вторую — 2, на третью — 4, и так далее, удваивая каждый раз. Царь согласился, думая, что это пустяк. А зря! На 64-й клетке должно было лежать 2⁶³ зёрен — это больше, чем весь рис в мире! 🌾

Вот она, сила геометрической прогрессии!

💡 Интуиция

Арифметическая прогрессия — это как подниматься по лестнице: каждый шаг одинаковый (+3, +3, +3…)

Геометрическая прогрессия — это как размножение кроликов: каждое поколение увеличивается в несколько раз (×2, ×2, ×2…)

[МЕДИА: image_01] Описание: Сравнение роста арифметической и геометрической прогрессии на графике Промпт: “educational comparison chart showing arithmetic vs geometric progression growth, linear vs exponential curves, clean modern style, bright colors, mathematical visualization for high school students”

📐 Формальное определение

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число.

Это число называется знаменателем прогрессии и обозначается q.

Если первый член a₁, то:

• a₂ = a₁ · q
• a₃ = a₂ · q = a₁ · q²
• a₄ = a₃ · q = a₁ · q³
• …

Формула n-го члена:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Формула суммы первых n членов:

Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1)/(q - 1) при q ≠ 1

Sₙ = n · a₁ при q = 1

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Вирусный пост в соцсетях

Твой пост посмотрели 100 человек в первый день. Каждый день аудитория утраивается. Сколько просмотров будет на 5-й день?

Решение:

• a₁ = 100 (первый день)
• q = 3 (утраивается)
• n = 5 (пятый день)

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ = 100 · 3⁵⁻¹ = 100 · 3⁴ = 100 · 81 = 8100

Ответ: 8100 просмотров

Пример 2: Банковский вклад

Положил 10000 рублей под 20% годовых. Сколько будет через 4 года при сложном проценте?

Решение: Каждый год сумма умножается на 1.2 (100% + 20% = 120% = 1.2)

• a₁ = 10000
• q = 1.2
• n = 4

a₄ = 10000 · 1.2³ = 10000 · 1.728 = 17280

Ответ: 17280 рублей

[МЕДИА: image_02] Описание: График роста банковского вклада по сложному проценту Промпт: “financial chart showing compound interest growth over time, exponential curve, money symbols, professional banking style, clear axis labels, educational visualization”

Пример 3: Сумма геометрической прогрессии

Найди сумму: 2 + 6 + 18 + 54 + 162

Решение:

• a₁ = 2
• q = 6/2 = 3
• n = 5

Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1)/(q - 1) = 2 · (3⁵ - 1)/(3 - 1) = 2 · (243 - 1)/2 = 2 · 242/2 = 242

Ответ: 242

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: В геометрической прогрессии a₁ = 5, q = 2. Найди a₆.

Задание 2: Найди знаменатель прогрессии: 3, 12, 48, 192…

Задание 3: Канал на YouTube набирает по 1000 подписчиков в первый месяц. Каждый месяц прирост удваивается. Сколько новых подписчиков в 4-м месяце?

Задание 4: Найди сумму первых 4 членов прогрессии: 1, 3, 9, 27…

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: В геометрической прогрессии a₃ = 12, a₅ = 48. Найди a₁ и q.

Задание 6: Вклад в банке за год увеличился с 50000 до 60000 рублей. Какая сумма будет через 3 года от начала?

Задание 7: Между числами 2 и 18 вставь два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Задание 8: Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 26, а их произведение равно 216. Найди эти числа.

Челлендж 🔴

Задание 9: В игре каждый уровень стоит в 1.5 раза дороже предыдущего. Если первый уровень стоит 100 монет, а у тебя есть 2000 монет, на сколько уровней хватит денег?

Задание 10: Бактерия делится каждый час. Через сколько часов из одной бактерии получится больше миллиона?

Задание 11: Найди сумму: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … (первые 10 членов)

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают арифметическую и геометрическую прогрессии ✅ Правильно: В арифметической ПРИБАВЛЯЕМ одно и то же, в геометрической — УМНОЖАЕМ 💡 Почему: Названия похожи, но принципы разные!

❌ Ошибка: В формуле aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ забывают степень n-1 ✅ Правильно: Запомни: для n-го члена степень знаменателя на 1 меньше 💡 Почему: a₁ уже дан, поэтому умножаем только (n-1) раз

❌ Ошибка: При q = 1 используют формулу с дробью ✅ Правильно: При q = 1 все члены одинаковы, поэтому Sₙ = n · a₁ 💡 Почему: При q = 1 в знаменателе получается 0, формула не работает

❌ Ошибка: Неправильно находят знаменатель q = aₙ/a₁
✅ Правильно: q = a₂/a₁ = a₃/a₂ = aₙ₊₁/aₙ 💡 Почему: Знаменатель — это отношение соседних членов

❌ Ошибка: Забывают проверить, действительно ли последовательность геометрическая ✅ Правильно: Всегда проверяй: все отношения aₙ₊₁/aₙ должны быть равны 💡 Почему: Иногда последовательность только выглядит геометрической

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Каждый член получается умножением предыдущего на q ✅ Формула: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ ✅ Сумма: Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1)/(q - 1) при q ≠ 1 ✅ Применение: Сложный процент, вирусный рост, размножение

🔗 Связь с другими темами

📈 Показательная функция — геометрическая прогрессия это функция y = a · qˣ в дискретных точках

🔢 Логарифмы — помогают найти, через сколько шагов прогрессия достигнет нужного значения

💰 Экономика — расчёт процентов, инфляции, роста инвестиций

🎯 Теория вероятностей — в задачах на независимые события