Сумма бесконечной геометрической прогрессии

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты запускаешь мяч и он отскакивает от пола, каждый раз поднимаясь на 3/4 от предыдущей высоты 🏀. Сколько всего пути пройдет мяч, если будет прыгать вечно? Или например, банк начисляет тебе проценты каждую секунду - какая будет итоговая сумма через год?

А еще эта тема объясняет, как работают алгоритмы сжатия видео в TikTok и YouTube - они используют бесконечные ряды для восстановления изображения! 📱

📚 История вопроса

Больше 2500 лет назад древнегреческий философ Зенон придумал знаменитый парадокс: “Ахиллес никогда не догонит черепаху”. Пока Ахиллес пробежит половину расстояния до черепахи, она уползет чуть дальше. Потом он пробежит половину оставшегося пути, а она снова уползет… И так бесконечно! 🐢

Получается, Ахиллес должен пробежать 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … километров. Но ведь он догоняет черепаху! Секрет в том, что бесконечная сумма может быть конечной.

💡 Интуиция

Возьмем квадрат со стороной 1. Раскрасим половину - получим 1/2. Потом половину от оставшегося - еще 1/4. Потом еще половину - 1/8. И так далее:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = ?

Интуитивно понятно, что мы закрасим весь квадрат, то есть сумма равна 1! ✨

[МЕДИА: image_01] Описание: Квадрат, постепенно закрашиваемый по принципу геометрической прогрессии Промпт: “educational illustration showing a square being progressively filled, first half colored blue, then quarter green, then eighth red, showing infinite geometric series visually, clean modern style, bright colors”

Но это работает не всегда! Если знаменатель прогрессии больше 1 по модулю, сумма “убежит” в бесконечность.

📐 Формальное определение

Для бесконечной геометрической прогрессии b₁, b₁q, b₁q², b₁q³, …

Условие сходимости: |q| < 1

Формула суммы: S = b₁/(1-q)

Если |q| ≥ 1, то сумма не существует (расходится).

Почему именно |q| < 1? Когда знаменатель меньше единицы по модулю, каждый следующий член становится все меньше и меньше, стремясь к нулю. Представь, что ты каждый день тратишь половину оставшихся денег - в конце концов у тебя будет почти ничего не осталось!

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Прыгающий мяч

Мяч падает с высоты 2 метра и отскакивает на 60% от предыдущей высоты. Какой путь он пройдет всего?

Решение:

• При падении: 2 м
• После первого отскока: 2·0,6 = 1,2 м (вверх) + 1,2 м (вниз) = 2,4 м
• После второго: 2·0,6² м (вверх и вниз) = 1,44 м
• И так далее…

Общий путь: S = 2 + 2·1,2 + 2·1,2·0,6 + 2·1,2·0,6² + … S = 2 + 2·1,2(1 + 0,6 + 0,6² + …)

Сумма в скобках: S₁ = 1/(1-0,6) = 1/0,4 = 2,5

Итого: S = 2 + 2·1,2·2,5 = 2 + 6 = 8 метров

[МЕДИА: image_02] Описание: Схема траектории прыгающего мяча с убывающими высотами Промпт: “diagram showing bouncing ball trajectory, decreasing heights following geometric progression, numbered bounces, mathematical annotations, educational physics illustration, clean design”

Пример 2: Банковский депозит

Банк начисляет 0,01% каждую минуту. Вложил 1000₽. Сколько будет через бесконечное время?

Внимание! Это НЕ геометрическая прогрессия, это сложный процент: A = 1000(1 + 0,0001)ⁿ → ∞ при n → ∞

А вот если банк каждую минуту доплачивает фиксированную сумму, уменьшающуюся в 2 раза: 1-я минута: +10₽, 2-я: +5₽, 3-я: +2,5₽…

Тогда дополнительная сумма: S = 10/(1-0,5) = 20₽

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди сумму ряда: 3 + 1,5 + 0,75 + 0,375 + …

Задание 2: Сходится ли ряд: 2 + 6 + 18 + 54 + …?

Задание 3: Мяч падает с высоты 3 м, отскакивает на 2/3 высоты. Общий путь?

Задание 4: Вычисли: 0,999… (в виде дроби)

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди все значения x, при которых сходится: x + x²/2 + x³/4 + x⁴/8 + …

Задание 6: Треугольник разделили на 4 части. Закрасили одну. Каждую из трех оставшихся разделили на 4 и закрасили по одной части. И так далее. Какая часть треугольника будет закрашена?

Задание 7: Улитка ползет по резинке длиной 1 м со скоростью 1 см/мин. Каждую минуту резинка растягивается на 1 м. Доползет ли улитка до конца?

Задание 8: Сумма бесконечной прогрессии равна 12, а первый член равен 8. Найди знаменатель.

Челлендж 🔴

Задание 9: Найди сумму: 1/(1·3) + 1/(3·5) + 1/(5·7) + … (подсказка: используй разложение на простейшие дроби)

Задание 10: Парадокс отеля Гильберта: в отеле бесконечно комнат, все заняты. Как разместить бесконечно новых гостей?

Задание 11: Докажи, что 0,142857142857… = 1/7

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Применяют формулу при |q| ≥ 1 ✅ Правильно: Сначала проверить условие сходимости |q| < 1 💡 Почему: При |q| ≥ 1 члены прогрессии не стремятся к нулю, сумма расходится

❌ Ошибка: Путают формулы для конечной и бесконечной прогрессии
✅ Правильно: Для бесконечной: S = b₁/(1-q), для конечной: S = b₁(qⁿ-1)/(q-1) 💡 Почему: Это принципиально разные объекты!

❌ Ошибка: Забывают модуль в условии |q| < 1 ✅ Правильно: При q = -0,5 тоже сходится, хоть знаки чередуются 💡 Почему: Важен размер члена, а не его знак

❌ Ошибка: Считают, что 0,999… меньше единицы ✅ Правильно: 0,999… = 1 точно, это доказано через геометрические ряды 💡 Почему: Это предельный переход, а не приближение

🎓 Главное запомнить

✅ Бесконечная сумма может быть конечной! ✅ Условие: |q| < 1, формула: S = b₁/(1-q)
✅ Применение: физика, экономика, программирование

🔗 Связь с другими темами

Эта тема - мостик к математическому анализу! Скоро изучишь пределы последовательностей, где увидишь, как формально обосновать наши “интуитивные” рассуждения. А в курсе рядов узнаешь про более сложные бесконечные суммы - степенные, тригонометрические ряды.

Также это основа для понимания фракталов, численных методов решения уравнений и даже квантовой механики! 🚀