Непрерывность функции: когда график можно нарисовать не отрывая карандаша

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты рисуешь график в приложении на планшете 📱. Если палец не отрывается от экрана - линия получается гладкая и красивая. А если поднял палец и поставил в другом месте - появился “скачок”! Вот так же работает непрерывность функций.

🎵 В музыке: Плавное изменение громкости vs резкий переход 🚗 В движении: Равномерная езда vs внезапное торможение
💰 В экономике: Плавный рост цен vs скачок после новостей

📚 История вопроса

В XVIII веке математики думали, что любую функцию можно задать формулой. Но потом появились “странные” функции - например, температура воздуха меняется плавно, а вот цена биткоина может “скакать” мгновенно! Коши и Вейерштрасс создали строгое определение непрерывности, чтобы разобраться с такими “скачками”.

💡 Интуиция

Непрерывная функция - это функция, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

[МЕДИА: image_01] Описание: Два графика рядом - один непрерывный (плавная кривая), другой с разрывом (скачок) Промпт: “two function graphs side by side, left showing continuous smooth curve in blue, right showing discontinuous function with jump in red, coordinate axes, educational math illustration, clean modern style”

Где функция НЕ непрерывна?

• Есть “дырка” в графике (точка выколота)
• Есть скачок (резкий переход на другой уровень)
• График уходит в бесконечность (вертикальная асимптота)

Житейская аналогия: Непрерывная функция как плавное движение лифта между этажами. Разрывная - как телепортация из 5-го этажа сразу на 10-й! 🛗

📐 Формальное определение

Функция f(x) непрерывна в точке x₀, если выполняются три условия:

1️⃣ Функция определена в точке: f(x₀) существует 2️⃣ Существует предел: lim(x→x₀) f(x) существует
3️⃣ Предел равен значению: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)

Односторонние пределы:

• Левый предел: lim(x→x₀⁻) f(x)
• Правый предел: lim(x→x₀⁺) f(x)

Для непрерывности нужно: lim(x→x₀⁻) f(x) = lim(x→x₀⁺) f(x) = f(x₀)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Проверим непрерывность f(x) = (x² - 4)/(x - 2) в точке x = 2

Шаг 1: Функция определена в x = 2? f(2) = (4 - 4)/(2 - 2) = 0/0 ❌ Не определена!

Шаг 2: Найдем предел при x → 2 lim(x→2) (x² - 4)/(x - 2) = lim(x→2) (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = lim(x→2) (x + 2) = 4

Вывод: Предел существует (равен 4), но функция не определена в точке. Это устранимый разрыв - “дырка” в графике.

[МЕДИА: image_02] Описание: График функции с устранимой особенностью в точке (2, 4) - пустой кружок Промпт: “graph of rational function with removable discontinuity, hole at point (2,4) shown as empty circle, smooth curve elsewhere, coordinate grid, mathematical illustration”

Пример 2: Функция с модулем f(x) = |x|/x в точке x = 0

Анализ:

• При x > 0: f(x) = x/x = 1
• При x < 0: f(x) = -x/x = -1
• При x = 0: f(0) не определена (деление на 0)

Односторонние пределы:

• lim(x→0⁺) f(x) = 1
• lim(x→0⁻) f(x) = -1

Вывод: Односторонние пределы разные - это разрыв первого рода (скачок).

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Проверь непрерывность f(x) = 3x + 1 в точке x = 2

Задание 2: Исследуй f(x) = x² - 5x + 6 в точке x = 3

Задание 3: Найди точки разрыва f(x) = 1/(x - 5)

Продвинутый уровень 🟡

Задание 4: Исследуй непрерывность: f(x) = {x + 1, если x < 2 {5, если x = 2
{2x - 1, если x > 2

Задание 5: При каком значении a функция будет непрерывной? f(x) = {x² + 1, если x ≤ 1 {ax + 2, если x > 1

Задание 6: Найди все точки разрыва f(x) = (x² - 9)/(x² + x - 6)

Челлендж 🔴

Задание 7: Докажи, что функция f(x) = [x] (целая часть) разрывна в любой целой точке

Задание 8: Исследуй поведение f(x) = sin(1/x) при x → 0

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: “Если функция не определена в точке, то она разрывна” ✅ Правильно: Нужно еще проверить существование предела 💡 Почему: Может быть устранимый разрыв - просто “доопредели” функцию

❌ Ошибка: “Функция 1/x непрерывна везде”
✅ Правильно: Разрыв в точке x = 0 (не входит в область определения) 💡 Почему: Непрерывность проверяется только там, где функция может быть определена

❌ Ошибка: Путают односторонние пределы ✅ Правильно: x→a⁻ означает “слева”, x→a⁺ означает “справа”
💡 Почему: Представляй движение по числовой прямой к точке

🎓 Главное запомнить

✅ Непрерывность = можно нарисовать не отрывая карандаша ✅ Три условия: определена + предел существует + предел равен значению ✅ Типы разрывов: устранимый, скачок, бесконечный

🔗 Связь с другими темами

Назад: Пределы функций (урок 131) - основа для понимания непрерывности
Вперед: Производная (будущие уроки) - можно дифференцировать только непрерывные функции Физика: Непрерывность описывает реальные процессы - температура, скорость, давление Программирование: Анимации и интерполяция требуют понимания непрерывности