Производная сложной функции: правило цепочки

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты настраиваешь громкость музыки в наушниках 🎧. Сначала плеер усиливает сигнал в 2 раза, потом наушники делают его громче ещё в 3 раза. Если музыка становится тише на входе, с какой скоростью изменится итоговая громкость?

Это и есть производная сложной функции! В реальности мы постоянно сталкиваемся с такими «функциями от функций»:

• 📱 Обработка фото в Instagram: цвет → фильтр → итоговое изображение
• 🚗 GPS навигация: координаты → расстояние → время в пути
• 💰 Курс биткоина: доллар → биткоин → рубли

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема композиции функций с примером обработки звука: входной сигнал проходит через плеер, затем через наушники Промпт: “educational diagram showing function composition, audio signal processing chain with amplifier and headphones, arrows showing signal flow, modern clean style, blue and orange colors”

💡 Интуиция

Сложная функция - это «матрёшка» из функций. У нас есть:

• Внешняя функция f - она работает с результатом
• Внутренняя функция g - она обрабатывает исходные данные

Получается: f(g(x))

Например, sin(x²):

• Внутренняя функция: g(x) = x² (возводим в квадрат)
• Внешняя функция: f(u) = sin(u) (берём синус от результата)

Главная идея: Если внутренняя функция изменяется в 2 раза быстрее, а внешняя - в 3 раза, то вся сложная функция изменится в 2 × 3 = 6 раз быстрее!

[МЕДИА: image_02] Описание: Визуализация правила цепочки через матрёшку функций Промпт: “mathematical illustration showing nested functions like Russian dolls, inner function g(x) = x squared inside outer function f(u) = sin(u), arrows showing derivative chain, educational style”

📐 Формальное определение

Правило цепочки (Chain Rule): Если y = f(g(x)), то производная равна:

y’ = f’(g(x)) · g’(x)

Простыми словами: Производная сложной функции = (производная внешней функции от внутренней) × (производная внутренней функции)

Обозначения:

• Если u = g(x), то y = f(u)
• Тогда dy/dx = (dy/du) · (du/dx)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: y = (3x + 5)⁷

Шаг 1: Определяем функции

• Внутренняя: u = 3x + 5
• Внешняя: y = u⁷

Шаг 2: Находим производные

• du/dx = (3x + 5)’ = 3
• dy/du = (u⁷)’ = 7u⁶

Шаг 3: Применяем правило цепочки dy/dx = 7u⁶ · 3 = 21u⁶ = 21(3x + 5)⁶

Ответ: y’ = 21(3x + 5)⁶

Пример 2: y = sin(x² - 1)

Шаг 1: Определяем функции

• Внутренняя: u = x² - 1
• Внешняя: y = sin(u)

Шаг 2: Находим производные

• du/dx = (x² - 1)’ = 2x
• dy/du = (sin(u))’ = cos(u)

Шаг 3: Применяем правило цепочки dy/dx = cos(u) · 2x = 2x · cos(x² - 1)

Ответ: y’ = 2x · cos(x² - 1)

[МЕДИА: image_03] Описание: Пошаговое решение примера с синусом сложной функции Промпт: “step-by-step mathematical solution showing derivative of sin(x²-1), highlighting inner and outer functions, clean educational layout with colored highlighting”

Пример 3: y = e^(2x+3)

Шаг 1: u = 2x + 3, y = eᵘ Шаг 2: du/dx = 2, dy/du = eᵘ
Шаг 3: dy/dx = eᵘ · 2 = 2e^(2x+3)

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди производную y = (2x - 1)⁵

Задание 2: y = √(x + 7)

Задание 3: y = cos(3x)

Задание 4: y = (x² + 1)³

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: y = ln(x² + 2x - 5)

Задание 6: y = e^(sin(x))

Задание 7: y = (cos(x) + 1)²

Задание 8: y = tan(x² - 3x)

Челлендж 🔴

Задание 9: y = sin(cos(x²))

Задание 10: y = e^(√(x+1))

Задание 11: y = ln(sin(2x + π/4))

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: При дифференцировании (2x + 1)³ получают 3(2x + 1)² ✅ Правильно: 3(2x + 1)² · 2 = 6(2x + 1)²
💡 Почему: Забывают умножить на производную внутренней функции!

❌ Ошибка: Производная sin(x²) равна cos(x²) ✅ Правильно: cos(x²) · 2x = 2x cos(x²) 💡 Почему: Нужна производная внутренней функции x²

❌ Ошибка: Путают порядок умножения в правиле цепочки
✅ Правильно: Всегда (производная внешней) × (производная внутренней) 💡 Почему: Это следует из определения композиции функций

🎓 Главное запомнить

✅ Правило цепочки: (f(g(x)))’ = f’(g(x)) · g’(x) ✅ Производная внешней функции × производная внутренней
✅ Применяется везде: физика, экономика, программирование

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Базовые производные элементарных функций (урок 136) Куда ведёт: Производная произведения и частного, неявное дифференцирование В физике: Скорость изменения составных величин (например, энергия от времени через скорость) В экономике: Эластичность спроса, изменение прибыли через несколько факторов