🔴 Сложный ⏱️ 25 минут

Производные элементарных функций

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты анализируешь популярность своего TikTok-аккаунта 📱. У тебя есть график подписчиков по дням - это функция f(t). Но тебе важно знать не просто количество, а скорость роста: растёт ли аудитория быстрее в выходные? Замедляется ли рост после вирусного видео?

Производная f’(t) покажет мгновенную скорость изменения подписчиков в любой момент времени! А ещё производные используют:

🚗 Tesla - для расчёта оптимального ускорения электрокара
📊 YouTube - для анализа трендов просмотров
💰 Банки - для моделирования изменения курса валют

📚 История вопроса

В 1665 году молодой Ньютон сидел под яблоней и думал: “Как рассчитать скорость падающего яблока в любой момент?” 🍎 Ведь яблоко ускоряется, скорость постоянно меняется!

Параллельно немецкий математик Лейбниц решал похожую задачу для торговли - как найти момент максимальной прибыли. Так родилось дифференциальное исчисление - один из величайших прорывов в математике!

💡 Интуиция

Производная - это математический спидометр 🏎️. Если у тебя есть график пути s(t), то производная s’(t) показывает скорость в каждый момент.

Представь функцию как горку в скейт-парке:

Крутой подъём → большая положительная производная
Пологий спуск → маленькая отрицательная производная
Плоская площадка → производная равна нулю

[МЕДИА: image_01] Описание: График функции с касательными прямыми, показывающими разные значения производной на разных участках Промпт: “educational graph showing function curve with tangent lines at different points, steep positive slope, gentle negative slope, horizontal tangent, modern clean style, bright colors for students”

📐 Формальное определение

Производная функции f(x) в точке x - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

f’(x) = lim[Δx→0] (f(x+Δx) - f(x))/Δx

Но запоминать все производные через предел не нужно! Есть таблица производных для основных функций:

📋 Таблица производных элементарных функций

Функция f(x)	Производная f’(x)	Комментарий
c (константа)	0	Горизонтальная прямая не растёт
x	1	Линейная функция растёт с постоянной скоростью
x²	2x	Парабола: чем дальше от нуля, тем круче
x³	3x²	Кубическая: рост ускоряется квадратично
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	Степенная функция (главное правило!)
√x	1/(2√x)	Корень растёт медленно
1/x	-1/x²	Гипербола убывает
eˣ	eˣ	Показательная функция - сама себе производная!
aˣ	aˣ · ln(a)	Любое основание
ln(x)	1/x	Натуральный логарифм
sin(x)	cos(x)	Синус “превращается” в косинус
cos(x)	-sin(x)	Косинус “становится” минус синусом
tg(x)	1/cos²(x)	Тангенс растёт очень быстро

[МЕДИА: image_02] Описание: Визуальная таблица с графиками функций и их производных рядом Промпт: “comprehensive visual table showing elementary functions and their derivatives side by side, colorful graphs, clear mathematical notation, educational poster style, suitable for high school”

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Степенная функция

Найти производную f(x) = x⁵

Решение: Используем правило (xⁿ)’ = n·xⁿ⁻¹ f’(x) = 5·x⁵⁻¹ = 5x⁴

Проверим интуицию: При x = 2: f’(2) = 5·16 = 80 Это значит, что в точке x = 2 функция растёт со скоростью 80 единиц за единицу времени!

Пример 2: Корень и дробь

Найти производную g(x) = √x + 1/x

Решение: Перепишем через степени: g(x) = x^(1/2) + x⁻¹

Применяем правило степенной функции:

(x^(1/2))’ = (1/2)·x^(1/2-1) = (1/2)·x^(-1/2) = 1/(2√x)
(x⁻¹)’ = (-1)·x⁻¹⁻¹ = -x⁻² = -1/x²

Ответ: g’(x) = 1/(2√x) - 1/x²

Пример 3: Тригонометрия

Найти производную h(x) = sin(x) + cos(x)

Решение: Производная суммы равна сумме производных:

(sin(x))’ = cos(x)
(cos(x))’ = -sin(x)

Ответ: h’(x) = cos(x) - sin(x)

[МЕДИА: image_03] Описание: Пошаговое решение примеров с выделением ключевых шагов Промпт: “step-by-step mathematical solutions with highlighted key steps, clean typography, arrows showing progression, educational worksheet style, modern colors”

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди производную f(x) = x⁷

💡 Подсказка

Используй правило степенной функции: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹

✅ Ответ

f'(x) = 7x⁶

Задание 2: Найди производную g(x) = 5

💡 Подсказка

Производная константы всегда равна...

✅ Ответ

g'(x) = 0

Задание 3: Вычисли производную h(x) = 3x

💡 Подсказка

3x = 3·x¹, используй правило степенной функции

✅ Ответ

h'(x) = 3

Задание 4: Найди производную p(x) = x² + x³

💡 Подсказка

Производная суммы равна сумме производных

✅ Ответ

p'(x) = 2x + 3x²

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди производную f(x) = √x - 1/x²

💡 Подсказка

Перепиши через степени: √x = x^(1/2), 1/x² = x⁻²

✅ Ответ

f'(x) = 1/(2√x) + 2/x³

Задание 6: Вычисли производную g(x) = 2ˣ + ln(x)

💡 Подсказка

Для 2ˣ: (aˣ)' = aˣ·ln(a). Для ln(x): производная равна 1/x

✅ Ответ

g'(x) = 2ˣ·ln(2) + 1/x

Задание 7: Найди производную h(x) = sin(x) - cos(x)

💡 Подсказка

(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x)

✅ Ответ

h'(x) = cos(x) + sin(x)

Задание 8: Вычисли производную k(x) = eˣ + x⁴

💡 Подсказка

Помни: eˣ - особенная функция, её производная равна ей самой!

✅ Ответ

k'(x) = eˣ + 4x³

Челлендж 🔴

Задание 9: Найди точку, где производная функции f(x) = x³ - 6x равна нулю

💡 Подсказка

Сначала найди производную, потом реши уравнение f'(x) = 0

✅ Ответ

f'(x) = 3x² - 6 = 0, откуда x² = 2, x = ±√2

Задание 10: В какой точке производная функции g(x) = sin(x) + cos(x) равна 1?

💡 Подсказка

g'(x) = cos(x) - sin(x) = 1. Это тригонометрическое уравнение

✅ Ответ

cos(x) - sin(x) = 1. Одно из решений: x = 0

Задание 11: Функция роста популяции описывается формулой N(t) = 100·e^(0.1t). С какой скоростью растёт популяция в момент t = 10?

💡 Подсказка

Найди N'(t), затем подставь t = 10

✅ Ответ

N'(t) = 10·e^(0.1t). При t = 10: N'(10) = 10e ≈ 27.18 особей в единицу времени

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: (x³)’ = 3x³
✅ Правильно: (x³)’ = 3x²
💡 Почему: При дифференцировании степень уменьшается на 1!

❌ Ошибка: (5)’ = 5
✅ Правильно: (5)’ = 0
💡 Почему: Производная любой константы равна нулю

❌ Ошибка: (cos(x))’ = sin(x)
✅ Правильно: (cos(x))’ = -sin(x)
💡 Почему: Не забывай про минус перед синусом!

❌ Ошибка: (eˣ)’ = x·eˣ⁻¹
✅ Правильно: (eˣ)’ = eˣ
💡 Почему: Показательная функция с основанием e - исключение из правил!

❌ Ошибка: (1/x)’ = -1/x
✅ Правильно: (1/x)’ = -1/x²
💡 Почему: 1/x = x⁻¹, применяем правило степенной функции

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Производная показывает скорость изменения функции в каждой точке
✅ Ключевое правило: (xⁿ)’ = n·xⁿ⁻¹ - работает для любой степени
✅ Где применяется: Физика (скорость, ускорение), экономика (темп роста), анализ данных (тренды)

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Понятие производной основано на пределах (урок 137) - теперь мы умеем быстро находить производные без вычисления пределов!

Куда ведёт: Следующий шаг - правила дифференцирования (произведение, частное, сложная функция), затем применение производных для исследования функций и решения оптимизационных задач.

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку