Возрастание и убывание функции

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты следишь за графиком стоимости биткоина в мобильном приложении 📱. Видишь красную стрелочку вниз? Это убывание. Зелёную вверх? Возрастание. А теперь представь, что нужно предсказать, когда тренд изменится…

🚗 В автомобилях: Система круиз-контроля анализирует, растёт или падает скорость, чтобы подстроить двигатель

📈 В экономике: Трейдеры ищут точки, где рост акций сменяется падением (и наоборот)

🎮 В играх: ИИ противников использует функции для расчёта оптимальной траектории атаки

💡 Интуиция

Когда мы идём в гору, каждый следующий шаг выше предыдущего - функция возрастает. Когда спускаемся с горки, каждый шаг ниже - функция убывает.

Но как понять это математически? Есть два способа:

🔍 Способ 1 (определение): Сравниваем значения функции

• Если f(x₁) < f(x₂) при x₁ < x₂, то функция возрастает
• Если f(x₁) > f(x₂) при x₁ < x₂, то функция убывает

⚡ Способ 2 (через производную): Смотрим на “скорость изменения”

• Если f’(x) > 0, то функция возрастает
• Если f’(x) < 0, то функция убывает

[МЕДИА: image_01] Описание: График функции с чётко обозначенными участками возрастания (зелёные) и убывания (красные), со стрелками показывающими направление Промпт: “mathematical function graph showing increasing and decreasing intervals, green arrows pointing up for increasing sections, red arrows pointing down for decreasing sections, coordinate system, clean educational style, modern design”

📐 Формальное определение

Определение возрастания: Функция f(x) называется возрастающей на промежутке (a; b), если для любых x₁ и x₂ из этого промежутка, таких что x₁ < x₂, выполняется неравенство f(x₁) < f(x₂).

Определение убывания: Функция f(x) называется убывающей на промежутке (a; b), если для любых x₁ и x₂ из этого промежутка, таких что x₁ < x₂, выполняется неравенство f(x₁) > f(x₂).

Связь с производной:

• Если f’(x) > 0 на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке
• Если f’(x) < 0 на промежутке, то функция убывает на этом промежутке
• Если f’(x) = 0, то x - критическая точка (возможная точка экстремума)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: f(x) = x² - 4x + 3

Шаг 1: Найдём производную f’(x) = 2x - 4

Шаг 2: Найдём критические точки f’(x) = 0 2x - 4 = 0 x = 2

Шаг 3: Исследуем знак производной

• При x < 2: f’(x) = 2x - 4 < 0 (убывание)
• При x > 2: f’(x) = 2x - 4 > 0 (возрастание)

Ответ: Функция убывает на (-∞; 2) и возрастает на (2; +∞)

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое решение примера с графиком параболы, отмеченной критической точкой и интервалами монотонности Промпт: “step-by-step solution showing parabola y = x² - 4x + 3, critical point at x=2 marked, intervals of increase/decrease labeled, derivative sign analysis, educational mathematics illustration”

Пример 2: f(x) = x³ - 3x² + 2

Шаг 1: Найдём производную f’(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

Шаг 2: Найдём критические точки 3x(x - 2) = 0 x = 0 или x = 2

Шаг 3: Исследуем знак производной методом интервалов

• При x ∈ (-∞; 0): f’(x) > 0 (возрастание)
• При x ∈ (0; 2): f’(x) < 0 (убывание)
• При x ∈ (2; +∞): f’(x) > 0 (возрастание)

Ответ: Функция возрастает на (-∞; 0) ∪ (2; +∞) и убывает на (0; 2)

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Исследуй на монотонность f(x) = 2x + 5

Задание 2: Найди промежутки возрастания и убывания f(x) = x² + 2x - 1

Задание 3: Определи характер монотонности f(x) = -x² + 6x - 5

Задание 4: Исследуй f(x) = x³ - 12x + 1

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди все промежутки монотонности f(x) = x⁴ - 2x² + 3

Задание 6: Для функции f(x) = (x - 1)³ найди точки, где меняется характер монотонности

Задание 7: Исследуй на возрастание и убывание f(x) = x/(x² + 1)

Задание 8: Определи промежутки монотонности f(x) = x²e^(-x)

Челлендж 🔴

Задание 9: Найди все значения параметра a, при которых функция f(x) = x³ - 3ax² + 2a возрастает на всей числовой прямой

Задание 10: Исследуй монотонность f(x) = ln(x² - 2x + 2)

Задание 11: При каких значениях k функция f(x) = kx³ - 3x² + 2x - 1 имеет ровно одну критическую точку?

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают знаки неравенств в определении Пишут: “Если x₁ < x₂, то f(x₁) > f(x₂)” для возрастающей функции

✅ Правильно: Для возрастающей функции: если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂) 💡 Почему: Возрастание означает, что бóльшему аргументу соответствует бóльшее значение функции

❌ Ошибка: Забывают проверить знак производной на промежутках Находят критические точки, но не исследуют интервалы между ними

✅ Правильно: После нахождения критических точек обязательно проверить знак f’(x) на каждом промежутке 💡 Почему: Критические точки только разбивают область на части, нужно выяснить поведение функции в каждой части

❌ Ошибка: Включают критические точки в промежутки монотонности Пишут: “возрастает на [2; +∞)” вместо “(2; +∞)”

✅ Правильно: Точки, где производная равна нулю, исключают из промежутков строгой монотонности 💡 Почему: В критических точках функция не возрастает и не убывает (производная равна нулю)

❌ Ошибка: Путают понятия “возрастание” и “положительность функции” Думают, что если f(x) > 0, то функция возрастает

✅ Правильно: Возрастание связано с производной f’(x) > 0, а не со значениями f(x) > 0 💡 Почему: Функция может быть отрицательной, но при этом возрастающей (например, f(x) = x - 10 при x ∈ (0; 5))

❌ Ошибка: Неправильно применяют метод интервалов для производной Забывают учесть, что производная может не существовать в некоторых точках

✅ Правильно: При исследовании знака производной учитывать точки, где она не существует 💡 Почему: Такие точки тоже могут быть границами промежутков монотонности

🎓 Главное запомнить

✅ Суть концепции: Возрастание/убывание показывает, в какую сторону “движется” функция на каждом участке

✅ Ключевая связь: f’(x) > 0 ⟺ функция возрастает, f’(x) < 0 ⟺ функция убывает

✅ Где применяется: Анализ трендов, оптимизация, экономика, физика (скорость, ускорение)

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Производная (урок 139) - основной инструмент для исследования монотонности

Куда ведём:

• Экстремумы функций (максимумы и минимумы)
• Исследование функций и построение графиков
• Применение производной в задачах оптимизации
• Интегралы (площадь под кривой связана с характером монотонности)