Точки экстремума: где функция достигает максимума и минимума

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты разрабатываешь мобильное приложение 📱. Нужно найти оптимальную цену для подписки: слишком дорого — мало покупателей, слишком дёшево — мало прибыли. Где-то посередине есть золотая середина — точка максимума прибыли!

🚗 Автопилот Tesla постоянно ищет экстремумы: минимальное время торможения, максимальную безопасность маневра, оптимальный расход энергии.

💰 Криптотрейдеры ищут локальные максимумы и минимумы цен, чтобы понять, когда покупать и продавать Bitcoin.

🎮 Разработчики игр оптимизируют сложность уровней: найти точку, где игра максимально увлекательна, но не слишком сложна.

📚 История вопроса

В 1687 году Ньютон решал задачу: как пушечное ядро летит дальше всего? 🎯 Под каким углом стрелять? Оказалось — под 45°! Это была одна из первых задач на поиск экстремума.

Позже математики поняли: везде, где что-то нужно оптимизировать (сделать максимальным или минимальным), спрятаны точки экстремума.

💡 Интуиция

[МЕДИА: image_01] Описание: График функции с явно выраженными горками и ямками, стрелки указывают на максимумы и минимумы Промпт: “educational graph showing function with clear peaks and valleys, arrows pointing to local maxima and minima, colorful mountain-like curve, mathematical axes, clean educational style”

Думай о функции как о горном пейзаже 🏔️:

• Максимум = вершина горы (локально самая высокая точка)
• Минимум = дно долины (локально самая низкая точка)
• Точка экстремума = место, где наклон равен нулю

Ключевая интуиция: в точке экстремума функция перестаёт расти и начинает убывать (или наоборот). Это значит, что наклон касательной равен нулю, то есть производная равна нулю!

📐 Формальное определение

Точка экстремума — это точка, где функция достигает локального максимума или минимума.

Локальный максимум в точке x₀: f(x₀) ≥ f(x) для всех x из некоторой окрестности x₀

Локальный минимум в точке x₀: f(x₀) ≤ f(x) для всех x из некоторой окрестности x₀

🔑 Необходимое условие экстремума (теорема Ферма):

Если функция f(x) имеет экстремум в точке x₀ и дифференцируема в этой точке, то f’(x₀) = 0

Критические точки — точки, где производная равна нулю или не существует.

📋 Алгоритм поиска экстремумов:

1️⃣ Найти производную f’(x) 2️⃣ Найти критические точки: f’(x) = 0 3️⃣ Исследовать знак производной слева и справа от каждой точки 4️⃣ Сделать вывод о типе экстремума

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: f(x) = x² - 4x + 3

Шаг 1: Находим производную f’(x) = 2x - 4

Шаг 2: Ищем критические точки 2x - 4 = 0 x = 2

Шаг 3: Исследуем знак производной

• При x < 2: f’(x) = 2(1) - 4 = -2 < 0 (функция убывает)
• При x > 2: f’(x) = 2(3) - 4 = 2 > 0 (функция возрастает)

Шаг 4: Вывод При переходе через x = 2 производная меняет знак с “-” на “+”, значит x = 2 — точка минимума.

f(2) = 4 - 8 + 3 = -1

Ответ: Точка минимума (2; -1)

[МЕДИА: image_02] Описание: График параболы y = x² - 4x + 3 с отмеченной точкой минимума, касательными и знаками производной Промпт: “mathematical graph of parabola y = x squared minus 4x plus 3, marked minimum point at (2,-1), tangent lines, sign analysis of derivative, educational illustration, clear axes and labels”

Пример 2: f(x) = x³ - 3x² + 2

Шаг 1: f’(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

Шаг 2: 3x(x - 2) = 0 ⟹ x = 0 или x = 2

Шаг 3: Исследуем знак f’(x) = 3x(x - 2):

Шаг 4: Выводы:

• x = 0: знак меняется с “+” на “-” ⟹ максимум
• x = 2: знак меняется с “-” на “+” ⟹ минимум

f(0) = 2, f(2) = 8 - 12 + 2 = -2

Ответ: Максимум (0; 2), минимум (2; -2)

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди точки экстремума f(x) = x² + 2x - 1

Задание 2: Определи тип экстремума для f(x) = -x² + 6x в точке x = 3

Задание 3: У функции f(x) = x³ есть ли экстремумы?

Задание 4: Найди минимум функции f(x) = (x - 1)² + 5

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Исследуй на экстремум f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1

Задание 6: Найди все экстремумы f(x) = x⁴ - 2x² + 3

Задание 7: При каком значении параметра a функция f(x) = x³ + ax² + 5 имеет экстремум в точке x = 2?

Задание 8: Найди точки экстремума f(x) = x/(x² + 1)

Челлендж 🔴

Задание 9: Функция f(x) = ax³ + bx² + cx + d имеет максимум в точке (1; 4) и минимум в точке (3; 0). Найди коэффициенты a, b, c, d.

Задание 10: Докажи, что функция f(x) = x⁵ + 5x + 1 не имеет экстремумов.

Задание 11: Найди наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ - 3x на отрезке [-2; 2].

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: “Если f’(x₀) = 0, то x₀ — точка экстремума” ✅ Правильно: f’(x₀) = 0 — только необходимое условие! Нужно ещё проверить смену знака производной 💡 Почему: У f(x) = x³ в точке x = 0: f’(0) = 0, но экстремума нет!

❌ Ошибка: Забывают проверить, где производная не существует ✅ Правильно: Критические точки — это где f’(x) = 0 ИЛИ где f’(x) не существует 💡 Почему: У f(x) = |x| в точке x = 0 есть минимум, но производной нет!

❌ Ошибка: Путают глобальный и локальный экстремум ✅ Правильно: Локальный экстремум — в окрестности точки, глобальный — на всей области определения 💡 Почему: У f(x) = x² точка (0;0) — и локальный, и глобальный минимум

🎓 Главное запомнить

✅ Экстремум — это локальный максимум или минимум функции ✅ Необходимое условие: f’(x) = 0 (теорема Ферма) ✅ Достаточное условие: смена знака производной при переходе через критическую точку ✅ Применение: оптимизация в экономике, физике, программировании

🔗 Связь с другими темами

Назад: Производная и её геометрический смысл (урок 140) — понимание наклона касательной Вперёд: Исследование функций и построение графиков — полный анализ поведения функции Применение: Задачи на оптимизацию — практическое использование экстремумов