🔴 Сложный ⏱️ 25 минут

Первообразная: восстанавливаем функцию по её производной

Первообразная: восстанавливаем функцию по её производной

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что твой фитнес-браслет показывает скорость твоего бега в каждый момент времени 🏃‍♂️. А тебе нужно узнать, какое расстояние ты пробежал за всю тренировку. Или камера в игре движется с известным ускорением 🎮, и нужно найти её положение. Во всех этих случаях мы восстанавливаем исходную функцию по её производной - это и есть первообразная!

📱 В программировании: алгоритмы сжатия данных восстанавливают исходные файлы 🚗 В навигации: GPS восстанавливает координаты по данным о скорости 💰 В экономике: по темпу роста прибыли находят общую прибыль компании

📚 История вопроса

Ньютон и Лейбниц в 17 веке независимо открыли, что дифференцирование и интегрирование - обратные операции! 🔄 Ньютон использовал это для расчёта орбит планет: зная силы (ускорения), он находил траектории движения. Это стало основой всей современной физики и космонавтики!

💡 Интуиция

Если производная показывает “как быстро растёт функция”, то первообразная отвечает на вопрос: “А что именно росло?” 🌱

Думай об этом как о детективной работе: у тебя есть улики (производная), и нужно найти преступника (исходную функцию)! Но есть подвох - преступников может быть бесконечно много, они отличаются только на постоянное число.

[МЕДИА: image_01] Описание: График показывающий семейство первообразных функций, отличающихся на константу Промпт: “mathematical graph showing family of antiderivative functions, parallel curves shifted vertically by constant C, colorful lines, coordinate system, educational style, clean design”

📐 Формальное определение

Первообразная функции f(x) - это функция F(x), производная которой равна f(x):

F’(x) = f(x)

Если F(x) - первообразная для f(x), то и F(x) + C тоже первообразная для любой константы C. Поэтому общий вид первообразной записывают как:

∫f(x)dx = F(x) + C

Здесь:

  • ∫ - знак интеграла (от латинского “сумма”)
  • f(x) - подынтегральная функция
  • dx - показывает, по какой переменной интегрируем
  • C - произвольная постоянная интегрирования

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Найти первообразную f(x) = 3x²

Размышляем: какую функцию нужно продифференцировать, чтобы получить 3x²?

Помним правило: (xⁿ)’ = n·xⁿ⁻¹

Значит, нужна функция со степенью x³. Проверим: (x³)’ = 3x²

Ответ: F(x) = x³ + C

Проверка: F’(x) = (x³ + C)’ = 3x² + 0 = 3x² ✅

Пример 2: Найти первообразную f(x) = 2cos(x) - 5eˣ

Решаем по частям:

  • Для 2cos(x): знаем, что (sin(x))’ = cos(x), значит первообразная cos(x) равна sin(x)
  • Для 2cos(x): первообразная равна 2sin(x)
  • Для -5eˣ: знаем, что (eˣ)’ = eˣ, значит первообразная -5eˣ равна -5eˣ

Ответ: F(x) = 2sin(x) - 5eˣ + C

[МЕДИА: image_02] Описание: Таблица основных первообразных с визуальными примерами Промпт: “educational table of basic antiderivatives, function graphs alongside formulas, colorful mathematical notation, organized layout, student-friendly design”

Пример 3: Физическая задача

Скорость движения тела v(t) = 4t - 3 м/с. Найти закон движения s(t), если в момент t = 0 тело находилось в точке s = 10 м.

Решение:

  1. s(t) - первообразная для v(t) = 4t - 3
  2. ∫(4t - 3)dt = 2t² - 3t + C
  3. Используем начальное условие: s(0) = 10 2·0² - 3·0 + C = 10 C = 10

Ответ: s(t) = 2t² - 3t + 10

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди первообразную f(x) = 5x⁴

💡 Подсказка Используй правило для степенной функции: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
✅ Ответ F(x) = x⁵ + C

Задание 2: Найди первообразную f(x) = 7

💡 Подсказка Константу можно записать как 7x⁰
✅ Ответ F(x) = 7x + C

Задание 3: Найди ∫(x² + 3x - 1)dx

✅ Ответ F(x) = x³/3 + 3x²/2 - x + C

Задание 4: Найди первообразную f(x) = sin(x) + 4

✅ Ответ F(x) = -cos(x) + 4x + C

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Скорость роста популяции бактерий v(t) = 100e^t бактерий/час. Сколько бактерий будет через 2 часа, если изначально было 500 бактерий?

💡 Подсказка Найди N(t) - первообразную v(t), используй начальное условие N(0) = 500
✅ Ответ N(t) = 100e^t + 400, через 2 часа: N(2) = 100e² + 400 ≈ 1139 бактерий

Задание 6: Найди ∫(2x - 1)³dx

💡 Подсказка Сначала раскрой скобки или используй замену переменной
✅ Ответ F(x) = (2x-1)⁴/8 + C

Задание 7: Найди первообразную f(x) = 3/x² + 2√x

💡 Подсказка Перепиши как f(x) = 3x⁻² + 2x^(1/2)
✅ Ответ F(x) = -3x⁻¹ + (4/3)x^(3/2) + C = -3/x + (4√x³)/3 + C

Челлендж 🔴

Задание 8: Ускорение материальной точки a(t) = 6t - 4 м/с². В момент t = 1 с скорость равна 5 м/с, а координата равна 3 м. Найди закон движения x(t).

✅ Ответ v(t) = 3t² - 4t + 6, x(t) = t³ - 2t² + 6t - 2

Задание 9: Найди все первообразные функции f(x) = cos(2x) + e^(3x)

✅ Ответ F(x) = (1/2)sin(2x) + (1/3)e^(3x) + C

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Забывают константу интегрирования C ✅ Правильно: Всегда добавляй + C в неопределённый интеграл 💡 Почему: Производная константы равна нулю, поэтому F(x) и F(x) + C имеют одинаковую производную

❌ Ошибка: Путают знаки: думают, что первообразная sin(x) равна cos(x)
✅ Правильно: Первообразная sin(x) равна -cos(x) 💡 Почему: Проверь производной: (-cos(x))’ = sin(x) ✅

❌ Ошибка: Неправильно применяют формулу для степенной функции к x⁻¹ ✅ Правильно: ∫(1/x)dx = ln|x| + C, а не x⁰/0 💡 Почему: При n = -1 формула не работает, это особый случай

🎓 Главное запомнить

✅ Первообразная - функция, производная которой равна исходной функции ✅ Общий вид: F(x) + C (не забывай константу!)
✅ Интегрирование - операция, обратная дифференцированию

🔗 Связь с другими темами

⬅️ Опирается на: Производные функций (урок 144), правила дифференцирования ➡️ Подготавливает к: Определённые интегралы, площади фигур, физические приложения интегралов

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку
💬 Есть вопрос? Спроси бота!