🔴 Сложный ⏱️ 25 минут

Неопределённый интеграл: находим первообразную

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что у тебя есть график скорости твоей машины в гонках 🏎️. Ты знаешь, как менялась скорость каждую секунду, но хочешь понять - какое расстояние проехал? Или в Spotify видишь громкость трека, а хочешь понять, сколько энергии потратили динамики колонки?

Вот именно для этого нужны интегралы! Если производная показывает “скорость изменения”, то интеграл делает обратное - восстанавливает исходную функцию по её “скорости изменения”.

📱 В программировании: При создании игр нужно по ускорению найти скорость, а по скорости - координаты объекта 💰 В экономике: По темпу роста прибыли находят саму прибыль 🎵 В музыке: По частоте колебаний находят амплитуду звуковой волны

📚 История вопроса

В XVII веке Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга поняли: дифференцирование и интегрирование - это противоположные операции! Как сложение и вычитание, как умножение и деление. Ньютон использовал это для расчёта орбит планет, а Лейбниц придумал современные обозначения ∫ (растянутая буква S от слова “сумма”).

💡 Интуиция

Допустим, ты знаешь скорость автомобиля в любой момент времени v(t). Как найти пройденное расстояние s(t)?

Логично: если скорость = производная от расстояния, то расстояние = “антипроизводная” от скорости!

Интеграл - это машина времени наоборот 🕰️

Производная: было s(t), получили s’(t)
Интеграл: есть s’(t), находим s(t)

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема связи между функцией, её производной и интегралом с примером s(t), v(t), a(t) Промпт: “educational diagram showing relationship between function, derivative and integral, arrows showing differentiation and integration directions, example with distance-velocity-acceleration, modern clean style, blue and orange colors”

📐 Формальное определение

Неопределённый интеграл функции f(x) - это множество всех её первообразных.

Обозначение: ∫f(x)dx = F(x) + C

Где:

∫ - знак интеграла (читается “интеграл от”)
f(x) - подынтегральная функция
dx - дифференциал (показывает, по какой переменной интегрируем)
F(x) - первообразная функции f(x)
C - постоянная интегрирования (любое число!)

Главное свойство: (F(x) + C)’ = f(x)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: ∫3x²dx

Думаем: Производная какой функции равна 3x²?

Вспоминаем: (x³)’ = 3x²

Значит: ∫3x²dx = x³ + C

Проверим: (x³ + C)’ = 3x² ✅

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое решение интеграла с проверкой через дифференцирование Промпт: “step-by-step integration solution showing integral of 3x squared, verification by differentiation, mathematical notation, educational style, clear arrows showing steps”

Пример 2: ∫(2x³ - 5x + 7)dx

Интегрируем по частям:

∫2x³dx = 2 · x⁴/4 = x⁴/2
∫(-5x)dx = -5 · x²/2 = -5x²/2
∫7dx = 7x

Ответ: ∫(2x³ - 5x + 7)dx = x⁴/2 - 5x²/2 + 7x + C

Проверяем: (x⁴/2 - 5x²/2 + 7x + C)’ = 2x³ - 5x + 7 ✅

Пример 3: Почему нужна константа C?

Рассмотри функции: f₁(x) = x² + 5, f₂(x) = x² + 100, f₃(x) = x² - 37

Их производные: f₁’(x) = f₂’(x) = f₃’(x) = 2x

Значит, ВСЕ эти функции - первообразные для 2x! Поэтому пишем: ∫2x dx = x² + C, где C может быть любым числом.

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: ∫5x⁴dx

💡 Подсказка

Вспомни правило: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

✅ Ответ

x⁵ + C (проверь: (x⁵)' = 5x⁴)

Задание 2: ∫(3x² + 2x - 1)dx

💡 Подсказка

Интегрируй каждое слагаемое отдельно

✅ Ответ

x³ + x² - x + C

Задание 3: ∫8dx

💡 Подсказка

Константу интегрировать проще всего!

✅ Ответ

8x + C

Задание 4: ∫√x dx

💡 Подсказка

√x = x^(1/2), используй формулу для степени

✅ Ответ

(2/3)x^(3/2) + C

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: ∫(x - 1)²dx

💡 Подсказка

Сначала раскрой скобки!

✅ Ответ

x³/3 - x² + x + C

Задание 6: ∫(1/x²)dx

💡 Подсказка

1/x² = x⁻², используй правило для отрицательной степени

✅ Ответ

-1/x + C

Задание 7: ∫(2√x - 3/x²)dx

💡 Подсказка

Преобразуй к степенному виду

✅ Ответ

(4/3)x^(3/2) + 3/x + C

Задание 8: Найди все первообразные функции f(x) = 6x² - 4x + 1

💡 Подсказка

Это обычный неопределённый интеграл

✅ Ответ

F(x) = 2x³ - 2x² + x + C

Челлендж 🔴

Задание 9: ∫(x + 1)³dx (не раскрывая скобки)

💡 Подсказка

Сделай замену u = x + 1

✅ Ответ

(x + 1)⁴/4 + C

Задание 10: Функция f(x) такова, что f’(x) = 12x² - 6x + 2 и f(0) = 5. Найди f(x).

💡 Подсказка

Найди сначала общий вид, потом используй условие f(0) = 5

✅ Ответ

f(x) = 4x³ - 3x² + 2x + 5

Задание 11: В игре объект движется с ускорением a(t) = 4t - 2. В момент t = 0 скорость была v₀ = 10. Найди функцию скорости v(t).

💡 Подсказка

v(t) = ∫a(t)dt, используй начальное условие

✅ Ответ

v(t) = 2t² - 2t + 10

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Забывают константу C ∫x dx = x²/2 (неправильно!) ✅ Правильно: ∫x dx = x²/2 + C 💡 Почему: Производная от x²/2 + 5 тоже равна x!

❌ Ошибка: Неверно применяют правило степени ∫x⁻¹ dx = x⁰/0 = 1/0 (так нельзя!) ✅ Правильно: ∫x⁻¹ dx = ∫(1/x)dx = ln|x| + C 💡 Почему: При n = -1 формула не работает!

❌ Ошибка: Путают знаки при интегрировании ∫(-3x²)dx = -x³ (забыли коэффициент) ✅ Правильно: ∫(-3x²)dx = -x³ + C 💡 Почему: Коэффициенты выносятся перед интегралом

🎓 Главное запомнить

✅ Интеграл - обратная операция к производной ✅ ∫f(x)dx = F(x) + C, где F’(x) = f(x)
✅ Всегда добавляй константу интегрирования C! ✅ Проверяй ответ дифференцированием

🔗 Связь с другими темами

🔙 Опирается на: Производная, правила дифференцирования 🔜 Ведёт к: Определённый интеграл, площадь под графиком, физические приложения 🌐 Связано с: Уравнения движения в физике, модели роста в биологии, анализ данных

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку