Определённый интеграл: площадь под кривой

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты разрабатываешь игру-гонки 🏎️. Машина едет с переменной скоростью - разгоняется на прямых, тормозит перед поворотами. Как найти расстояние, которое проехала машина за определённое время? Обычная формула s = vt не работает, ведь скорость постоянно меняется!

Или другой пример: твой друг стримит на Twitch, и количество зрителей постоянно колеблется 📈. Как посчитать среднее количество просмотров за весь стрим? Вот для таких задач и нужен определённый интеграл!

📚 История вопроса

Определённый интеграл придумали одновременно два гения XVII века - Ньютон и Лейбниц. Ньютон хотел рассчитать площади под кривыми для изучения планетарных орбит 🌍, а Лейбниц - для решения задач о касательных и площадях. Их идеи произвели революцию в математике и физике!

💡 Интуиция

Вспомни, как ты считаешь площадь прямоугольника: длина × ширина. А что, если нужна площадь под изогнутой линией? 🤔

Хитрость в том, чтобы разрезать фигуру на множество тонких вертикальных полосок-прямоугольников. Чем тоньше полоски, тем точнее результат. Определённый интеграл - это предел такого “нарезания”, когда полоски становятся бесконечно тонкими!

[МЕДИА: image_01] Описание: График функции y = x² с заштрихованной областью под кривой от x=1 до x=3, показывающий приближение площади прямоугольниками Промпт: “mathematical graph showing y equals x squared function, shaded area under curve from x=1 to x=3, rectangular approximation strips getting thinner, educational illustration, blue curve, light blue shaded area, clean style”

📐 Формальное определение

Определённый интеграл функции f(x) от a до b записывается как:

∫[a до b] f(x)dx

где:

• a и b - пределы интегрирования (начало и конец отрезка)
• f(x) - подынтегральная функция
• dx - показывает, по какой переменной интегрируем

Формула Ньютона-Лейбница: ∫[a до b] f(x)dx = F(b) - F(a)

где F(x) - первообразная функции f(x).

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Базовый расчёт

Найди ∫[1 до 3] x²dx

Решение: 1️⃣ Находим первообразную: F(x) = x³/3 2️⃣ Применяем формулу: F(3) - F(1) = 27/3 - 1/3 = 9 - 1/3 = 26/3

Геометрический смысл: Это площадь под параболой y = x² от x = 1 до x = 3.

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое решение интеграла от x² с визуализацией на графике Промпт: “step-by-step definite integral calculation, graph of x squared from 1 to 3, showing antiderivative evaluation at bounds, mathematical notation, educational style, clear visualization”

Пример 2: Практическое применение

Скорость автомобиля меняется по закону v(t) = 2t + 3 (м/с). Найди путь за первые 4 секунды.

Решение: Путь = ∫[0 до 4] (2t + 3)dt

1️⃣ F(t) = t² + 3t 2️⃣ F(4) - F(0) = (16 + 12) - 0 = 28 метров

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Вычисли ∫[0 до 2] 3x dx

Задание 2: Найди ∫[1 до 4] 2dx

Задание 3: Вычисли ∫[-1 до 1] x³dx

Продвинутый уровень 🟡

Задание 4: Найди площадь под графиком y = x² + 1 от x = 0 до x = 2

Задание 5: Скорость роста популярности видео на YouTube описывается функцией v(t) = 100t (просмотров в час). Сколько просмотров наберёт видео за первые 3 часа?

Задание 6: Вычисли ∫[0 до π/2] sin(x)dx

Челлендж 🔴

Задание 7: Найди среднее значение функции f(x) = x² на отрезке [0, 3]

Задание 8: Докажи, что ∫[0 до 1] x^n dx = 1/(n+1) для любого натурального n

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путаю пределы интегрирования местами ✅ Правильно: ∫[a до b] f(x)dx = F(b) - F(a), именно в таком порядке! 💡 Почему: Если поменять местами, получится противоположный знак

❌ Ошибка: Забываю вычислить F(a) и F(b) отдельно ✅ Правильно: Сначала подставляю верхний предел, потом вычитаю значение в нижнем пределе 💡 Почему: Это основа формулы Ньютона-Лейбница

❌ Ошибка: Думаю, что определённый интеграл всегда положительный ✅ Правильно: Если функция отрицательная, интеграл тоже может быть отрицательным 💡 Почему: Геометрически это “площадь со знаком” - под осью x площадь считается отрицательной

🎓 Главное запомнить

✅ Определённый интеграл = площадь под кривой (со знаком) ✅ Формула: ∫[a до b] f(x)dx = F(b) - F(a) ✅ Применяется для поиска пути по скорости, площадей, средних значений

🔗 Связь с другими темами

Определённый интеграл напрямую связан с неопределённым интегралом (урок 146) через формулу Ньютона-Лейбница. Дальше мы изучим применения интегралов в физике и геометрии - для вычисления работы, объёмов тел вращения и центров масс.