Область определения и множество значений функции

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты программируешь калькулятор на телефоне 📱. Если пользователь попытается разделить на ноль или извлечь квадратный корень из отрицательного числа, приложение должно выдать ошибку. Именно это и делает область определения - она показывает, какие значения можно “подавать на вход” функции!

🎮 В играх AI должен знать допустимые координаты персонажа (не может же герой провалиться сквозь землю!) 💰 В финансах нельзя рассчитывать проценты от отрицательной суммы 🚗 GPS не может показать маршрут в несуществующие координаты

💡 Интуиция

Область определения (ОДЗ) - это все значения x, которые можно “скормить” функции, не получив математическую ошибку.

Множество значений - это все возможные результаты (значения y), которые может выдать функция.

Думай о функции как о кофемашине ☕:

• Область определения = какие капсулы подходят к машине
• Множество значений = какие виды кофе она может приготовить

[МЕДИА: image_01] Описание: Схематичное изображение функции как “машины”, показывающая входные значения (область определения) и выходные (множество значений) Промпт: “educational illustration of function as a machine, input values on left (domain), output values on right (range), arrows showing transformation, modern clean style, suitable for high school students”

📐 Формальное определение

Область определения D(f) функции f(x) - множество всех значений x, при которых функция имеет смысл (определена).

Множество значений E(f) функции f(x) - множество всех возможных значений y = f(x).

Основные “опасности” для области определения:

1️⃣ Деление на ноль: знаменатель ≠ 0 2️⃣ Четный корень из отрицательного числа: подкоренное выражение ≥ 0
3️⃣ Логарифм: аргумент > 0 4️⃣ Арктангенс и арккосинус: ограничения на аргумент

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: f(x) = (x + 3)/(x² - 4)

Находим ОДЗ: Знаменатель не должен быть равен нулю: x² - 4 ≠ 0 x² ≠ 4 x ≠ ±2

D(f) = (-∞; -2) ∪ (-2; 2) ∪ (2; +∞)

Находим множество значений: Преобразуем: y = (x + 3)/(x² - 4) Умножим обе части на (x² - 4): y(x² - 4) = x + 3 yx² - 4y = x + 3 yx² - x - 4y - 3 = 0

Это квадратное уравнение относительно x. Для существования решений дискриминант ≥ 0: D = 1 + 4y(4y + 3) = 1 + 16y² + 12y ≥ 0 16y² + 12y + 1 ≥ 0 (4y + 1)² ≥ 0 - выполняется всегда, кроме y = -1/4

Проверим y = -1/4: получается x = -2 (не входит в ОДЗ)

E(f) = (-∞; -1/4) ∪ (-1/4; +∞)

[МЕДИА: image_02] Описание: График функции f(x) = (x + 3)/(x² - 4) с выделенными асимптотами и областями Промпт: “graph of rational function with vertical asymptotes at x=-2 and x=2, horizontal asymptote, domain and range clearly marked, educational style, grid background”

Пример 2: g(x) = √(x - 1) + 2

Находим ОДЗ: Под корнем должно быть неотрицательное число: x - 1 ≥ 0 x ≥ 1

D(g) = [1; +∞)

Находим множество значений: Поскольку √(x - 1) ≥ 0 при x ≥ 1, то: g(x) = √(x - 1) + 2 ≥ 0 + 2 = 2

При x = 1: g(1) = √0 + 2 = 2 (минимальное значение) При x → +∞: g(x) → +∞

E(g) = [2; +∞)

Пример 3: h(x) = ln(x² - 9)

Находим ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть положительным: x² - 9 > 0 (x - 3)(x + 3) > 0

Используя метод интервалов: x ∈ (-∞; -3) ∪ (3; +∞)

D(h) = (-∞; -3) ∪ (3; +∞)

Находим множество значений: При x² - 9 → 0⁺: ln(x² - 9) → -∞ При x² - 9 → +∞: ln(x² - 9) → +∞

E(h) = (-∞; +∞)

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди область определения f(x) = 1/(x - 5)

Задание 2: Найди ОДЗ функции g(x) = √(2x + 6)

Задание 3: Определи область определения h(x) = ln(x + 4)

Задание 4: Найди множество значений функции f(x) = x² + 1

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди область определения f(x) = √(x² - 16)/(x + 2)

Задание 6: Определи ОДЗ и множество значений g(x) = 2/(x² + 1)

Задание 7: Найди область определения h(x) = ln(x² - 2x - 3)

Задание 8: Определи множество значений функции f(x) = |x - 3| + 1

Челлендж 🔴

Задание 9: Найди область определения f(x) = √(ln(x - 2))

Задание 10: Определи множество значений g(x) = (2x + 1)/(x - 3)

Задание 11: Найди область определения h(x) = 1/√(x² - 5x + 6)

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: При нахождении ОДЗ для √(x²) писать x ≥ 0 ✅ Правильно: √(x²) определён при любых x, так как x² ≥ 0 всегда 💡 Почему: Под корнем стоит x², а не x!

❌ Ошибка: Забывать проверять знаменатель после упрощения дроби ✅ Правильно: ОДЗ определяется по исходной записи функции 💡 Почему: Упрощение может “скрыть” точки разрыва

❌ Ошибка: Путать область определения с множеством значений ✅ Правильно: ОДЗ - это x (вход), множество значений - это y (выход) 💡 Почему: Это разные математические объекты!

❌ Ошибка: Для логарифма писать x ≥ 0 ✅ Правильно: Для ln(x) нужно x > 0 (строго больше!) 💡 Почему: Логарифм нуля не существует

🎓 Главное запомнить

✅ Область определения - все допустимые x, множество значений - все возможные y ✅ Проверяй: деление на ноль, корни из отрицательных чисел, логарифмы ✅ ОДЗ определяется по исходной записи функции, не по упрощённой!

🔗 Связь с другими темами

Эта тема - основа для изучения пределов, непрерывности и производных. Без понимания ОДЗ невозможно правильно исследовать функции! В дальнейшем пригодится при решении уравнений и неравенств, построении графиков.