Линейная функция: от графика к пониманию мира

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты заказал такси через приложение 🚗. Видишь цену: “50₽ за посадку + 25₽ за километр”. Поздравляю - ты только что встретился с линейной функцией!

🎮 В играх: HP персонажа растёт линейно с уровнем: “100 + 50×уровень” 💰 В деньгах: Стоимость мобильной связи: “300₽ абонплата + 2₽ за минуту” 📊 В бизнесе: Зарплата продавца: “оклад + процент с продаж” 🌡️ В физике: Температура по Фаренгейту: F = 1.8C + 32

💡 Интуиция

Линейная функция - это математическая модель равномерного изменения. Представь себя на эскалаторе: каждую секунду ты поднимаешься на одинаковую высоту. Вот так работает линейная функция - постоянная скорость изменения!

[МЕДИА: image_01] Описание: Интуитивная схема линейной функции через примеры из жизни - такси, эскалатор, рост зарплаты Промпт: “educational infographic showing linear function concepts through real life examples: taxi meter, escalator movement, salary growth chart, modern clean design, blue and orange colors, suitable for high school students”

📐 Формальное определение

Линейная функция имеет вид: f(x) = kx + b

Где:

• k - угловой коэффициент (наклон прямой, скорость изменения)
• b - свободный член (точка пересечения с осью Y)
• x - аргумент (независимая переменная)

Особые случаи:

• При k > 0: функция возрастающая ↗️
• При k < 0: функция убывающая ↘️
• При k = 0: функция постоянная →
• При b = 0: прямая пропорциональность y = kx

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Анализ тарифа такси

Стоимость поездки: S(x) = 50 + 25x, где x - расстояние в км.

📊 Анализируем:

• k = 25 (каждый км стоит 25₽)
• b = 50 (фиксированная плата за посадку)
• Функция возрастающая (чем дальше едешь, тем дороже)

🧮 Вычисляем:

• Поездка на 3 км: S(3) = 50 + 25×3 = 125₽
• Бесплатная поездка: S(0) = 50₽ (всё равно платишь за посадку!)

[МЕДИА: image_02] Описание: График функции стоимости такси с подписанными осями и ключевыми точками Промпт: “graph of linear function showing taxi fare calculation, x-axis showing distance in km, y-axis showing cost in rubles, clear grid lines, highlighted points, educational math visualization”

Пример 2: Температурные шкалы

Перевод Цельсия в Фаренгейт: F(C) = 1.8C + 32

📊 Интересные точки:

• Замерзание воды: F(0) = 32°F
• Кипение воды: F(100) = 212°F
• Температура тела: F(36.6) = 97.9°F

Пример 3: График функции y = -2x + 3

📊 Строим график:

1. Найдём две точки:
   • При x = 0: y = 3 (точка (0; 3))
   • При x = 1: y = 1 (точка (1; 1))
2. Соединяем точки прямой линией
3. k = -2 < 0 → функция убывающая

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: В фитнес-клубе абонемент стоит 2000₽ + 300₽ за каждое занятие. Запиши функцию стоимости S(x), где x - количество занятий.

Задание 2: Для функции y = 3x - 5 найди: а) Значение при x = 2 б) При каком x функция равна нулю?

Задание 3: Построй график функции y = -x + 4 и определи, возрастающая она или убывающая.

Задание 4: Интернет-тариф: 500₽ фиксированная плата + 10₽ за ГБ. Сколько стоит пакет на 15 ГБ?

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Температура воздуха изменяется по закону T(h) = 20 - 0.65h, где h - высота в км. На какой высоте температура будет 0°C?

Задание 6: Две линейные функции: f(x) = 2x + 1 и g(x) = -x + 7. Найди точку их пересечения.

Задание 7: Автомобиль движется с постоянной скоростью. За 2 часа он проехал 180 км, за 5 часов - 450 км. Составь функцию пути от времени.

Задание 8: График функции y = kx + b проходит через точки (1; 5) и (3; 11). Найди k и b.

Челлендж 🔴

Задание 9: Стартап планирует прибыль: в первый месяц -50000₽ (убытки), каждый следующий месяц прибыль увеличивается на 30000₽. Через сколько месяцев стартап выйдет на прибыль?

Задание 10: Две компании такси. Первая: 40₽ + 20₽/км. Вторая: 80₽ + 15₽/км. При какой поездке цена одинаковая? Какая выгоднее для коротких поездок?

Задание 11: График линейной функции составляет с осью X угол 45°. Если он проходит через точку (2; 7), найди уравнение функции. (Подсказка: tg(45°) = 1)

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают k и b местами: “y = 5 + 3x вместо y = 3x + 5” ✅ Правильно: k всегда при x, b - свободный член 💡 Почему: k показывает наклон (изменение y при изменении x на 1)

❌ Ошибка: Думают, что график всегда проходит через начало координат ✅ Правильно: Через (0; 0) проходит только y = kx (при b = 0)
💡 Почему: b сдвигает график вверх или вниз по оси Y

❌ Ошибка: Неправильно определяют возрастание/убывание ✅ Правильно: Смотрим на знак k, а не на b 💡 Почему: k показывает, как быстро и в какую сторону изменяется функция

❌ Ошибка: При построении графика используют только одну точку ✅ Правильно: Для прямой нужны минимум 2 точки 💡 Почему: Одна точка может дать множество прямых

❌ Ошибка: Забывают про область определения в практических задачах
✅ Правильно: В задаче про такси x ≥ 0 (не бывает отрицательного расстояния) 💡 Почему: Математическая модель должна соответствовать реальности

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Линейная функция y = kx + b описывает равномерное изменение ✅ Ключевая формула: f(x) = kx + b, где k - наклон, b - сдвиг по Y ✅ Где применяется: Везде, где есть постоянная скорость изменения (тарифы, движение, температура, зарплаты)

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Из пропорций и прямой пропорциональности - теперь добавили константу b Куда ведёт: К квадратичным функциям, системам уравнений, неравенствам, производным (скорость изменения функции) Связь с геометрией: Уравнение прямой в координатной плоскости Связь с физикой: Равномерное движение, закон Ома, тепловое расширение