Квадратичная функция: от Instagram до ракет

🎯 Зачем это нужно?

Думаешь, квадратичная функция y = ax² + bx + c - это просто скучная формула из учебника? 😄 А вот и нет!

🎮 Игры: Траектория любого снаряда в шутерах - парабола! Angry Birds, Fortnite, CS:GO - везде квадратичные функции 📱 Instagram фильтры: Алгоритмы размытия фона используют квадратичные функции для плавных переходов 🚗 Тормозной путь: Зависимость s = v²/(2a) - чистая квадратичная функция. Вот почему на скорости 120 км/ч тормозной путь в 4 раза больше, чем на 60! 💰 Бизнес: Зависимость прибыли от цены товара - тоже парабола. Слишком дешево = мало прибыли, слишком дорого = никто не покупает

📚 История вопроса

Древние вавилоняне уже 4000 лет назад умели решать квадратные уравнения! А вот графики парабол впервые исследовал Аполлоний Пергский в 3 веке до н.э. Он изучал конические сечения и обнаружил, что если разрезать конус плоскостью параллельно образующей, получится… парабола! 🔥

Галилей доказал, что траектория брошенного камня - парабола. Это стало революцией в физике!

💡 Интуиция

Представь, что подбрасываешь мяч 🏀. Он летит по дуге вверх, а потом падает вниз. Эта дуга и есть парабола - график квадратичной функции!

[МЕДИА: image_01] Описание: Анимированная парабола показывающая траекторию мяча с подписанными характеристиками Промпт: “educational illustration showing basketball trajectory as parabola, labeled vertex point, axis of symmetry, maximum height, modern clean style, blue and orange colors”

Главная фишка: У параболы есть вершина - самая высокая (или низкая) точка. Если коэффициент a > 0, парабола “смотрит” вверх (как улыбка 😊), если a < 0 - вниз (как грусть 😢).

📐 Формальное определение

Квадратичная функция имеет вид: y = ax² + bx + c, где a ≠ 0

Коэффициенты влияют на форму:

• a - “крутизна” параболы и направление ветвей
• b - сдвиг вершины по горизонтали
• c - точка пересечения с осью y (при x = 0)

Вершина параболы: x₀ = -b/(2a), y₀ = f(x₀)

Ось симметрии: прямая x = -b/(2a)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Анализируем y = 2x² - 8x + 6

Шаг 1: Определяем направление ветвей a = 2 > 0 → ветви направлены вверх (парабола “улыбается”)

Шаг 2: Находим вершину x₀ = -b/(2a) = -(-8)/(2·2) = 8/4 = 2 y₀ = 2·2² - 8·2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2

Вершина: (2; -2)

Шаг 3: Ось симметрии: x = 2

Шаг 4: Точка пересечения с осью y: (0; 6)

[МЕДИА: image_02] Описание: График параболы y = 2x² - 8x + 6 с отмеченными ключевыми точками Промпт: “mathematical graph of parabola y = 2x² - 8x + 6, marked vertex at (2,-2), y-intercept at (0,6), axis of symmetry, grid background, educational style”

Пример 2: Задача на оптимизацию

Задача: Фермер хочет огородить прямоугольный участок площадью 200 м², используя минимум забора. Какие должны быть размеры?

Решение: Пусть одна сторона x метров, тогда другая 200/x метров. Периметр: P(x) = 2x + 2·(200/x) = 2x + 400/x

Чтобы найти минимум, приведем к стандартному виду или используем производную: P’(x) = 2 - 400/x² = 0 2 = 400/x² x² = 200 x = 10√2 ≈ 14,14 м

Ответ: Квадрат со сторонами 10√2 метров даст минимальный периметр!

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Для функции y = -x² + 4x - 3 найди: а) Направление ветвей параболы б) Координаты вершины в) Ось симметрии

Задание 2: Построй схематично график y = x² - 6x + 8, отметив основные точки

Задание 3: При каком значении x функция y = 2x² - 12x + 10 принимает наименьшее значение?

Задание 4: Найди точки пересечения параболы y = x² - 5x + 6 с осью x

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Мяч брошен с высоты 2 метра. Высота мяча описывается функцией h(t) = -5t² + 10t + 2. Найди: а) Максимальную высоту полета б) Время, через которое мяч упадет на землю

Задание 6: Парабола проходит через точки (0; 3), (1; 4), (2; 9). Найди её уравнение.

Задание 7: Найди все значения параметра a, при которых уравнение ax² - 4x + 1 = 0 имеет два различных корня

Задание 8: Прибыль компании описывается функцией P(x) = -2x² + 40x - 100, где x - цена товара в тысячах рублей. При какой цене прибыль максимальна?

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи, что если парабола y = ax² + bx + c касается оси x, то дискриминант b² - 4ac = 0

Задание 10: Найди все квадратичные функции, график которых проходит через точку (1; 0) и имеет вершину на прямой y = x - 2

Задание 11: Ракета запущена под углом к горизонту. Её траектория описывается функцией y = -0,1x² + 2x, где x и y измеряются в километрах. На каком расстоянии от точки запуска ракета достигнет максимальной высоты и какой будет эта высота?

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: “При a < 0 парабола направлена влево” ✅ Правильно: При a < 0 ветви направлены вниз (парабола “грустит”) 💡 Почему: Коэффициент a влияет только на направление по оси y, не по x

❌ Ошибка: “Вершина всегда в точке (0; c)” ✅ Правильно: Вершина в точке (-b/(2a); f(-b/(2a))) 💡 Почему: Точка (0; c) - это пересечение с осью y, а не вершина

❌ Ошибка: При решении квадратного уравнения забывают проверить знак дискриминанта ✅ Правильно: Сначала вычисли D = b² - 4ac, потом делай выводы о корнях 💡 Почему: От знака дискриминанта зависит количество точек пересечения с осью x

❌ Ошибка: “Если a больше, парабола шире” ✅ Правильно: Чем больше |a|, тем уже парабола 💡 Почему: При больших |a| функция растет быстрее, график становится более “острым”

❌ Ошибка: Путают координаты вершины при записи в виде y = a(x - h)² + k ✅ Правильно: Вершина находится в точке (h; k), обрати внимание на знак! 💡 Почему: В скобках стоит (x - h), поэтому при x = h выражение в скобках равно нулю

🎓 Главное запомнить

✅ Квадратичная функция y = ax² + bx + c описывает параболу ✅ Вершина параболы: x₀ = -b/(2a), это точка экстремума ✅ При a > 0 парабола “смотрит” вверх, при a < 0 - вниз ✅ Используется везде: от игровой физики до экономических расчетов

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Из квадратных уравнений (урок 66) - график функции показывает, сколько корней имеет уравнение ax² + bx + c = 0

Куда ведет: К производным (скорость изменения функции), к неравенствам (когда функция положительна/отрицательна), к физике (кинематика), к экономике (оптимизация прибыли)