Композиция функций: когда функции работают друг с другом

🎯 Зачем это нужно?

Представь Instagram фильтры! 📸 Сначала ты применяешь фильтр “Яркость”, потом “Размытие”, а затем “Контраст”. Каждый фильтр - это функция, а результат - это композиция функций!

В программировании это основа: API вызовы, обработка данных, машинное обучение - везде функции работают “по цепочке”. Netflix рекомендует фильмы через десятки функций подряд! 🎬

Google Translate: текст → распознавание языка → перевод → проверка грамматики → вывод. Каждая стрелочка - это композиция! 🌍

📚 История вопроса

Лейбниц в 1695 году заметил: “Если есть функция от функции, то можно их объединить в одну сложную функцию”. Он изучал движение планет - скорость как функция от времени, а ускорение как функция от скорости. Так родилась идея композиции! 🚀

💡 Интуиция

Композиция - это как конвейер на заводе. Сначала деталь попадает в одну машину (функция f), выходит готовый полуфабрикат. Потом этот полуфабрикат попадает во вторую машину (функция g), и получается финальный продукт! 🏭

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема конвейера с двумя машинами, показывающая как x проходит через f, затем через g Промпт: “educational illustration showing factory conveyor belt with two machines, input x going through function f then function g, arrows showing data flow, modern clean industrial design, suitable for high school students”

Важно: порядок имеет значение! Если сначала надеть носки, а потом обувь - это одно. А если наоборот - совсем другое! 😅

📐 Формальное определение

Композиция функций f и g (читается “g композиция f” или “g после f”): (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Это означает: “Сначала применяем f к x, а потом g к результату”

Область определения композиции: D(g ∘ f) = {x ∈ D(f) | f(x) ∈ D(g)}

Проще говоря: x должен подходить для f, И результат f(x) должен подходить для g.

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Простая композиция

Даны функции:

• f(x) = 2x + 1
• g(x) = x²

Найдем (g ∘ f)(x):

Шаг 1: Сначала применяем f f(x) = 2x + 1

Шаг 2: Результат подставляем в g g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)²

Шаг 3: Упрощаем (g ∘ f)(x) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1

А что если наоборот? (f ∘ g)(x): f(g(x)) = f(x²) = 2·x² + 1 = 2x² + 1

Видишь? Разные результаты! Композиция НЕ коммутативна! ⚠️

[МЕДИА: image_02] Описание: Диаграмма показывающая разность (g∘f)(x) и (f∘g)(x) для данного примера Промпт: “mathematical diagram comparing two function compositions, showing g∘f versus f∘g, arrows and function boxes, different colored paths, educational style for high school math”

Пример 2: С ограничениями области определения

f(x) = √x (x ≥ 0) g(x) = x - 5

Найдем области определения для (g ∘ f)(x) и (f ∘ g)(x):

(g ∘ f)(x) = g(√x) = √x - 5

• x должно быть ≥ 0 (для корня)
• √x может быть любым ≥ 0, поэтому g применима всегда
• Область определения: x ≥ 0

(f ∘ g)(x) = f(x - 5) = √(x - 5)

• Нужно x - 5 ≥ 0, то есть x ≥ 5
• Область определения: x ≥ 5

Гораздо более ограничена! 🎯

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задача 1: f(x) = x + 3, g(x) = 2x. Найди (g ∘ f)(5).

Задача 2: f(x) = x², g(x) = x - 1. Найди формулу для (g ∘ f)(x).

Задача 3: h(x) = 3x, k(x) = x + 2. Докажи, что (h ∘ k)(x) ≠ (k ∘ h)(x).

Продвинутый уровень 🟡

Задача 4: f(x) = 1/x, g(x) = x + 1. Найди область определения (f ∘ g)(x).

Задача 5: Известно, что f(x) = 2x - 1 и (g ∘ f)(x) = 4x² - 4x + 3. Найди g(x).

Задача 6: Построй график функции (g ∘ f)(x), если f(x) = |x| и g(x) = x - 2.

Челлендж 🔴

Задача 7: Найди все функции f такие, что (f ∘ f)(x) = x для всех x.

Задача 8: В социальной сети количество лайков растет как L(t) = t², а количество просмотров как V(L) = 3L + 10. Найди, как количество просмотров зависит от времени.

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: (g ∘ f)(x) = g(x) · f(x) ✅ Правильно: (g ∘ f)(x) = g(f(x)) 💡 Почему: Композиция - это подстановка, а не произведение!

❌ Ошибка: Думать, что f ∘ g = g ∘ f ✅ Правильно: Порядок важен! Обычно f ∘ g ≠ g ∘ f 💡 Почему: Как надевание носков и обуви - порядок решает всё!

❌ Ошибка: Забывать про область определения ✅ Правильно: Всегда проверяй, где композиция определена 💡 Почему: f(x) должно попадать в область определения g!

🎓 Главное запомнить

✅ (g ∘ f)(x) = g(f(x)) - сначала f, потом g ✅ Композиция НЕ коммутативна: f ∘ g ≠ g ∘ f
✅ Область определения композиции может быть сложной ✅ Это основа для понимания сложных функций в анализе

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Функции (урок 76), свойства функций (урок 82) Куда ведет: Производная сложной функции, логарифмы и показательные функции, тригонометрические функции В жизни: Программирование, обработка сигналов, экономические модели, нейросети