Преобразования графиков функций

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты создаёшь анимацию для YouTube канала 🎬. Нарисовал одного персонажа, а теперь нужно сделать его копии: больше, меньше, перевёрнутые, в других местах экрана. Не рисовать же каждого заново! Программы используют трансформации - берут исходный объект и применяют к нему преобразования.

То же самое с графиками функций! Знаешь график y = x²? Из него можно получить тысячи других парабол, просто применив преобразования! 📈

В компьютерной графике, обработке сигналов, анимации в играх - везде используются эти принципы. Даже фильтры в Instagram работают на преобразованиях! 📱

💡 Интуиция

Представь график функции как картинку на экране телефона. Что ты можешь с ней делать?

🔄 Двигать влево-вправо, вверх-вниз 🔍 Растягивать или сжимать по горизонтали и вертикали
🪞 Отражать как в зеркале 🎨 Комбинировать все эти действия

Каждому действию с “картинкой” соответствует изменение формулы функции!

[МЕДИА: image_01] Описание: Базовый график y=x² и его различные преобразования: сдвиги, растяжения, отражения Промпт: “educational illustration showing basic parabola y=x² and its transformations, parallel shifts, stretching, reflections, coordinate grid, different colors for each transformation, modern clean mathematical style”

📐 Формальное определение

Пусть y = f(x) - исходная функция. Основные преобразования:

1️⃣ Параллельные переносы:

• y = f(x) + b - сдвиг на b единиц по оси Y
• y = f(x - a) - сдвиг на a единиц вправо по оси X

2️⃣ Масштабирование:

• y = k·f(x) - растяжение в k раз по оси Y (при k > 1)
• y = f(x/m) - растяжение в m раз по оси X (при m > 1)

3️⃣ Отражения:

• y = -f(x) - отражение относительно оси X
• y = f(-x) - отражение относительно оси Y

4️⃣ Общий вид: y = k·f(m(x - a)) + b - комбинация всех преобразований

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Построить график y = (x - 3)² + 2

Исходная функция: y = x² (стандартная парабола)

Шаг 1: Анализируем формулу y = (x - 3)² + 2

• (x - 3) означает сдвиг на 3 единицы ВПРАВО
• +2 означает сдвиг на 2 единицы ВВЕРХ

Шаг 2: Применяем преобразования

1. Берём график y = x² с вершиной в (0;0)
2. Сдвигаем на 3 единицы вправо → вершина в (3;0)
3. Сдвигаем на 2 единицы вверх → вершина в (3;2)

Результат: Парабола с вершиной в точке (3;2)

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое преобразование параболы y=x² в y=(x-3)²+2 с анимацией сдвигов Промпт: “step-by-step transformation animation of parabola y=x² to y=(x-3)²+2, showing horizontal and vertical shifts, coordinate grid, vertex movement highlighted, educational mathematical visualization”

Пример 2: График y = -2(x + 1)² - 3

Анализ формулы:

• Коэффициент -2: растяжение в 2 раза + отражение по X
• (x + 1): сдвиг на 1 единицу ВЛЕВО
• -3: сдвиг на 3 единицы ВНИЗ

Последовательность преобразований:

1. y = x² → исходная парабола
2. y = (x + 1)² → сдвиг влево на 1
3. y = 2(x + 1)² → растяжение в 2 раза по Y
4. y = -2(x + 1)² → отражение по оси X
5. y = -2(x + 1)² - 3 → сдвиг вниз на 3

Результат: Перевёрнутая парабола с вершиной в (-1;-3)

Пример 3: График y = |2x - 4| + 1

Преобразуем: y = |2(x - 2)| + 1 = 2|x - 2| + 1

Анализ:

• Исходная функция: y = |x| (модуль)
• |x - 2|: сдвиг на 2 единицы вправо
• 2|x - 2|: растяжение в 2 раза по Y
• 2|x - 2| + 1: сдвиг на 1 единицу вверх

[МЕДИА: image_03] Описание: Преобразование графика модуля с выделением каждого этапа трансформации Промпт: “transformation sequence of absolute value function y=|x| to y=2|x-2|+1, showing shifts and stretching, V-shaped graphs, coordinate system, clear step labels, educational style”

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

1. Построй график функции y = x² - 4. Какая это парабола и где её вершина?

2. График какой функции получится, если y = x² сдвинуть на 5 единиц влево и на 2 единицы вверх?

3. Опиши преобразования для функции y = (x - 1)³

4. Найди вершину параболы y = (x + 3)² - 7

Продвинутый уровень 🟡

5. Построй график y = -x² + 6x - 5, предварительно выделив полный квадрат

6. Как из графика y = √x получить график y = 2√(x + 3) - 1?

7. Функция y = f(x) проходит через точку (2;5). Через какую точку пройдёт график y = 3f(x - 1) + 4?

8. При каких значениях a и b график y = (x - a)² + b проходит через точки (1;3) и (3;3)?

Челлендж 🔴

9. График функции y = f(x) имеет область определения [-2;4] и область значений [0;6]. Найди области определения и значений для y = 2f(3x + 6) - 1

10. Найди все значения параметра k, при которых график y = |x - k| + |x + k| симметричен относительно оси Y

11. Построй график функции y = ||x| - 2|

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: y = f(x - 3) - это сдвиг влево на 3 ✅ Правильно: y = f(x - 3) - это сдвиг ВПРАВО на 3
💡 Почему: При x = 3 получаем f(0), значит сдвигаемся к большим x

❌ Ошибка: Коэффициент 2 в y = 2f(x) сжимает график в 2 раза ✅ Правильно: Коэффициент 2 РАСТЯГИВАЕТ график в 2 раза по оси Y 💡 Почему: Все y-координаты увеличиваются в 2 раза

❌ Ошибка: y = f(2x) растягивает график в 2 раза по X
✅ Правильно: y = f(2x) СЖИМАЕТ график в 2 раза по X 💡 Почему: График “проходится” в 2 раза быстрее

❌ Ошибка: При построении забывают про порядок преобразований ✅ Правильно: Сначала изменения внутри f(), потом снаружи 💡 Почему: y = 2f(x-3) + 1: сначала сдвиг (x-3), затем растяжение ×2, потом сдвиг +1

❌ Ошибка: Путают отражение y = f(-x) и y = -f(x) ✅ Правильно: y = f(-x) - отражение по Y, y = -f(x) - отражение по X
💡 Почему: Минус внутри функции меняет аргумент, снаружи - значение

🎓 Главное запомнить

✅ Изменения внутри f(): f(x±a), f(kx) - влияют на ось X ✅ Изменения снаружи: k·f(x), f(x)±b - влияют на ось Y
✅ Порядок: сначала преобразования аргумента, потом значения ✅ Знак “минус”: внутри - отражение по Y, снаружи - по X

🔗 Связь с другими темами

Преобразования графиков - это основа для понимания:

• Тригонометрических функций (сдвиги фазы, амплитуда)
• Квадратичных функций (канонический вид параболы)
• Показательных функций (влияние параметров на рост)
• Дифференциального исчисления (как производная связана с преобразованиями)

В программировании это CSS-трансформации, в физике - колебания и волны, в экономике - модели с параметрами! 🚀