🔴 Сложный ⏱️ 25 минут

Чётность и нечётность функций

Чётность и нечётность функций

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты создаёшь игру и рисуешь симметричную карту мира 🎮. Левая половина - точное зеркальное отражение правой. Или смотришь на график биткоина 📈 - иногда он “отскакивает” от центра симметрично в обе стороны. А ещё чётные и нечётные функции помогают физикам описывать волны звука в наушниках и колебания в мостах!

В программировании такие функции используют для:

  • 🎵 Обработки звука (sin и cos - основа всех аудиоэффектов)
  • 🔐 Шифрования данных
  • 📊 Анализа данных в нейросетях

💡 Интуиция

Думай о функциях как о “поведении” на координатной плоскости:

Чётная функция = “Зеркальная симметрия” 🪞 Если сложить график пополам по оси Y, половинки совпадут. Как лицо человека (почти симметрично относительно носа).

Нечётная функция = “Поворотная симметрия” 🔄
Если повернуть график на 180° вокруг начала координат, он совпадёт сам с собой. Как знак “S” - поверни его, и получишь то же самое.

[МЕДИА: image_01] Описание: Сравнение чётной функции (парабола y=x²) и нечётной функции (кубическая y=x³) на одной координатной плоскости Промпт: “educational graph showing even function y=x² and odd function y=x³ on same coordinate plane, highlighting symmetry properties, axis of symmetry for even function, point symmetry for odd function, modern clean mathematical style, blue and red colors”

📐 Формальное определение

Чётная функция: f(-x) = f(x) для всех x из области определения

  • График симметричен относительно оси OY

Нечётная функция: f(-x) = -f(x) для всех x из области определения

  • График симметричен относительно начала координат

Важно: Область определения должна быть симметричной относительно нуля!

Алгоритм проверки:

  1. Проверь, что область определения симметрична относительно 0
  2. Найди f(-x)
  3. Сравни с f(x) и -f(x)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: f(x) = x² + 4

Шаг 1: Область определения: (-∞; +∞) ✅ (симметрична)

Шаг 2: Найдём f(-x): f(-x) = (-x)² + 4 = x² + 4

Шаг 3: Сравниваем: f(-x) = x² + 4 = f(x) ✅

Вывод: Функция чётная! График - парабола, симметричная относительно оси Y.

Пример 2: f(x) = x³ - x

Шаг 1: Область определения: (-∞; +∞) ✅

Шаг 2: f(-x) = (-x)³ - (-x) = -x³ + x = -(x³ - x) = -f(x)

Шаг 3: f(-x) = -f(x) ✅

Вывод: Функция нечётная! График симметричен относительно начала координат.

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговая проверка чётности функции f(x) = x² + 4 с выделением ключевых шагов Промпт: “step-by-step mathematical verification showing f(-x) = f(x) for even function, clear annotations, arrows pointing to key steps, educational diagram style, green checkmarks for correct steps”

Пример 3: f(x) = x² + x

Шаг 1: Область определения: (-∞; +∞) ✅

Шаг 2: f(-x) = (-x)² + (-x) = x² - x

Шаг 3: Сравниваем:

  • f(-x) = x² - x
  • f(x) = x² + x
  • -f(x) = -(x² + x) = -x² - x

f(-x) ≠ f(x) и f(-x) ≠ -f(x)

Вывод: Функция ни чётная, ни нечётная!

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Определи чётность функции f(x) = x⁴ - 2x²

💡 Подсказка Замени x на -x и упрости выражение
✅ Ответ f(-x) = (-x)⁴ - 2(-x)² = x⁴ - 2x² = f(x). Функция чётная.

Задание 2: Проверь функцию g(x) = 2x³ + x

💡 Подсказка Не забудь про знак перед x³
✅ Ответ g(-x) = 2(-x)³ + (-x) = -2x³ - x = -(2x³ + x) = -g(x). Функция нечётная.

Задание 3: Исследуй h(x) = x² + 3x + 1

✅ Ответ h(-x) = x² - 3x + 1. Не равно h(x) и не равно -h(x). Ни чётная, ни нечётная.

Задание 4: f(x) = |x| - чётная или нечётная?

✅ Ответ f(-x) = |-x| = |x| = f(x). Чётная функция.

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Докажи, что f(x) = cos(x) - чётная функция

✅ Ответ f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x) (свойство косинуса)

Задание 6: Исследуй функцию p(x) = x/(x² + 1)

✅ Ответ p(-x) = (-x)/((-x)² + 1) = -x/(x² + 1) = -p(x). Нечётная.

Задание 7: Может ли функция быть одновременно чётной и нечётной?

✅ Ответ Да, только f(x) = 0. Если f(-x) = f(x) и f(-x) = -f(x), то f(x) = -f(x), откуда f(x) = 0.

Задание 8: Определи чётность f(x) = x²sin(x)

💡 Подсказка sin(-x) = -sin(x)
✅ Ответ f(-x) = (-x)²sin(-x) = x²(-sin(x)) = -x²sin(x) = -f(x). Нечётная.

Челлендж 🔴

Задание 9: Если f(x) - чётная, а g(x) - нечётная, какой будет чётность произведения f(x)·g(x)?

✅ Ответ (f·g)(-x) = f(-x)·g(-x) = f(x)·(-g(x)) = -f(x)g(x) = -(f·g)(x). Произведение нечётное.

Задание 10: Исследуй f(x) = (x² + 1)/(x⁴ + x² + 1)

✅ Ответ f(-x) = ((-x)² + 1)/((-x)⁴ + (-x)² + 1) = (x² + 1)/(x⁴ + x² + 1) = f(x). Чётная.

Задание 11: Построй чётную функцию, проходящую через точки (1,2), (3,5)

✅ Ответ Если функция чётная и проходит через (1,2), то обязательно проходит через (-1,2). Аналогично для (3,5) и (-3,5). Можно использовать интерполяцию через чётные степени.

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: “Если f(2) = f(-2), то функция чётная” ✅ Правильно: Нужно проверить равенство f(x) = f(-x) для ВСЕХ x из области определения 💡 Почему: Одна точка не определяет свойство всей функции

❌ Ошибка: Забывают проверить симметричность области определения ✅ Правильно: Сначала проверь, что если x входит в область определения, то и -x тоже входит 💡 Почему: Без этого понятие чётности/нечётности теряет смысл

❌ Ошибка: Путают f(-x) и -f(x) ✅ Правильно: f(-x) - подставляем -x вместо x; -f(x) - берём функцию с минусом 💡 Почему: Это разные операции!

🎓 Главное запомнить

✅ Чётная функция: f(-x) = f(x), график симметричен относительно оси Y ✅ Нечётная функция: f(-x) = -f(x), график симметричен относительно начала координат
✅ Область определения должна быть симметричной относительно нуля ✅ Большинство функций - ни чётные, ни нечётные

🔗 Связь с другими темами

Эта тема поможет в изучении:

  • Интегрирования (интегралы от нечётных функций по симметричному промежутку равны нулю)
  • Рядов Фурье (разложение функций на чётную и нечётную части)
  • Тригонометрических функций (cos - чётная, sin - нечётная)
  • Исследования функций (помогает строить графики быстрее)

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку
💬 Есть вопрос? Спроси бота!