🔴 Сложный ⏱️ 25 минут

Периодические функции: когда математика повторяется

🎯 Зачем это нужно?

Открой любое приложение с музыкой 🎵 - звуковые волны повторяются тысячи раз в секунду. Включи GPS 📱 - спутники движутся по орбитам, которые описываются периодическими функциями. А биткоин 📈? Да, даже его цена имеет циклические колебания!

Периодические функции - это математический способ описать всё, что повторяется в природе и технологиях. От сердцебиения до переменного тока в розетке! 🔌

📚 История вопроса

В XVII веке астрономы заметили странность: планеты движутся не по кругам, как думали древние, но их движение всё равно повторяется! Именно тогда математики поняли, что нужны специальные функции для описания циклических процессов.

Жозеф Фурье в 1807 году доказал невероятное: ЛЮБОЙ периодический сигнал можно разложить на простые синусы и косинусы! Сегодня это используется везде - от сжатия MP3 до обработки фото в Instagram! 📸

💡 Интуиция

Представь колесо обозрения 🎡. Когда ты делаешь полный оборот, твоя высота над землёй сначала растёт, достигает максимума, потом падает до минимума, и… снова повторяется точно так же!

Вот это и есть периодическая функция - она “делает одно и то же” через равные промежутки времени.

[МЕДИА: image_01] Описание: График синуса с выделенным периодом, показывающий повторение волны Промпт: “mathematical graph of sine function showing periodic repetition, highlighted period intervals, colorful wave pattern, clean educational style, axis labels, modern design”

📐 Формальное определение

Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0, если для всех x из области определения выполняется:

f(x + T) = f(x)

Период - это наименьшее положительное число T, при котором это равенство верно.

Простыми словами: если сдвинуть график на T единиц влево или вправо, он совпадёт сам с собой! 🔄

Основные свойства:

Если T - период, то 2T, 3T, 4T… тоже периоды
Основной период - наименьший положительный период
sin(x) и cos(x): основной период 2π
tan(x): основной период π

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Классический синус

f(x) = sin(x)

Проверим, что T = 2π - период: sin(x + 2π) = sin(x) ✓

Почему именно 2π? Потому что это полный оборот по единичной окружности! 360° = 2π радиан.

[МЕДИА: image_02] Описание: Единичная окружность и график синуса, показывающие связь между углом и периодом Промпт: “split illustration showing unit circle on left and sine graph on right, arrows connecting corresponding points, angle markings, period 2π highlighted, educational mathematical visualization”

Пример 2: Ускоренные колебания

f(x) = sin(3x)

Здесь период сжимается! Найдём его: sin(3(x + T)) = sin(3x) sin(3x + 3T) = sin(3x)

Для этого нужно: 3T = 2π Значит, T = 2π/3

Правило: для sin(kx) период равен 2π/|k|

Пример 3: Сдвинутая функция

f(x) = 2sin(x + π/4) + 1

Разберём по частям:

Амплитуда: 2 (колеблется от -2 до 2)
Сдвиг по фазе: π/4 (график сдвинут влево)
Сдвиг по вертикали: +1 (график поднят на 1)
Период остаётся тот же: 2π

Сдвиги не влияют на период! 🎯

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди период функции f(x) = cos(2x)

💡 Подсказка

Используй формулу для cos(kx): период = 2π/|k|

✅ Ответ

T = 2π/2 = π

Задание 2: Определи период f(x) = sin(x/3)

💡 Подсказка

Здесь k = 1/3. Не забудь про модуль!

✅ Ответ

T = 2π/(1/3) = 6π

Задание 3: Какой период у функции f(x) = tan(4x)?

💡 Подсказка

У тангенса основной период π, а не 2π!

✅ Ответ

T = π/4

Задание 4: Найди период f(x) = 3cos(x) - 2

💡 Подсказка

Вертикальные сдвиги и растяжения не влияют на период

✅ Ответ

T = 2π (как у обычного косинуса)

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди период функции f(x) = sin(πx/2)

💡 Подсказка

Здесь k = π/2

✅ Ответ

T = 2π/(π/2) = 4

Задание 6: Определи период f(x) = cos²(x)

💡 Подсказка

Используй формулу cos²(x) = (1 + cos(2x))/2

✅ Ответ

T = π (период cos(2x) равен π)

Задание 7: Какой период у f(x) = |sin(x)|?

💡 Подсказка

Модуль "отражает" отрицательные части вверх

✅ Ответ

T = π (период уменьшается вдвое)

Задание 8: Найди период f(x) = sin(3x) + cos(4x)

💡 Подсказка

Период суммы = НОК периодов слагаемых

✅ Ответ

Период sin(3x) = 2π/3, период cos(4x) = π/2 НОК(2π/3, π/2) = 2π

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи, что f(x) = x - [x] периодическая (где [x] - целая часть x)

💡 Подсказка

Это "пилообразная" функция. Попробуй T = 1

Задание 10: Найди все периоды функции f(x) = sin(√2 · x)

💡 Подсказка

√2 - иррациональное число. Что это значит?

✅ Ответ

Основной период T = 2π/√2 = π√2

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: “У функции f(x) = 2sin(x) период равен 4π” ✅ Правильно: Период равен 2π 💡 Почему: Вертикальное растяжение (коэффициент 2) НЕ влияет на период!

❌ Ошибка: “Период tan(2x) равен 2π/2 = π”
✅ Правильно: Период равен π/2 💡 Почему: У тангенса основной период π, а не 2π!

❌ Ошибка: “f(x) = sin(x) + 3 имеет период, отличный от 2π” ✅ Правильно: Период остаётся 2π
💡 Почему: Вертикальный сдвиг не меняет период!

❌ Ошибка: “Любая функция имеет период” ✅ Правильно: Многие функции НЕ периодические 💡 Почему: f(x) = x, f(x) = eˣ, f(x) = ln(x) не повторяются!

❌ Ошибка: “Период f(x) = sin(x - 5) отличается от 2π” ✅ Правильно: Период равен 2π 💡 Почему: Горизонтальный сдвиг НЕ влияет на период!

🎓 Главное запомнить

✅ Периодическая функция: f(x + T) = f(x) для всех x ✅ Основные периоды: sin(x), cos(x) → 2π; tan(x) → π
✅ Для sin(kx): период = 2π/|k| ✅ Применение: звук, свет, колебания, сигналы, экономические циклы

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Тригонометрические функции (урок 76) - основа всех периодических функций Куда ведут:

Гармонические колебания в физике
Ряды Фурье (разложение сложных сигналов)
Дифференциальные уравнения
Анализ данных и машинное обучение

Real-life связи: 🎵 Обработка звука: любая музыка - это сумма периодических функций 📡 Радиосвязь: AM/FM модуляция основана на периодических функциях
💰 Финансы: модели цикличности рынков 🌡️ Климат: сезонные изменения температуры

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку