🔴 Сложный ⏱️ 25 минут

Экстремумы функций: находим максимумы и минимумы

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты разрабатываешь мобильную игру 🎮. Тебе нужно найти оптимальную цену для внутриигровых покупок - не слишком дорого (иначе никто не купит), но и не слишком дёшево (иначе не заработаешь). Где-то есть “золотая середина” - максимум прибыли!

Или ты планируешь маршрут в горах 🏔️. Тебе важно знать, где самые высокие точки (максимумы) и самые низкие (минимумы), чтобы правильно рассчитать силы.

А ещё экстремумы используют в:

📈 Экономике: максимизация прибыли, минимизация затрат
🚀 Физике: траектории космических аппаратов
📱 IT: оптимизация алгоритмов машинного обучения

📚 История вопроса

Задачи на поиск максимумов и минимумов люди решали ещё в древности! Но математически строгую теорию создал Пьер Ферма в XVII веке. Он заметил: в точке максимума или минимума касательная к графику функции горизонтальна!

Эта гениальная идея легла в основу дифференциального исчисления, которое позже развили Ньютон и Лейбниц.

💡 Интуиция

Представь, что ты идёшь по холмистой местности 🗻. Когда ты поднимаешься на вершину холма, в самой высокой точке ты на мгновение перестаёшь подниматься и ещё не начал спускаться. Скорость изменения высоты в этот момент равна нулю!

То же самое с функциями: в точке максимума или минимума функция “останавливается” - перестаёт расти и ещё не начала убывать (или наоборот).

[МЕДИА: image_01] Описание: График функции с отмеченными точками максимума и минимума, горизонтальные касательные в этих точках Промпт: “educational graph showing function with clear maximum and minimum points, horizontal tangent lines at extrema, colorful modern style, clean background, mathematical illustration for high school students”

📐 Формальное определение

Локальный максимум в точке x₀: f(x₀) ≥ f(x) для всех x из некоторой окрестности x₀

Локальный минимум в точке x₀: f(x₀) ≤ f(x) для всех x из некоторой окрестности x₀

Критические точки - это точки, где производная равна нулю или не существует: f’(x) = 0 или f’(x) не определена

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): Если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x₀, то f’(x₀) = 0 или производная в этой точке не существует.

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Найти экстремумы функции f(x) = x³ - 3x² + 2

Шаг 1: Найдём производную f’(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

Шаг 2: Найдём критические точки 3x(x - 2) = 0 x₁ = 0, x₂ = 2

Шаг 3: Исследуем знак производной

При x < 0: f’(x) = 3(-)(-) = (+) > 0 → функция возрастает
При 0 < x < 2: f’(x) = 3(+)(-) = (-) < 0 → функция убывает
При x > 2: f’(x) = 3(+)(+) = (+) > 0 → функция возрастает

Шаг 4: Определяем типы экстремумов

x = 0: максимум (функция меняется с возрастания на убывание)
x = 2: минимум (функция меняется с убывания на возрастание)

Шаг 5: Вычисляем значения функции

f(0) = 0³ - 3·0² + 2 = 2 (локальный максимум)
f(2) = 2³ - 3·2² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 (локальный минимум)

[МЕДИА: image_02] Описание: График кубической функции с отмеченными экстремумами в точках (0,2) и (2,-2) Промпт: “detailed graph of cubic function x³-3x²+2, clearly marked local maximum at (0,2) and local minimum at (2,-2), coordinate grid, colorful educational style, arrows showing function behavior”

Пример 2: Практическая задача

YouTube-блогер анализирует просмотры своего канала. За t дней после публикации видео количество просмотров описывается функцией V(t) = -t² + 8t + 100 (в тысячах).

Вопрос: На какой день будет максимум просмотров?

Решение: V’(t) = -2t + 8 -2t + 8 = 0 t = 4

Проверяем: V’’(t) = -2 < 0, значит, это действительно максимум.

Ответ: Максимум просмотров будет на 4-й день после публикации. V(4) = -16 + 32 + 100 = 116 тысяч просмотров.

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди экстремумы функции f(x) = x² - 4x + 3

💡 Подсказка

Найди производную, приравняй к нулю, исследуй знак производной

✅ Ответ

f'(x) = 2x - 4 = 0, x = 2. Минимум в точке (2, -1)

Задание 2: Определи, есть ли экстремумы у функции f(x) = 2x + 5

💡 Подсказка

Чему равна производная линейной функции?

✅ Ответ

f'(x) = 2 ≠ 0 для всех x. Экстремумов нет

Задание 3: Найди критические точки функции f(x) = x⁴ - 4x²

💡 Подсказка

f'(x) = 4x³ - 8x = 4x(x² - 2)

✅ Ответ

x = 0, x = ±√2

Задание 4: У функции f(x) = x³ + 3x² - 9x + 1 найди точки экстремума

💡 Подсказка

Найди f'(x), реши уравнение f'(x) = 0, исследуй знак производной

✅ Ответ

Максимум в x = -3, минимум в x = 1

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Интернет-магазин продаёт товар по цене p рублей. Прибыль описывается функцией П(p) = -p² + 120p - 2000. При какой цене прибыль максимальна?

💡 Подсказка

Найди производную прибыли по цене

✅ Ответ

p = 60 рублей, максимальная прибыль 1600 рублей

Задание 6: Найди наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ - 6x² + 9x на отрезке [0, 4]

💡 Подсказка

Найди критические точки внутри отрезка, проверь значения на концах

✅ Ответ

Наибольшее: f(1) = 4, наименьшее: f(3) = 0

Задание 7: Исследуй функцию f(x) = (x-1)²(x+2) на экстремумы

💡 Подсказка

Сначала раскрой скобки или используй правило произведения для производной

✅ Ответ

Максимум в точке x = 0, минимум в точке x = 1

Задание 8: Стартап разрабатывает приложение. Количество активных пользователей через t месяцев: N(t) = t³ - 12t² + 36t + 100. Когда количество пользователей минимально?

💡 Подсказка

Найди критические точки, определи их тип

✅ Ответ

Минимум на 6-м месяце, N(6) = 172 пользователя

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи, что функция f(x) = x + 1/x при x > 0 имеет минимум в точке x = 1

💡 Подсказка

Найди f'(x), проверь вторую производную в критической точке

✅ Ответ

f'(x) = 1 - 1/x², f'(1) = 0. f''(x) = 2/x³ > 0 при x > 0, значит x = 1 - точка минимума

Задание 10: Среди всех прямоугольников с периметром 20 см найди тот, у которого площадь максимальна

💡 Подсказка

Пусть стороны a и b, тогда 2a + 2b = 20, S = ab. Вырази площадь через одну переменную

✅ Ответ

Квадрат со стороной 5 см, максимальная площадь 25 см²

Задание 11: Найди такие числа x и y, чтобы их сумма равнялась 10, а произведение было максимальным

💡 Подсказка

Если x + y = 10, то y = 10 - x. Максимизируй P(x) = x(10 - x)

✅ Ответ

x = y = 5, максимальное произведение = 25

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Думают, что любая критическая точка - это экстремум ✅ Правильно: Критическая точка может быть точкой перегиба (например, у f(x) = x³ в точке x = 0) 💡 Почему: Нужно дополнительно исследовать поведение функции около критической точки

❌ Ошибка: Забывают проверить концы отрезка при поиске наибольшего/наименьшего значения ✅ Правильно: Всегда сравнивают значения функции в критических точках И на концах отрезка 💡 Почему: Глобальный экстремум может находиться на границе области определения

❌ Ошибка: Путают необходимое и достаточное условия экстремума ✅ Правильно: f’(x₀) = 0 - это необходимое условие, но не гарантирует экстремум 💡 Почему: Нужна дополнительная проверка через исследование знака производной

❌ Ошибка: Неправильно определяют тип экстремума ✅ Правильно: Максимум - производная меняется с + на -, минимум - с - на + 💡 Почему: Это связано с поведением функции: возрастание→убывание или убывание→возрастание

❌ Ошибка: Забывают про точки, где производная не существует ✅ Правильно: Критические точки включают также точки излома, вертикальных касательных 💡 Почему: В таких точках тоже могут быть экстремумы (например, f(x) = |x| в точке x = 0)

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Экстремумы находятся в критических точках, где производная равна нулю или не существует ✅ Алгоритм: Найти f’(x) = 0 → исследовать знак производной → определить тип экстремума
✅ Применение: Оптимизация в экономике, физике, программировании и повседневной жизни

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Производная функции (урок 76) - основной инструмент для поиска экстремумов

Куда ведут:

Исследование функций и построение графиков
Задачи оптимизации в экономике
Методы машинного обучения (градиентный спуск ищет минимумы функций потерь)
Вариационное исчисление в университетском курсе

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку