Определение синуса и косинуса

🎯 Зачем это нужно?

🎵 Музыка: Когда ты слушаешь музыку через наушники, звуковые волны имеют синусоидальную форму - синус буквально “рисует” мелодию!

🌊 Физика: Качели, маятники, морские волны - всё это описывается синусом и косинусом

📱 Технологии: GPS в твоём телефоне использует тригонометрию для определения местоположения по сигналам со спутников

📚 История вопроса

В Древней Индии математики изучали тени от палок под разными углами солнца ☀️. Они заметили, что длина тени зависит от угла очень интересным образом. Позже арабские учёные назвали эту зависимость “джайб” (изгиб), что в переводе на латынь стало “sinus” - так появилось наше слово “синус”!

💡 Интуиция

Представь колесо обозрения 🎡. Когда ты сидишь в кабинке, твоя высота над землёй и расстояние от центра колеса меняются по мере вращения.

• Синус показывает твою высоту (вертикальную координату)
• Косинус показывает горизонтальную координату

Самое крутое: если колесо имеет радиус 1 метр и стоит так, что его центр на высоте 1 метр над землёй, то твоя высота над землёй будет равна 1 + sin(угол поворота)!

[МЕДИА: image_01] Описание: Единичная окружность с отмеченной точкой и её координатами (cos α, sin α) Промпт: “educational illustration of unit circle, point marked on circle showing coordinates (cos α, sin α), angle α marked from positive x-axis, coordinate system with clear labels, modern clean style, blue and red colors”

📐 Формальное определение

Единичная окружность - это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.

Для любого угла α (измеренного от положительного направления оси OX против часовой стрелки):

• sin α = y-координата точки на единичной окружности
• cos α = x-координата точки на единичной окружности

Если точка M имеет координаты (x; y), то:

• cos α = x
• sin α = y

Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

(Это просто теорема Пифагора: x² + y² = 1² для точки на единичной окружности!)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Особые углы

Найдём sin и cos для угла 90° (или π/2 радиан):

На единичной окружности поворот на 90° приведёт нас в точку (0; 1). Значит: cos 90° = 0, sin 90° = 1

Проверим тождество: sin²90° + cos²90° = 1² + 0² = 1 ✅

[МЕДИА: image_02] Описание: Единичная окружность с отмеченными особыми углами 0°, 90°, 180°, 270° и их координатами Промпт: “unit circle with special angles marked: 0°, 90°, 180°, 270°, coordinates shown for each point, clear labels, educational mathematical diagram, colorful markers”

Пример 2: Угол 45°

Для 45° (или π/4 радиан) точка на единичной окружности лежит на биссектрисе первого координатного угла.

По симметрии: x = y, и поскольку x² + y² = 1, получаем: 2x² = 1, откуда x = 1/√2 = √2/2

Значит: cos 45° = sin 45° = √2/2 ≈ 0.707

Пример 3: Отрицательный угол

Для угла -60° поворачиваемся на 60° по часовой стрелке. Это то же самое, что поворот на 300° против часовой стрелки.

cos(-60°) = cos(60°) = 1/2 (косинус чётная функция!) sin(-60°) = -sin(60°) = -√3/2 (синус нечётная функция!)

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди координаты точки на единичной окружности для угла 180°

Задание 2: Вычисли sin²30° + cos²30°

Задание 3: Найди cos 270° и sin 270°

Задание 4: Определи знак cos 150°

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Если sin α = 0.6, найди cos α (α - острый угол)

Задание 6: Найди sin α и cos α, если точка поворота имеет координаты (3/5; 4/5)

Задание 7: Вычисли cos(-45°) + sin(-45°)

Задание 8: В какой четверти лежит угол α, если cos α > 0 и sin α < 0?

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи, что для любого угла α выполняется |sin α| ≤ 1 и |cos α| ≤ 1

Задание 10: Найди все углы α от 0° до 360°, для которых sin α = cos α

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают синус и косинус местами ✅ Правильно: sin α - это y-координата, cos α - это x-координата 💡 Почему: Запомни: “COSinus” - это “COordinate X” (начинаются с одной буквы)

❌ Ошибка: Думают, что синус и косинус могут быть больше 1 ✅ Правильно: -1 ≤ sin α ≤ 1 и -1 ≤ cos α ≤ 1 💡 Почему: Точка лежит на окружности радиуса 1, координаты не могут выходить за эти границы

❌ Ошибка: Забывают про знаки в разных четвертях ✅ Правильно: I четверть: sin > 0, cos > 0; II: sin > 0, cos < 0; III: sin < 0, cos < 0; IV: sin < 0, cos > 0 💡 Почему: Знак зависит от того, в какой части координатной плоскости находится точка

🎓 Главное запомнить

✅ Синус и косинус - это координаты точки на единичной окружности ✅ sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество)
✅ |sin α| ≤ 1, |cos α| ≤ 1 всегда

🔗 Связь с другими темами

Эти определения станут основой для изучения тригонометрических функций, их графиков, формул приведения и решения тригонометрических уравнений. А в физике мы будем использовать их для описания колебаний, волн и вращательного движения!