Тангенс и котангенс: функции наклона

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты делаешь фото на камеру телефона и хочешь снять высокое здание целиком 📱. Под каким углом нужно наклонить телефон? Или строители возводят крышу дома - какой угол наклона будет оптимальным? А в компьютерной графике - как повернуть 3D-объект на нужный угол?

Во всех этих задачах работают тангенс и котангенс - функции, которые связывают углы с наклоном! 🏗️

В GPS-навигации они помогают рассчитать уклон дорог, в архитектуре - проектировать лестницы, в игровых движках - создавать реалистичную физику.

📚 История вопроса

В древней Индии математики называли тангенс “тенью” - и это очень точно! 🌅 Когда солнце светит под углом α, длина тени от вертикального столба как раз равна tg(α), умноженному на высоту столба. Древние астрономы использовали это для измерения высоты гор и расстояний до звёзд!

💡 Интуиция

Забудь пока про формулы. Тангенс - это просто крутизна наклона! 📈

Представь, что идёшь в гору:

• tg = 0: идёшь по ровной дороге (горизонталь)
• tg = 1: поднимаешься под углом 45° (на каждый метр вперёд - метр вверх)
• tg = 2: очень крутой подъём (на метр вперёд - два метра вверх)
• tg → ∞: практически вертикальная стена!

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема наклонов с разными значениями тангенса - от пологих до крутых Промпт: “educational illustration showing different slopes with tangent values, hiking path analogy, angles from 0 to 90 degrees, colorful mountains and paths, modern clean style”

А котангенс - это “обратная крутизна”. Если tg говорит “на сколько поднимаешься на единицу пути”, то ctg - “сколько нужно пройти, чтобы подняться на единицу”.

📐 Формальное определение

На единичной окружности для угла α:

Тангенс: tg(α) = sin(α)/cos(α) Котангенс: ctg(α) = cos(α)/sin(α) = 1/tg(α)

Область определения:

• tg(α): α ≠ π/2 + πk, где k ∈ ℤ (там cos(α) = 0)
• ctg(α): α ≠ πk, где k ∈ ℤ (там sin(α) = 0)

Период: и у tg, и у ctg период равен π (180°)

[МЕДИА: image_02] Описание: График функций тангенс и котангенс с отмеченными асимптотами Промпт: “mathematical graphs of tangent and cotangent functions, clear vertical asymptotes, period markings, coordinate axes, educational style, blue and red curves, white background”

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Угол наклона крыши

Крыша дома поднимается на 3 метра на каждые 4 метра горизонтального расстояния. Найти угол наклона.

Решение: tg(α) = подъём/горизонталь = 3/4 = 0.75

α = arctg(0.75) ≈ 36.87° ≈ 37°

Ответ: Угол наклона крыши около 37°

Пример 2: Высота здания по тени

Столб высотой 2 м даёт тень длиной 3 м. Какова высота здания, если его тень 15 м?

Решение: Угол солнца одинаковый: tg(α) = 2/3

Для здания: tg(α) = h/15 = 2/3 h = 15 × 2/3 = 10 м

Ответ: Высота здания 10 метров

Пример 3: Вычисление значений

Найти tg(π/4) и ctg(π/6).

Решение: tg(π/4) = tg(45°) = sin(45°)/cos(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1

ctg(π/6) = ctg(30°) = cos(30°)/sin(30°) = (√3/2)/(1/2) = √3

[МЕДИА: image_03] Описание: Единичная окружность с отмеченными углами 30°, 45°, 60° и значениями тригонометрических функций Промпт: “unit circle diagram with marked special angles, trigonometric values labeled, clear geometric visualization, educational mathematics illustration”

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди значения: а) tg(π/3) б) ctg(π/4) в) tg(0) г) ctg(π/2)

Задание 2: Лестница прислонена к стене под углом 60° к горизонту. Если основание лестницы находится в 2 м от стены, найди длину лестницы.

Задание 3: При каких значениях x не определён tg(x) на промежутке [0; 2π]?

Задание 4: Найди период функции y = 3tg(2x).

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Реши уравнение tg(x) = √3 на промежутке [0; 2π].

Задание 6: Упрости выражение: (sin(α) × ctg(α) + cos(α)) / (tg(α) + ctg(α))

Задание 7: С вершины башни высотой 50 м видны два объекта на земле под углами депрессии 30° и 45°. Найди расстояние между объектами.

Задание 8: Найди наибольшее и наименьшее значения функции y = 2 + 3tg(x) на промежутке [0; π/4].

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи тождество: tg(α/2) = sin(α)/(1 + cos(α))

Задание 10: Найди все решения неравенства tg(x) > 1 на промежутке (-π; π].

Задание 11: В треугольнике ABC известно, что tg(A) = 3/4, tg(B) = 5/12. Найди tg(C).

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают область определения tg и ctg ✅ Правильно: tg не определён при cos = 0, ctg - при sin = 0 💡 Почему: В знаменателе дроби не может быть нуля

❌ Ошибка: Считают период tg равным 2π ✅ Правильно: Период tg и ctg равен π 💡 Почему: tg(x + π) = tg(x) - функция повторяется через π

❌ Ошибка: Забывают про вертикальные асимптоты на графике ✅ Правильно: График tg имеет разрывы в точках π/2 + πk 💡 Почему: В этих точках функция стремится к ±∞

❌ Ошибка: Путают tg и ctg при решении задач на наклон ✅ Правильно: tg = противолежащий/прилежащий, ctg = прилежащий/противолежащий 💡 Почему: Это определение через прямоугольный треугольник

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Тангенс и котангенс измеряют “крутизну” наклона ✅ Формулы: tg(α) = sin(α)/cos(α), ctg(α) = 1/tg(α) ✅ Применение: Углы наклона, высоты, расстояния, 3D-графика

🔗 Связь с другими темами

Тангенс и котангенс тесно связаны с синусом и косинусом (урок 93) через основные формулы. Дальше мы изучим обратные тригонометрические функции - они помогут находить углы по известным значениям tg и ctg. А в тригонометрических уравнениях эти функции станут главными героями для решения практических задач!