Основное тригонометрическое тождество

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты делаешь фото на телефон и хочешь его повернуть 📱. Алгоритм поворота изображений использует именно это тождество! А ещё оно работает в:

🎮 Игровых движках - для вращения персонажей и объектов в 3D-пространстве 📡 GPS-навигации - для расчёта поворотов маршрута
🎵 Музыкальных приложениях - для создания звуковых эффектов и модуляции 💫 Анимации - от простых переходов до сложных эффектов в TikTok

📚 История вопроса

В древней Греции математики изучали окружности для астрономии - нужно было предсказывать движение планет! Но главное открытие сделал не астроном, а… строитель!

Евклид (около 300 г. до н.э.) заметил, что если взять любую точку на окружности радиуса 1, то расстояния от неё до осей координат связаны удивительной зависимостью. Эта связь оказалась настолько важной, что её назвали основным тригонометрическим тождеством.

💡 Интуиция

Возьми единичную окружность (радиус = 1) и поставь точку в любом месте 🎯. Опусти от неё перпендикуляры на оси X и Y.

[МЕДИА: image_01] Описание: Единичная окружность с точкой и прямоугольным треугольником, образованным координатами точки Промпт: “unit circle with point marked, right triangle formed by coordinates, sin and cos labeled, mathematical illustration, clean modern style, educational diagram, bright colors on white background”

Что получается?

• Горизонтальный катет = cos(угла)
• Вертикальный катет = sin(угла)
• Гипотенуза = радиус = 1

По теореме Пифагора: (cos α)² + (sin α)² = 1²

Перепишем красиво: sin²α + cos²α = 1

Вот оно - основное тригонометрическое тождество! Работает для ЛЮБОГО угла α.

📐 Формальное определение

Основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1

для любого действительного числа α.

Доказательство: Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат. Любая точка M на этой окружности имеет координаты (cos α; sin α), где α - угол поворота от положительной полуоси OX.

Поскольку точка M лежит на окружности радиуса 1, то по определению окружности: x² + y² = r² (cos α)² + (sin α)² = 1² sin²α + cos²α = 1 □

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Проверка тождества

Проверим тождество для α = 30°:

• sin 30° = 1/2
• cos 30° = √3/2

sin²30° + cos²30° = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1 ✅

Пример 2: Нахождение одной функции через другую

Дано: cos α = 3/5, α - угол первой четверти. Найти sin α.

Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1 sin²α + (3/5)² = 1 sin²α + 9/25 = 1 sin²α = 1 - 9/25 = 16/25 sin α = ±4/5

Поскольку α в первой четверти, sin α > 0. Ответ: sin α = 4/5

[МЕДИА: image_02] Описание: Единичная окружность с отмеченной точкой в первой четверти, показывающей cos=3/5 и sin=4/5 Промпт: “unit circle diagram showing point in first quadrant with cos=3/5 and sin=4/5, right triangle highlighted, coordinates labeled, educational mathematical illustration, clear and colorful”

Пример 3: Упрощение выражения

Упростить: (1 - sin²x) / cos²x

Решение: Из основного тождества: sin²x + cos²x = 1 Отсюда: 1 - sin²x = cos²x

Подставляем: (1 - sin²x) / cos²x = cos²x / cos²x = 1

Ответ: 1

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди sin α, если cos α = -5/13 и α во второй четверти.

Задание 2: Проверь тождество для α = 45°.

Задание 3: Упрости выражение: sin²x + cos²x - 1

Задание 4: Найди cos α, если sin α = 0,6 и 0° < α < 90°.

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Докажи, что sin⁴x + cos⁴x = 1 - 2sin²x cos²x

Задание 6: Найди все углы α ∈ [0°; 360°), для которых sin α = cos α.

Задание 7: Упрости: (sin²α - 1) / (cos²α - 1)

Задание 8: Найди наименьшее значение выражения 3sin²x + 4cos²x.

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи, что если sin α + cos α = k, то sin α · cos α = (k² - 1)/2.

Задание 10: Найди все значения параметра a, при которых система имеет решение: {sin x = a {cos x = a - 1

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Забывают учитывать знак при извлечении корня Дано cos α = 3/5, нашли sin²α = 16/25, написали sin α = 4/5 ✅ Правильно: sin α = ±4/5, знак зависит от четверти! 💡 Почему: Квадрат “стирает” информацию о знаке

❌ Ошибка: Путают sin²α и (sin α)² ✅ Правильно: sin²α = (sin α)² - это одно и то же 💡 Почему: Просто два способа записи степени

❌ Ошибка: Считают, что тождество работает только для острых углов ✅ Правильно: sin²α + cos²α = 1 для ЛЮБОГО угла α 💡 Почему: Определение через единичную окружность не зависит от величины угла

🎓 Главное запомнить

✅ sin²α + cos²α = 1 - работает для любого угла ✅ Следствие теоремы Пифагора для единичной окружности
✅ Позволяет находить одну функцию через другую ✅ Основа для всех остальных тригонометрических тождеств

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Теорема Пифагора (урок 93), определение тригонометрических функций (урок 94)

Куда идём: Другие тригонометрические тождества, решение тригонометрических уравнений, преобразование тригонометрических выражений

Связь с физикой: Гармонические колебания, волны, переменный ток

Связь с геометрией: Векторы, повороты, проекции