Формулы сложения тригонометрических функций

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты пишешь код для игры, где два персонажа движутся под разными углами 🎮. Чтобы найти итоговое направление или рассчитать траектории столкновения, программе нужно сложить углы. Но sin(α + β) ≠ sin(α) + sin(β)! Как же правильно находить тригонометрические функции от суммы углов?

🎵 В музыке: При смешивании двух звуковых волн с разными частотами 📡 В связи: Модуляция сигналов на разных частотах
🛰️ В навигации: Расчет координат при повороте системы отсчета 💹 В экономике: Анализ сезонных колебаний с наложенным трендом

📚 История вопроса

Формулы сложения известны с древности! Птолемей во II веке использовал их для астрономических вычислений, а исламские математики в IX веке развили их до современного вида. Эти формулы стали основой для всех остальных тригонометрических преобразований 🌟

💡 Интуиция

Почему sin(30° + 60°) ≠ sin(30°) + sin(60°)?

Проверим: sin(90°) = 1, а sin(30°) + sin(60°) = 1/2 + √3/2 ≈ 1.37

Дело в том, что тригонометрические функции описывают координаты на окружности. Когда мы “складываем” углы, мы поворачиваем радиус-вектор, и его координаты изменяются нелинейно! Это как в векторной графике - поворот на сумму углов не равен сумме поворотов координат.

[МЕДИА: image_01] Описание: Единичная окружность с векторами для углов α, β и α+β, показывающая геометрический смысл формул сложения Промпт: “unit circle diagram showing vectors for angles alpha, beta, and alpha+beta, coordinate projections, geometric proof illustration, educational style, blue and red colors, clean mathematical design”

📐 Формальные определения

Основные формулы сложения:

Косинус суммы и разности:

• cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)
• cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

Синус суммы и разности:

• sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
• sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)

Тангенс суммы и разности:

• tg(α + β) = (tg(α) + tg(β))/(1 - tg(α)tg(β))
• tg(α - β) = (tg(α) - tg(β))/(1 + tg(α)tg(β))

Геометрическое доказательство

Рассмотрим два единичных вектора под углами α и β к оси x. Их скалярное произведение равно cos(β - α), а через координаты:

(cos(α), sin(α)) · (cos(β), sin(β)) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

Значит: cos(β - α) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

Заменив β - α на γ, получаем: cos(γ) = cos(α)cos(α + γ) + sin(α)sin(α + γ)

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое геометрическое доказательство формулы косинуса суммы через скалярное произведение векторов Промпт: “step-by-step geometric proof of cosine addition formula, unit vectors, dot product visualization, mathematical diagrams with clear annotations, educational illustration”

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Вычисление точного значения

Найдем sin(75°) = sin(45° + 30°)

Решение: sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)

sin(75°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4

Проверка на калькуляторе: sin(75°) ≈ 0.966, а (√6 + √2)/4 ≈ 0.966 ✅

Пример 2: Упрощение выражения

Упростить: cos(x + 60°) + cos(x - 60°)

Решение: cos(x + 60°) = cos(x)cos(60°) - sin(x)sin(60°) = cos(x) · 1/2 - sin(x) · √3/2

cos(x - 60°) = cos(x)cos(60°) + sin(x)sin(60°) = cos(x) · 1/2 + sin(x) · √3/2

Складываем: cos(x + 60°) + cos(x - 60°) = cos(x)/2 - sin(x)√3/2 + cos(x)/2 + sin(x)√3/2 = cos(x)

Пример 3: Доказательство тождества

Докажем: sin(x + y) + sin(x - y) = 2sin(x)cos(y)

Левая часть: sin(x + y) + sin(x - y) = [sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)] + [sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)] = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) = 2sin(x)cos(y)

Правая часть: 2sin(x)cos(y)

Тождество доказано! ✅

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Вычисли точное значение cos(15°)

Задание 2: Найди sin(105°)

Задание 3: Упрости sin(x + 90°)

Задание 4: Вычисли tg(π/12)

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Докажи: cos(2α) = cos²(α) - sin²(α)

Задание 6: Упрости: sin(x + y)sin(x - y)

Задание 7: Найди период функции f(x) = sin(2x + π/3) + cos(2x - π/6)

Задание 8: Реши уравнение: sin(x + π/4) = √2/2

Челлендж 🔴

Задание 9: Выведи формулу для sin(3α) через sin(α)

Задание 10: Докажи, что tg(α + β + γ) = (tg(α) + tg(β) + tg(γ) - tg(α)tg(β)tg(γ))/(1 - tg(α)tg(β) - tg(β)tg(γ) - tg(γ)tg(α))

Задание 11: Найди все решения: cos(x + π/6) + cos(x - π/6) = 1

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: sin(α + β) = sin(α) + sin(β) ✅ Правильно: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β) 💡 Почему: Тригонометрические функции нелинейны!

❌ Ошибка: Путают знаки в формулах (особенно для cos(α + β)) ✅ Правильно: cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) (минус!) 💡 Почему: Запоминай: “косинус-косинус МИНУС синус-синус”

❌ Ошибка: tg(90° + α) = tg(90°) + tg(α) = ∞ + tg(α) ✅ Правильно: tg(90° + α) = -ctg(α) (используй формулу!) 💡 Почему: Когда тангенс не определен, нужно применить формулы приведения

❌ Ошибка: Неправильно определяют знаки при подстановке отрицательных углов ✅ Правильно: Внимательно следи за знаками sin(-α) = -sin(α), cos(-α) = cos(α) 💡 Почему: Четность/нечетность функций влияет на вычисления

❌ Ошибка: Забывают про область определения при работе с тангенсами ✅ Правильно: Проверяй, что знаменатель 1 - tg(α)tg(β) ≠ 0 💡 Почему: Формула работает только при существовании всех тангенсов

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Формулы сложения позволяют вычислять тригонометрические функции суммы/разности углов ✅ Ключевые формулы:

• sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
• cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) ✅ Применение: Упрощение выражений, вычисление точных значений, решение уравнений

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Единичная окружность, определения тригонометрических функций Куда ведут: Формулы двойного угла, формулы понижения степени, преобразования произведений в суммы Практика: Гармонические колебания, волны, обработка сигналов, компьютерная графика