Формулы половинного угла в тригонометрии

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты разрабатываешь игру с плавным поворотом камеры 🎮. Игрок поворачивается на угол α, а тебе нужно рассчитать промежуточный угол α/2 для плавной анимации. Или в спортивной аналитике - мяч летит под углом 60°, а нужно найти оптимальный угол отскока в 30°.

А еще эти формулы используются в:

• 📡 Обработке сигналов - разложение звуковых волн на частоты
• 🏗️ Инженерии - расчет напряжений в конструкциях при половинных нагрузках
• 💻 3D-графике - оптимизация поворотов объектов в пространстве

📚 История вопроса

В XVII веке математики столкнулись с проблемой: как найти точное значение sin(15°) или cos(22.5°)? Эти углы не входили в стандартную таблицу! Тогда умные головы догадались: а что если взять известный угол 30° и разделить пополам? Так появились формулы половинного угла - математический способ “разрезать” углы надвое 🔪

💡 Интуиция

Думай о формулах половинного угла как о “математическом увеличительном стекле” 🔍. Если у тебя есть угол α, ты можешь “увеличить детализацию”, разделив его пополам и найдя точные значения для α/2.

Это как в фотошопе - когда ты увеличиваешь разрешение, то одна большая точка превращается в несколько маленьких. Так и здесь: один большой угол превращается в два маленьких!

[МЕДИА: image_01] Описание: Визуализация деления угла пополам на единичной окружности Промпт: “educational illustration of unit circle showing angle α being divided into two equal parts α/2, geometric visualization with clear angle markings, trigonometric functions highlighted, modern clean style, suitable for high school students”

📐 Формальное определение

Формулы половинного угла:

🔵 Для косинуса: cos²(α/2) = (1 + cos α)/2

🔴 Для синуса:
sin²(α/2) = (1 - cos α)/2

🟡 Для тангенса: tan(α/2) = (1 - cos α)/sin α = sin α/(1 + cos α)

⚠️ Важно: Знак перед корнем зависит от четверти, в которой лежит угол α/2!

[МЕДИА: image_02] Описание: Таблица формул половинного угла с выделением знаков в разных четвертях Промпт: “mathematical reference table showing half-angle formulas with sign conventions for different quadrants, color-coded for clarity, educational design, clean typography”

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Найти sin(15°)

Думаем: 15° = 30°/2, значит можем использовать формулу для sin(α/2)!

Решение: sin²(15°) = (1 - cos 30°)/2 = (1 - √3/2)/2 = (2 - √3)/4

sin(15°) = √((2 - √3)/4) = √(2 - √3)/2

Поскольку 15° в первой четверти, синус положительный.

Ответ: sin(15°) = √(2 - √3)/2 ≈ 0.259

Пример 2: Упростить выражение cos²(α/2) - sin²(α/2)

Решение: cos²(α/2) - sin²(α/2) = (1 + cos α)/2 - (1 - cos α)/2 = (1 + cos α - 1 + cos α)/2 = 2cos α/2 = cos α

Вывод: Получили формулу двойного угла наоборот! cos α = cos²(α/2) - sin²(α/2)

Пример 3: Найти tan(22.5°)

Думаем: 22.5° = 45°/2

Решение: tan(22.5°) = (1 - cos 45°)/(sin 45°) = (1 - √2/2)/(√2/2) = (2 - √2)/√2 = (2 - √2)√2/2 = √2 - 1

Проверка: tan(22.5°) ≈ 0.414 ✓

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди cos(15°), используя формулу половинного угла

Задание 2: Вычисли sin(22.5°)

Задание 3: Упрости 2sin²(x/2) - 1

Задание 4: Найди tan(π/8)

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Докажи, что tan(α/2) = sin α/(1 + cos α)

Задание 6: Упрости (1 + cos 4x)/(2cos² x)

Задание 7: Реши уравнение cos²(x/2) = 3/4

Задание 8: Найди все решения: sin(x/2) = √3/2 на [0; 4π]

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи тождество: tan(α/2) · tan(β/2) = (cos(α+β) - cos(α-β))/(cos(α-β) + cos(α+β))

Задание 10: Найди sin(7.5°) без калькулятора

Задание 11: Упрости выражение: √((1-cos 6x)/(1+cos 6x))

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Забывают про знак при извлечении корня ✅ Правильно: Всегда проверяй, в какой четверти лежит угол α/2 💡 Почему: Знак тригонометрической функции зависит от четверти

❌ Ошибка: Путают формулы половинного и двойного угла ✅ Правильно: Половинный угол содержит (1 ± cos α), двойной - произведения функций 💡 Почему: Это разные преобразования в противоположных направлениях

❌ Ошибка: Неправильно применяют формулу для тангенса ✅ Правильно: У tan(α/2) есть ДВЕ эквивалентные формы 💡 Почему: Обе формы получены из основной, но используются в разных ситуациях

❌ Ошибка: Забывают упрощать дроби с корнями ✅ Правильно: Рационализируй знаменатель, выноси множители из-под корня 💡 Почему: Упрощенный вид удобнее для дальнейших вычислений

❌ Ошибка: Не учитывают область определения ✅ Правильно: Для tan(α/2) проверяй, что α ≠ π + 2πk 💡 Почему: Тангенс не определен в некоторых точках

🎓 Главное запомнить

✅ Формулы половинного угла помогают найти точные значения “нестандартных” углов ✅ cos²(α/2) = (1 + cos α)/2, sin²(α/2) = (1 - cos α)/2
✅ Знак зависит от четверти угла α/2 ✅ Используются в программировании, физике, инженерии

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Из формул двойного угла (урок 98) через алгебраические преобразования

Куда ведут:

• Интегрирование тригонометрических функций (университет)
• Комплексные числа и формула Эйлера
• Ряды Фурье в обработке сигналов
• Кватернионы в 3D-графике